高等数学D第5章不定积分ppt课件

1、(1) 求连续函数求连续函数 f (x)在闭区间在闭区间a, b上的最大上的最大(小小)值的方法值的方法:将闭区间将闭区间a, b内所有驻点和导数不存在的内所有驻点和导数不存在的区间端点的区间端点的其中最大其中最大(小小)者就是者就是 f (x)的最大的最大(小小)值值.最值必在端最值必在端(2)点处达到点处达到. .点处的函数值和点处的函数值和函数值函数值 f (a), f (b)比较比较, 当当 f (x)在闭区间在闭区间a, b上单调时上单调时,4.6.函数的最值及应用函数的最值及应用(3),0 x)(0 xf且且在在就就是是则则)()(0 xfxf(4)函数的极值与最大值最大值函数的极

2、值与最大值最大值 若连续函数若连续函数 f (x)在区间在区间I内只有一个极值点内只有一个极值点为极大为极大 (小小)值值,区间区间 I上的最大上的最大 (小小)值值. 对实际问题常常可事先断定最大对实际问题常常可事先断定最大(小小)值必在值必在区间内部取得区间内部取得, 如果连续函数在区间内又仅有如果连续函数在区间内又仅有一个可能的极值点一个可能的极值点,那末这点处的函数值就是最那末这点处的函数值就是最大大(小小)值值.实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值(1) 建立目标函数建立目标函数;(2) 求最值求最值;若目标函数只有唯一驻点若目标函

3、数只有唯一驻点,则该点的函数则该点的函数值即为所求的最大值即为所求的最大(小小)值值.例例 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租套公寓要出租,当租金定为当租金定为每月每月720元时元时,公寓会全部租出去公寓会全部租出去.当租金每月当租金每月增加增加40元时元时,就有一套公寓租不出去就有一套公寓租不出去,而租出去而租出去的房子每月需花费的房子每月需花费80元的整修维护费元的整修维护费.试问房试问房租定为多少可获得最大收入租定为多少可获得最大收入?解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 每月总收入为每月总收入为)(xL)80( x 4072050 x 407

4、2050 x套套函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值 4068)80()(xxxL 401)80(4068)(xxxL2070 x 0)( xL1400 x（唯一驻点）（唯一驻点） 40140068)801400()(xL)(43560 元元 函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值)(xL)80( x 4072050 x故每月每套租金为故每月每套租金为1400元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为6第五章第五章 不定积分不定积分 5.1 不定积分的背景和定义不定积分的背景和定义5.2 不定积分的几何意义不定积分的几何意义5.3 基本积分公式基本积分公式 不定积分的

5、性质不定积分的性质5.5 分部积分法分部积分法5.4 换元积分法换元积分法5.6 有理函数和三角函数的不定积分有理函数和三角函数的不定积分5.7 积分表的使用积分表的使用5.8 不定积分的实际应用不定积分的实际应用7( ),ss t质点作直线运动，运动方程是质点作直线运动，运动方程是求质点的运动速度求质点的运动速度. .求导问题求导问题 现考虑其相反的问题：现考虑其相反的问题：求质点的运动方程求质点的运动方程. 这是由已知某函数的导函数，求该函数的问题这是由已知某函数的导函数，求该函数的问题. .5.1 不定积分的背景和定义不定积分的背景和定义物理背景物理背景已知作直线运动的质点在任意时刻的速

6、度已知作直线运动的质点在任意时刻的速度)(tvv 例例)()(tstv ?)(tss 即为求不定积分的问题即为求不定积分的问题. .8几何问题几何问题解解例例 设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点处横坐标的两倍处横坐标的两倍, , 求曲线的方程求曲线的方程. .设曲线方程为设曲线方程为),(xfy ,2xy 满足此条件的函数有无穷多个满足此条件的函数有无穷多个, , 如如,2xy , 12 xy, 12 xy等都是等都是. .一般一般, , 所求曲线方程为所求曲线方程为,2Cxy C为任意常数为任意常数.xyOC例例)(sin x定义定义5.1 原函数原

