2020高考理数(人教A版)总复习教学案第2章第9节函数模型及其应用

1、1第九节函数模型及其应用考纲传真1. 了解指数函数、对数函数、幕函数的增长特征，结合具体实例体 会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2. 了解函数模型( (如 指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型) )的广泛应用1. 常见的几种函数模型(1) 一次函数模型：y= kx+ b(kM0).k反比例函数模型：y=k+ b(k, b 为常数且 kM0).二次函数模型：y= ax2+ bx+ c(a, b, c 为常数，aM0).(4) 指数函数模型：y= abx+ c(a, b, c 为常数，b0, bM1, aM0).(5) 对数函数模型：y= m

2、logax+ n(m, n, a 为常数，a0, aM1, mM0). 幕函数模型：y= a xn+ b(aM0).2. 三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0, +)上的 增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢因 n 而异图象的变化随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行随 x 的增大逐渐表现为与 X 轴平行随 n 值变化而各有不同值的比较存在一个 X0,当 xX0时，有 logaxvXnvax3.解函数应用问题的步骤( (四步八字) )(1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2) 建

3、模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知 识，建立相应的数学模型；(3) 解模：求解数学模型，得出数学结论；(4) 还原：将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下:课刖知识全通关夯实基础扫除盲点2常用结论形如 f(x) = x+ X( (a0)的函数模型称为“对勾”函数模型：该函数在( (一, a和a, +)内单调递增，在-a, 0和(0, , a上单 调递减当x0 时，x= .a 时取最小值 2 a,当 xv0 时，x= .a 时取最大值一 2 a.基础自测1.(思考辨析) )判断下列结论的正误.( (正确的打“V”，错误的打“x”)(1)函数 y= 2x与

4、函数 y= x2的图象有且只有两个公共点.( () )幕函数增长比直线增长更快.( () )(3) 不存在 xo,使 axovxiivlogaxo.()(4) f(x) = x2,g(x) = 2x, h(x)= log2x,当 x (4, +)时，恒有 h(x)vf(x)vg(x).()答案(1) )x(2)x(3)x(4)V2. 在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表，则 x, y 最适合的函数是( () )x0. 500. 992. 013. 98y0. 990. 010. 982. 002A. y= 2xB. y= x 1C . y= 2x 2D. y= lo

5、g2XD 当 x= 0.50 时，y= 0.99，从而排除选项 A、C,又当 x= 2. 01 时，y= 0.98,从而排除选项 B,故选 D.3.(教材改编) )一个工厂生产一种产品的总成本 y(单位：万元)与产量 x(单位：台) 之间的函数关系是 y= 0. 1x2+10 x+ 300(0vx 240, x N)，若每台产品的售价 为 25 万元，生产的产品全部卖出，3则该工厂获得最大利润( (利润=销售收入一产品成本) )时的产量是()()4A. 70 台B. 75 台C. 80 台D. 85 台B 由题意可知，利润 f(x)= 25xy= 0. 1x2+ 15x 300, (0Vx 2

6、40, x N)当 x= 75 时，f(x)取到最大,故选 B.4.某商品价格前两年每年递增 20%，后两年每年递减 20%，则四年后的价格与 原来价格比较，变化的情况是( () )A .减少 7. 84%B .增加 7. 84%C .减少 9. 5%D .不增不减A 设某商品原来价格为 a，四年后价格为：a(1+0. 2)2(10. 2)2=ax1. 22x0. 82=0. 921 6a，(0. 921 6 1)a= 0. 078 4a，所以四年后的价格与原来价格比较，减少 7. 84% .5.某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过 100 km，票价是 0. 5元/k m，如果

7、超过 100 km，超过 100 km 的部分按 0. 4 元/km 定价，则客运票价 y(元)与行驶千米数 x(km)之间的函数关系式是 _.由题意可知，当 0Vx 100 时，y= 100X0. 5+ (x100)x0. 4=0. 4x+ 10.0. 5x，0Vx100.用函数图象刻画变化过程I题型1| 1.如图，在不规则图形 ABCD 中，AB 和 CD 是线段，AD 和 BCI是圆弧，直线 I 丄 AB 于 E，当 I 从左至右移动( (与线段 AB 有公共点) ).二 时，把图形 ABCD 分成两部分，设 AE = x,左侧部分面积为 y,贝 UAE By 关于 x 的大致图象为(

8、() )0. 5x，0Vx100课堂题型全突破考点全面方法简洁5D 因为左侧部分面积为 y,随 x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有 D 选项适合2物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价， 提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Qo,各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方 案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（）A BC DB 因为运输效率逐步提高，故曲线上每点处的切线斜率应该逐渐增大，故选 B.3 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程

9、，下图描述了甲、 乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（ ）A .消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C .甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D .某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车 更省油D 根据图象知消耗 1 升汽油，乙车最多行驶里程大于 5 千米，故选项 A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消 耗汽油ABCD6最少，故选项 B 错；甲车以 80 千米/小时的速度行驶时燃油效率为 10 千 米/升，

