二重积分chap63ppt课件

1、dxdydzzyxfdvzyxf)()(，一一.直角坐标系下三重积分的计算直角坐标系下三重积分的计算 。面上，得投影域投影到把xyDxy第第3 3节节 三重积分的计算三重积分的计算).(型区域为的交点不多于两个边界曲面的的直线与轴且穿过区域设平行于xySZxyzoxyD),(1yxzz ),(2yxzz 分成两部分：的交线把柱面，柱面与轴的行于的边界为准线作母线平以SSZDxy)()(, )()(212211yxzyxzyxzzSyxzzS，：，：xyzoxyD),(1yxzz ),(2yxzz ),(),()(yxzyxzDdzzyxfdxdyxy21，先对 Z 积分“先一后二或“细棒法，则

2、，与，的交点的纵坐标为线，此直线与轴的的直作平行于，内任一点过)()()(21yxzyxzSzyxDxy xyDyxzyxzdxdydzzyxfdxdydzzyxf)()(),(),(21，),(),()()()(yxzyxzxxbadzzyxfdydx2121， .,ddd所所围围的的闭闭区区域域及及曲曲面面为为由由其其中中计计算算三三重重积积分分22222xzyxzzyxxyI例例1xyzo得得交交线线由由 22222xzyxz. 122 yx.:122 yxD投投影影区区域域 .22,11 , 11:22222xzyxxyxx.ddd11221122222xyxxxzxyyxID22xz

3、222yxz.d)(d11112222222xxyyxxyx.,dv所围成的闭区域所围成的闭区域及平面及平面是由三个坐标面是由三个坐标面其中其中计算三重积分计算三重积分12zyxxI例例2xyzoxy12yx12zyx0z .:yxz21021010 xyx1yxxxdzdydxxdv21021010481注注 1.的积分；而得先对面面投影到则同样可把的交点不多于两个，的直线与轴轴若平行于)()()(yxxzyzSyx分成几块处理；可把两个，则的交点多于的边界曲面与若平行于坐标轴的直线S. 21C2C：切切片片法法定定积积分分二二重重积积分分，再再计计算算一一个个化化为为先先计计算算一一个个计

4、计算算一一个个三三重重积积分分也也可可)(则所得的区域的平面截：竖标为中，设zDCzCz2121),(),(CCDzdxdyzyxfdzdxdydzzyxfxyzozzD围围成成与与平平面面由由曲曲面面，计计算算：1222zyxzdxdydzzzDdxdyzdzdxdydzz2102zyxDz22：例3102zdzz xyzo4 如下图如下图1222222czbyaxdxdydzz：，计算：zDccdxdydzzdxdydzzzxyco2222221czbyaxDz：202221)1 (2abczdzczabc例4解ccdzzczab)1 (22 wvuwvuzyxJ,0,)3(二二. .三重

5、积分的换元法三重积分的换元法 2上变换中的函数在区域 上具有一阶连续偏导数，wvuzzwvuyywvuxx,设1变换T： 把区域 一对一的变为 ， 定理 dudvdwJwvuzwvuywvuxfdxdydzzyxf),(,(),(则) ,20 sin,0( cos z-zzyx平面的平面平行于常数轴的半平面过常数的圆柱面半径为常数xyzz:),(),(zzyxJdzddzfdxdydzzyxf),sin,cos(),(xyzp),(zyxMo积积分分柱柱面面坐坐标标系系下下计计算算三三重重三三.),(yx),(z 22222,4:,22yxzzyxdxdydzzeyx其中例5 计算解xyzod

6、zddzedxdydzzeyx 2222:22 yxDxy22022022221224eeede )()(2242020 zdzded)0 cos,20 sinsin,0( cossin .rzryrrx球面坐标系四xyzp),(zyxMro.,:,:,:为轴的圆锥面轴以以原点为顶点常数轴的半平面过常数以原点为球心的球面常数zzr2222rzyx:注注 sin),(),(2rrzyxJ ddrdrrrrfdxdydzzyxfsin)cos,sinsin,cossin(),(222222222, 4:,yxzzyxdxdydzzyx其其中中解 ddrdrrdxdydzzyxsin2222 822

7、1)( 2034020drrdd sin例 6xyzo2r4 2222222210yzyzzzyzyzDfdxdydzfdxdydzyzxyzo.,22积分球面坐标系下化为累次柱面坐标系系坐标试分别在直角围成的区域yxz解例 7, 1,),(zdxdydzzyxfI为由设111111222222 yxxxyxDfdzdydxfdzdxdyIxy直角坐标系drrrrrfddI sin)cos,sinsin,cossin(2cos100204球球面面坐坐标标系系dzzfdddzddzfI),sin,cos(),sin,cos(11020柱面坐标系xyzo围围成成与与由由的的体体积积求求下下列列立立

8、体体222211: (1) :yxzyxzdxdydzV: 利利用用柱柱面面坐坐标标系系xyzo解例 7dzdd2112010 d102112drrdd sin:2cos202040原原式式球球坐坐标标.1) 1(33: (2)22222围围成成的的含含有有球球心心的的部部分分与与由由zyxyxzdxdydzV: 利利用用球球面面坐坐标标系系oxyz解drrdd cos2023020sin45 )cos41(316 cossin382304303 ddxdydzV: 利利用用柱柱面面坐坐标标系系xyzo.11,: (3)2222围成由yxzyxz解dzdd22111020 67)1(32)1(21 11210232221022 d. : ; 10 , 10 , 10 : )2 , 1( )( 2222212Rzyxzyxidxdydzzyx计算212 )63()63( )222( )( (1) 102101022222111dyxyxdxdzdxdydzxyxdxdydzyzxzxyzyxdxdydzzyx解例 8三重积分的对称性问题502202022254sin)(2RdrrrdddxdydzzyxR22 )222( )( (2)2222dxdydzyzxzxyzyxdxdydzzyxyxhdzzfdydx000)(累次积分化成定积分：交换积分次序，把下列