7、函数),()(xfxF 有有如果在区间如果在区间I I上上, ,则称则称上的上的在在为为IxfxF)()(原函数原函数. .xcos 一个一个知知xxFsin)( 是是xxfcos)( 上上的的一一个个在在),( 原函数原函数. .CxF )(也是也是xxfcos)( 的原函数的原函数, ,其中其中C为任意常数为任意常数. .Cx sin二者关系：二者关系：的的为为)()(xFxf导函数，导函数，的的为为)()(xfxF.原函数原函数原函数不唯一！原函数不唯一！101.如何检验一个函数是否为另一个函数的原函数？如何检验一个函数是否为另一个函数的原函数？求导求导连续函数存在原函数连续函数存在原函

8、数如果函数如果函数)(xf存在原函数存在原函数. .结论：结论：初等函数在其有定义的区间上存在原函数初等函数在其有定义的区间上存在原函数. .2.一个函数具备什么条件时存在原函数？一个函数具备什么条件时存在原函数？在区间在区间I I上连续上连续, ,则在区间则在区间I I上上定理定理5.13. 如果存在原函数，那么一共有多少个，它们之间如果存在原函数，那么一共有多少个，它们之间是何关系？是何关系？)(xF若若)(xF)(xf亦亦为为的原函数的原函数(C为任意常数为任意常数).因因 )(CxF一个函数如果有原函数一个函数如果有原函数, ,就有无穷多个就有无穷多个. .)(xf在区间在区间I I上

9、的任一原函数都上的任一原函数都CxF )(其中其中C为某一常数为某一常数.那么那么 )(xF).(xfC ,)(的一个原函数的一个原函数为为xf的形式的形式, ,可表为可表为定理定理5.2)1()2(的的即即)(xf任意两个原函数只差一个常数任意两个原函数只差一个常数. .12故故0)()(CxGxF )()(xFxG0)()(CxFxG ),()(xfxG )()(xfxf 证证)()(xfxG为为设设的另一个原函数的另一个原函数, ,那么那么),()(xfxF 又又)(xG 只要找到只要找到f (x)f (x)的一个原函数的一个原函数, ,就知道就知道它的全部原函数它的全部原函数. .0

10、)(xF 要证要证 )()(xGxF常数常数因为因为导数恒为零的函数必为常数导数恒为零的函数必为常数某个常数某个常数13积分变量积分变量积分常数积分常数被积函数被积函数被积表达式被积表达式定义定义5.2 不定积分不定积分不定积分不定积分. .)(xF设设CxF )(的的则则)(xf全部原函数的一般表达式全部原函数的一般表达式,)(的任一原函数的任一原函数是是xf称为函数称为函数f (x)f (x)的的 总和总和(summa)xxfd)( 记为记为积分号积分号CxFxxf )(d)(14.不定积分是原函数的一种普遍形式，不定积分是原函数的一种普遍形式，( )fx dx进行求导和求微分的运算进行求

11、导和求微分的运算. .对不定积分求微分，结果是被积式对不定积分求微分，结果是被积式. .例例作为函数，作为函数，对不定积分求导，结果是被积函数对不定积分求导，结果是被积函数. .由定义，由定义，可把可把 )2(xdx )(2Cxx2 )2(xdxd )(2Cxdxdx2 x微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是dx )(xf xxfd)(CxF )()(xF xd 一般地有一般地有dxxfdxxfd)()( CxFxdF )()( )cos2(2xxdCxx cos22xC 16例例 求求.d5xx 解解 xx d5解解例例 .d112 xx求求 )(xFCx 66211x

12、xxd112xarctanCx arctan 5x 66x)(xF175.2 不定积分的几何意义不定积分的几何意义积分曲线积分曲线)(xFy 称为称为)(xf的积分曲线的积分曲线.CxFy )(的图形的图形)(xFy 向平行于向平行于y 轴的方向任意轴的方向任意上下移动上下移动, 得出的无穷多条曲线得出的无穷多条曲线, 称为称为的的)(xf的图形是的图形是yx,平面的一条曲线平面的一条曲线,是将曲线是将曲线族族.xyOC),()(xfxF 18 由于不论常数由于不论常数C 取何值取何值,)()(xfCxF 同一同一x处其导数等于处其导数等于f(x),各切线相互平行各切线相互平行.有积分曲线族有