10、行驶 1小时，里程为 80 千米，消耗 8 升汽油，故选项 C 错；最高限速 80 千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用 乙车更省油，故选项 D 对.规律方法判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法1 构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时 ，先建立函数模型，再结合模 型选图象2 验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特 点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出 符合实际情况的答案应用所给函数模型解决实际问题區型別_【例 11小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过市场调查， 生

11、产某小型电子产品需投入年固定成本为 3 万元，每生产 x 万件，需另投入流动一 一 12一成本为 W(x)万元，在年产量不足 8 万件时，W(x)二 3x2+ x(万元) )在年产量不小 于 8万件时，W(x)二 6x+弓0 38(万元)每件产品售价为 5 元通过市场分析， 小王生产的商品能当年全部售完.(1)写出年利润 L(x)(万元) )关于年产量 x(万件)的函数解析式；( (注：年利润二年销 售收入固定成本流动成本) )年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多 少？解(1)因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入为 5x 万元，依题意得，当 Ov

12、xv8 时，a2、12L(x)= 5x+ x 3= + 4x 3;，一 (100、 ( 100、当 x 8 时，L(x) = 5x6X+ 38 3= 35 x+匚.71 2 ,宀一 3X + 4x 一3,(100、35-x+T，12(2)当0Vxv8 时，L(x)= 3( (x- 6)2+ 9.此时，当 x= 6 时，L(x)取得最大值 L(6) = 9 万元，(100、 /100当 x 8 时，L(x)= 35- x+* 8.B. 3. 75 分钟D. 4. 25 分钟8(1)B(2)16 (1)根据图表，把(t, p)的三组数据(3, 0. 7), (4, 0. 8), (5, 0. 5)

13、分别代入函数关系式，90. 7 = 9a+ 3b+ c,联立方程组得 0. 8= 16a + 4b+ c,0. 5 = 25a + 5b+ c,7a+ b= 0.1,消去 c 化简得 l9a+ b=- 0. 3,a=-0. 2,解得 b= 1. 5,c=- 2.2所以 p=- 0. 2t + 1. 5t-21 *2 15( (丄 22545o=-1t-尹転+屁-2211513=-5t-4+16,15所以当 t= = 3. 75 时，p 取得最大值，即最佳加工时间为 3. 75 分钟.(2)当 t = 0 时，y= a,当 t= 8 时，y= ae二 e-8b=2,容器中的沙子只有开始时的八分之

14、一时,即 y= ae-bt=a, e-bt= =(e-8 b)3= e-24b,则 t= 24,所以再经过 16 min.构建函数模型解决实际问题團型？_【例 2 某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租该景区有 50 辆自行 车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115 元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每超出 1 元, 租不出的自行车就增加 3 辆为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y（元）表示a4-2-10出租自行车的日净收入( (即一日中出租自行车的总

15、收入减去管理费用后的所得) ).求函数 y= f(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解当 x0,解得 x2. 3.* */x N，二 3 x 6 时，y= 50 3(x 6) x 115.令503(x6) x1150，有 3x268x+115v0.* *又 x N，二 6vx 20(x N )，广*50 x1153Wx6，xN) ),故 y= (2*II3x2+68x1156Vx20，xN*(2)对于 y= 50 x 115(3 x 185，当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多.规律方法构建函数模型解决实际问题的

16、常见类型与求解方法(1) 构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.(2) 构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.a(3) 构建 f(x)= x+x(a 0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.跟踪练习(2016 四川高考) )某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若 该公司2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金 比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是(参对于 y=3x2+ 68x 115= 3 x342+83-1(6Vx4,二从 20

17、佃年开始，该公司投入的研发资金开始超过200 万元.函数模型的选择區型牡_【例 3(20 佃沈阳模拟) )某种特色水果每年的上市时间从 4 月 1 号开始仅能持续 5 个月的时间.上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价格在 原有价格基础之上继续下跌.现有三种价格变化的模拟函数可供选择：f(x)二pqX:f(x) = px2+ qx+ 7;f(x)= logq(x+ p).其中 p, q 均为常数且 q 1.(注: x 表示上市时间，f(x)表示价格，记 x= 0 表示 4 月 1 号，x= 1 表示 5 月 1 号，, 以此类推 x 0,5)(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更

18、能体现该种水果的价格变化态势，请你 选择，并简要说明理由；ff x 一 2x 一 13对(1)中所选的函数 f(x)，若 f(2) = 11，f(3) = 10,记 g(x)=x+，经过多年的统计发现，当函数 g(x)取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请 预测明年拓展外销市场的时间是几月1 号？解(1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数变化趋势，2故应该选择 f(x) = px + qx+ 7.由 f(2)= 11, f(3)= 10 解得 f(x) = x2+ 4x+ 7.f x 2x13g(x)=x+ 1X2 2x+ 620lg 2 lg 1. 312%)n200,得 1.12n13,两边取常用对数,得 nlg 1 120. 30 0.11-0. 05195，13x+1=-亡+x+1一49因为匚1 +(x+1厂4 0 .3 对数