13、积分曲线族即即xCxFy )()(xFy xyO19解解2x 故所求曲线方程为故所求曲线方程为22 xy求通过点求通过点 且其切线斜率为且其切线斜率为2x曲线曲线.),6 , 2(例例 xxyd2xy2 的积分曲线族为的积分曲线族为有有C 2262 C62C 2xy 22 xyxyO20实例实例 x Cx 11 启示启示 能否根据求导公式得出积分公式能否根据求导公式得出积分公式结论结论)1( 要判断一个不定积分公式是否正确要判断一个不定积分公式是否正确,只要只要将右端的函数求导将右端的函数求导,看是否等于被积函数看是否等于被积函数. xx d 求导公式求导公式11 x积分公式积分公式.5.3

14、5.3 基本积分公式基本积分公式 不定积分的性质不定积分的性质积分运算和微分运算是互逆的，积分运算和微分运算是互逆的，211.基基本本积积分分公公式式 Ckxxkd)1( (k是常数是常数)1(1d)2(1 Cxxx Cxxx|lnd)3(说明：说明： , 0 x Cxxxlnd )ln(, 0 xxxxx1)(1 Cxxx)ln(d Cxxx|lnd22 xxd11)4(2Cx arctan xxd11)5(2Cx arcsin xxdcos)6(Cx sin xxdsin)7(Cx cos xx2cosd)8( xxdsec2Cx tan xx2sind)9( xxdcsc2Cx cot2

15、3 xxxdtansec)10(Cx sec xxxdcotcsc)11(Cx csc xexd)12(Cex xaxd)13(Caax ln熟熟 记记24 xxgxfd)()( xxgxxfd)(d)(证证 xxgxxfd)(d)( xxgxxfd)(d)()()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）(1) xxkfd)( xxfkd)(（k是是常常数数，)0 k 考虑考虑: k = 0,等式是否成立等式是否成立?(2)2 2、不定积分的性质、不定积分的性质25例例 求积分求积分.d2xxx 解解xxxd2 xx d25

16、 Cx 1251252772x Cxxx 1d1 出一些简单函数的不定积分出一些简单函数的不定积分, 称为称为利用不定积分的性质和基本积分公式利用不定积分的性质和基本积分公式,可求可求由公式由公式直接积分法直接积分法.C 例例 求积分求积分解解.d)1213(22xxx xxxd)1213(22 xxd1132xarctan3 xarcsin2 C xxd1122 27例例 求积分求积分解解.d )1cos32(xxxx 原式原式xxx2sin32ln2 C 28例例 求积分求积分解解.d)1(21222xxxx xxxxd)1(21222 xxd12 x1 称为分项积分法称为分项积分法.xx

17、xd)1(22 1 2x2xxxd112 xarctanC 利用线性性质计算积分利用线性性质计算积分,上例是将被积函数作恒等变形上例是将被积函数作恒等变形,29xxxdcossin122 解解 xxxdcossin122 xxdcos12xtan 例例 xxxdcossin22 xxdsin12xcot C xx22cossin 30例例 求积分求积分解解.d2cos11 xx xxd2cos11 xd11 xxdcos1212Cx tan211cos22 x 以上几例中的被积函数都需要进以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形行恒等变形,才能使用基本积分公式才能使用基本积分公式.31解解xxx

18、yd)sin(sec2 xtan 5)0( y6 C所求曲线方程为所求曲线方程为6costan xxyxcos C 已知一曲线已知一曲线 y = f (x)在点在点( x, f (x)处的切线处的切线例例斜率为斜率为,sinsec2xx 且此曲线与且此曲线与y轴的交点为轴的交点为(0,5), 求此曲线的方程求此曲线的方程.xxxysinsecdd2 32xxxd2cos1cos1 xxxdsin2cos12 xxxxd )csccotsin1(212 Cxx )csccot(2133xxxd1122 xxdtan2 xxd2sin2 xxxd11222 xxd)1(sec2 xxd2cos1

19、34 xxd2cosCx 2sin解决方法解决方法将积分变量换成将积分变量换成令令xt2 xxd2costtdcos21 Ct sin21Cx 2sin21 x2sinx2cos xxdcosCx sinx2cos2.2xtdt21xt2 1、第一换元积分法、第一换元积分法5.4 5.4 换元积分法换元积分法定理定理 xxxfd)()( uufd)(第一类换元公式第一类换元公式 )(d)(xxf )(xu （凑微分法）（凑微分法）证证 xxxfd)()( x)()(xxf uufd)( x uufd)( uxu )()(xxf )(xu 可导可导,则有换元公式则有换元公式设设)(uf具有原函数

20、具有原函数,注注 “凑微分的主要思想是凑微分的主要思想是:将所给出的积分将所给出的积分凑成积分表里已有的形式凑成积分表里已有的形式,合理选择合理选择 是凑微分的关键是凑微分的关键.)(xu )()(xuf )(x )(xu 36第一换元积分法第一换元积分法若遇到积分若遇到积分不易计算时不易计算时,通过变换通过变换 )(xu 化为不定积分化为不定积分 来计算来计算, uufd)(积分后再将积分后再将)(xu xxxfd)()( 代入代入. 能够利用基本积分公式来计算！能够利用基本积分公式来计算！37例例 求求 xxd2sin法一法一 xxd2sind2sin xCx 2cos21 法二法二 xx

21、d2sin xxxdcossin2 )(sindsin2xx Cx 2sinxu2 uudsin21xusin Cu cos21 uud2Cu 221)2( x解解38 法三法三 xxd2sin xxxdcossin2 )(cosdcos2xx Cx 2cosxucos uud2Cu 2 同一个积分用不同的方法计算同一个积分用不同的方法计算,可能得可能得到表面上不一致的结果到表面上不一致的结果,但是实际上都表示但是实际上都表示同一族函数同一族函数. 注注Cxxx 1d1 39例例 求求xxd231 解解xxd231 xxxd)23(23121 uud121 Cu |ln21Cx |23|ln2

22、1)23(d23121xx xu23 Cxxx |lnd140 xxd31 对第一换元积分法熟练后对第一换元积分法熟练后,可以不再写出可以不再写出 中间变量中间变量. Cx 23313231注注31 )1(1d1 Cxxx)31(dx x3141例例 xxxdln 解解xxxdln )(lndlnxxCx 2)(ln2xxxd)ln21(1 解解xxxd)ln21(1 )(lndln211xx )ln(dln211xx 1122lnlnxC 1 22142小结小结常见的凑微分类型有常见的凑微分类型有 xbaxfd)( xxbaxfmmd)(1 )(d)()1(111baxbaxfmamm )0

23、()(d)(1abaxbaxfa 2d)1(xxxf )1d()1(xxf xxxfd1)(ln )lnd()(lnxxf xeefxxd)()d()(xxeef xxxfd)()d()(2xxf 43 xxxfdsec)(tan2 xxxfdcsc)(cot2 xxxfd11)(arcsin2 xxxfd11)(arctan2小结小结 xxxfdcos)(sin xxxfdsin)(cos xxfdsin)(sin xxfdcos)(cos xxftand)(tan xxfcotd)(cot xxfarctand)(arctanCxf )(ln xxfarcsind)(arcsin xxfx

24、fd)()( )()(dxfxf44 )tan1(cosd. 12xxx xxtan1)tan1(dd3 xe)3(d323xex xxexd. 23 Cex 332 xxfxxxftand)(tandsec)(tan2Cx tan1ln2x xxxfd)()d()(2xxf 45例例 求求xxad122 解解xxad122 xaxad111222 xaxad11122 Caxa arctan1xxad122 Caxa arctan1 xxd112Cx arctan axaxad111246例例 求求xxxd25812 解解xxxd25812 xxd9)4(12 Cx 34arctan31xx

25、ad122 Caxa arctan1 22)4(3)4(dxxxxd)4(3122 47例例 解解 xxad1222d1xaxa骣骣琪琪琪琪琪琪桫桫= =骣骣琪琪- -琪琪琪琪桫桫 Cax arcsin)0(d122 axxa xxd112Cx arcsin)0(d122 axxaCax arcsin 2221daxax48且有很大的灵活性且有很大的灵活性,加一项减一项、加一项减一项、可通过三角恒等变换、可通过三角恒等变换、一个因子等方法，一个因子等方法，第一换元积分法是不定积分的基础，第一换元积分法是不定积分的基础，代数运算、代数运算、上，下同除以上，下同除以使积分变得易求使积分变得易求.大

26、体可分成两类大体可分成两类1. 某些有理函数和其他函数某些有理函数和其他函数2. 某些三角函数某些三角函数49例例 求求xxxd)1(3 解解xxxd)1(3 xxd)1(3 )1(d)1(1)1(132xxx Cxx 2)1(21111. 某些有理函数和其他函数某些有理函数和其他函数x1 1 50例例 )0(d122 axxa解解 221xa原式原式= xxaxxaad1d121 Cxaxaa lnln21Cxaxaa ln21 xaxaa1121)0(ln21d122 aCaxaxaxax51例例 求求xexxxd)11(12 解解 xx1xexxxd)11(12 )1(d1xxexx C

27、exx 1211x 52例例 xxdtan解解 原式原式=xxxdcossin xxcoscosdCx coslnCxxx sinlndcot 某些三角函数某些三角函数53例例 求求解解 xxdsin1 xxdcsc xxdcsc xxxd2cos2sin21 2d2cos2tan12xxx 2tand2tan1xxln tan2xCln csc xcot xC（使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）分步凑分步凑法一法一 xxxfdsec)(tan2 xxftand)(tan54 xxdsin1 xxdcsc xxxdsinsin2 )(cosdcos112xxxucos uud1

28、1211ln21uCu 11cosln21cosxCx 类似可推出类似可推出dsec x xln sec xtanxC 法二法二)0(d122 axxaCxaxaa ln21换元积分法换元积分法55例例 求求xxxd12321 原式原式xxxxxxxd)1232( )1232(1232 xxxxd1241d3241 )12(d1281)32(d3281 xxxx Cxx 331212132121解解定理定理 xxxfd)()( uufd)(第一类换元公式第一类换元公式 )(d)(xxf )(xu （凑微分法）（凑微分法）)(xu 可导可导,则有换元公式则有换元公式设设)(uf具有原函数具有原函

29、数,换元积分法换元积分法 )(xu 一、第一换元积分法一、第一换元积分法二、第二换元积分法xxd11 有根式有根式解决方法解决方法 消去根式消去根式,xt 令令 xdxxd11 ttt1d2tttd1112 tttd11d2Ctt )1ln(22Cxx )1ln(22)0(2 ttx困难困难即即那那么么ttd2tttd2 回代回代换元积分法换元积分法对积分对积分 xxfd)(作变换作变换),(tx 有公式有公式 xxfd)( tttfd)()( )(1xt )(1x 其其中中.)( 的的反反函函数数是是tx 第二类换元公式第二类换元公式)(t tt d)( 换元积分法换元积分法二、第二换元积分

30、法二、第二换元积分法axa22 ax例例 求求)0(d22 axxa解解 令令taxsin ttaxdcosd 2,2 txxad22 ttadcos22 taa222sinttad22cos12 Ctta )2sin21(22tax22xa 辅助三角形辅助三角形axarcsinttadcos axaarcsin22Cttta )cossin(22Cxax 222 回代回代三角代换三角代换.例例 求求解解xexd11 ,1xet 令令, 12 tex.d12d2tttx xexd11 ttd122 Ctt 11lnCxex )11ln(2),1ln(2 txCaxaxaxax ln21d122

31、回代回代换元积分法换元积分法 xxexd解决思路解决思路vuvuuv )(vuuvvu )( xvu d vud分部积分公式分部积分公式 xxdarcsin特点特点 被积函数是两个不同函数的乘积被积函数是两个不同函数的乘积)()(xvvxuu 及及设函数设函数具有连续导数具有连续导数.uv xvu d uvuvd 两边积分两边积分5.5、分部积分公式、分部积分公式 xxxdln2xxcosxdx =cosx d()2 例例 求求.dcos xxx解解 xxcos22显然显然,vu d,法一法一 xxxdsin22uvuvvudd 选择不当选择不当, 积分更难进行积分更难进行.分部积分法分部积分

32、法例例 求求.dcos xxxcosxx xxxddsin xxsin Cxxx cossin法二法二 xxdsin uvuvvudd 分部积分法分部积分法,d)(,dcos)(,dsin)(xexPxaxxPxaxxPkxnnn , 为常数为常数其中其中akuuu次多项式次多项式为为nxPn)(例例 求求.d2 xexx解解 xex2Cexeexxxx )(22（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）22dd xxx exxe xxexd2uvuvvudd 分部积分法分部积分法例例 求求.dsin xxex解解 xxexdsin xexdsin xexsin xxexexxdcossin

33、 xxexxedcossin xexsin xxexxexxdsin)cos(sin xxexdsinCxxex )cos(sin2注意循环形式注意循环形式uudv )(sindxexu )cosdcos(xexexxudv66例例. .设设( )f x有连续的导数，试求有连续的导数，试求 ( )( ).f xxfx dx 由由解：解： ( )( )( )( )f xxfx dxf x dxxfx dx( )( )xfx dxxdf x ( )( )( )f xxfx dxxf xC所以所以 ( )( )( )( )f xxfx dxxf xdxxf xC另一种解法是凑微分：另一种解法是凑微分

34、：( )( )xf xf x dx67 例例22. 求求 312dxx 解：为了去掉根号，设32xt32xt23dxt dt于是有 ，22331 1133 (1)11112dxt dttdttdttttx 223333ln(1)23(2)323ln(12)2tttCxxxC 68 下面介绍简单的有理函数和三角函数的不定积分，主要方法是通过下面介绍简单的有理函数和三角函数的不定积分，主要方法是通过5.6 有理函数和三角函数的不定积分有理函数和三角函数的不定积分函数变形后，能够利用基本积分公式，或者利用换元积分法函数变形后，能够利用基本积分公式，或者利用换元积分法. 例例27. 求求21xdxx解

35、：解：2221 111(1)ln(1)1112xxdxdxxdxxxxCxxx 例例28. 28. 求求1(2)dxx x解：解：2111111lnln(2)ln222222xdxdxxxCCxxxxx（）69例例29. 29. 求求2122dxxx解：解：221(1)arctan(1)1 (1)1 (1)d xdxxCxx例例30.30.求求3sin xdx解：解：3sin xdx 2(1 cos)sinxxdx231(1 cos) coscoscos3x dxxxC 例例31.31.求求解：令解：令xedx2,xu(0)x 2dxudu,代入积分式，得2xue dxeudu，利用分部积分法

36、，得(1)uueuduueCxedx2(1)xxeC所以705.7 积分表的使用积分表的使用例例32.32.求求(1 2 )dxxx解：这是含有解：这是含有abx1ln()dxabxCx abxax ,将1a ，2b 代入，得到1 2ln(1)2dxxCxxx 3sin2xexdx例例33.33.求求22( sincos)sinaxaxeabxbbxebxdxCab将3a ,2b 代入，得到33sin2( 3sin22cos2 )13xxeexdxxxC的积分，查积分表3有解：这是含有两类函数积的积分，查积分表解：这是含有两类函数积的积分，查积分表24有有71 例例34.34.求求211xdxx解：先整理：解：先整理：2221111lnxdxxxdxdxxdxxxxx后式含有21x，查积分表10有 222222lnaxaaxdxaxaCxx将1a 代入，得到2221111ln1lnxxdxxxCxx72 例例35.35.求求4sin xdx解：查积分表18有12sincos1sinsinnnnxxnxdxxdxnn 令342sincos3sin