圆锥曲线中的焦点三角形

1、1焦点二角形焦点三角形问题是重要考点，考到的内容有：椭圆或双曲线定义和正余弦定理以及面积公式等。常与曲线的离心率相结合，注意平面几何知识的应用。一:椭圆的焦点三角形椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1, F2与椭圆上任意一点P为顶点组成的三角形。2 2笃吿=1（a b 0）a b（1）| PF1| | PF2|=2a（2）4c2-|PF,|2- |PF2|2-2 | PF,| PF2|COS. F,PF2（3）椭圆上的点与两焦点连线的夹角以椭圆短轴顶点与两焦点连线的夹角最大2 2证明：设 P 是椭圆 笃每=1 （a b 0，C为半焦距）上的一点，0 为原点，E、F 是a b椭圆的两焦点，P

2、E =m，PF =nEPF有最大值，当且仅当 P 在短轴端点时取到该最大值。（4）设P为椭圆上的任意一点，角.RF2P=， F2RP = 1, F2PF1-，则有离心SPFF二b2-=b2tan =尼1COST22 2证明：由正弦定理得:由等比定理得:F1F2F1F2PF1sin（180）_sin：- sin：PF|PF2sin（二，；）F1F22C而sin（-：5）sin（-： ）sin（a+ 門sin sin :PF+|PF2|sin二- sin :sin-2asin :Ce =a例题：sin二1sin :贝VCOSEPF二2mn24b -2mn2mn2b22b212mna-1，由余弦函数

3、图象性质知率e=前C J,sin o +sin P性质有:m2n22x , y圆22=1（a,b 0）的两个a b414PR PF2,| PF1|PF21.求椭圆的方程33焦占八、F1, F2,点P在椭圆上，且2 232、设 P 为椭圆笃爲=1(a .b 0)上一点，Fi、F2为焦点，如果.PFiF75,a b=15，则椭圆的离心率为( (B.兰22xF2是椭圆9PF2F1A 丄丄23、F1、AF1F2的面积为(2-L=1的两个焦点,7)A为椭圆上一点，且/AF1F450，则2 24、Fi、F2是椭圆 -1的两个焦点,2516x轴的距离为77.5C.D.-2 2A为椭圆上一点，且F1AF2=9

4、0：,则A至U16A.3B.165i6 i6 or 35D 非上述答案5、设Fi,F2分别是椭圆2x252-L = i的左、i6右焦点,P为椭圆上一点,Fi, F2, P是直角三角形的一个顶点，则i6A.316B.5P点到C.x轴的距离是16 16或一53D.非上述答案6、 设F-),F2分别是椭圆2-i的左、259右焦点,P为椭圆上一点，Fi, F2, P是是直角三角形的三个顶点,9A.4B.P点到x轴的距离是9十9C.或一54n .D. 非上述答案，倾斜角为的直线交椭圆于A,B两点，若3.(构造焦点三角形，两次应用余弦定理，整体处理余弦定理的结果)X2y28、已知RtABC,AB=AC=1

5、,点C为椭圆2=1(a b 0)的右焦点，且AB为a b7、过椭圆左焦点FA=2FB，则椭圆的离心率为经过椭圆左焦点的弦，求椭圆的离心率。2 2x y9、已知椭圆2=i(a b 0)的左、右焦点分别为Fi(-c,0), F2(c,0)，若椭圆上存在a ba一点P使- 二-，则该椭圆的离心率的取值范围为()sin ZPFsiA.(、2 -i,i)B.(、3 -i,i)C.( .3 - .2,i)D.J)二：双曲线的焦点三角形双曲线的焦点三角形是指以双曲线的两个焦点Fi, F2与双曲线上任意一点P为顶点组成的2 242 25二角形。2= 1(a 0, b 0)a b(1)|PFi| PF2|=2a

6、(2)(3)有离心率4c2=| PF,|2- | PF2|2-2 | PF1| PF2|COS. F1PF2设P为椭圆上的任意一点，角.F1F2 . F2F1 , F2PF1- V，则 sin (a+P)/冲，當 厂_匕2si n日= b2-CO_ta n?2e =sin：-sin(爲八)，SPF1F2(4)例题:2-1上的一点，12| PF |：|PF2 =3: 2，则PF1F2的面积为(12、32为双曲线xF,F2是该双曲线的两个焦点，若A.6、3B.122、已知F1,F2为双曲线COF1PF2-1A.4-22)C : x2C.2-yD.24=2的左右焦点，点P在C上,| PF12 | P

7、F2|，则B.3、双曲线X2-匚=1的焦点为Fi、34C.D.45IF2，点 M 在双曲线上且MRMF2=0，则点 M 到x轴的距离为(4A.35B.-34、已知F1、F2为双曲线P到 x 轴的距离为(A)(B)2 2C:x22_y(C) )32.3D.-3=1的左、右焦点，点 P 在 C 上，/F1PF2=600，则C.3(D)65、设 Fi, F2分别是双曲线a一点 P，使(OP OF2)F2P= 0, O 为坐标原点，且 心率为2 2务-告=1(a0,b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一b| PF1h - 3 | PF2|，则该双曲线的离_3 亠 1.A.3 1B. - C. x62

8、D.26.22 262 276、设点 P 是双曲线一22a bF2分别是双曲线的左、右焦点,2 2 2 2二1(a , b 0)与圆x y a b在第一象限的交点,Fi、B.且| PF11 = 3| PF21，则双曲线的离心率2,10102227、过双曲线冷_爲=1(aa b0,b0)的左焦点2 2 2F(-c,0)作圆x y二a的切线，切点为E,延长FE交双曲线于点P,O为原点，若1OE (OF OP)，则双曲线的离心率22 2x &已知F1、F2分别为双曲线C:二2-1 a b 0的左、右焦点，点P为双曲线右a b支上一点，满足| PF2|=| F1F2|，且F2到直线PF1的距离

9、等于双曲线的实轴长，则该双曲线53的离心率为9、已知Fi、F2分别为双曲线一点P，满足I PF1戶2 | PF2|10、已知F-i, F2为离心率为co PF2F1-2 2C:笃-爲=1a b 0的左、右焦点，若双曲线上存在a b，则该双曲线的离心率范围为 (1, 32的双曲线的左右焦点，点P在C上,| PF12| PF2|，则11、设F,F2分别是双曲线1 33 52X - 1的左、右焦点.9C.2D .3 I若点P在双曲线上，且PFPF2-0,则PR+PF2|=(A.、帀)2 102xB.c.、522 =1的左、右焦点，A, B是圆12、设F2分别是双曲线a bABF2为等边三角形，则 该

10、双曲线的离心率6 1D .乜2x2y a2 b2与双曲线左支的两个交点，且A.、5B.3C.13、已知P是双曲线2 2x y2亍=1a0,b0右支上一点，F1、a bF2分别是双曲线的左、右焦点,I为,PF1F2的内心，若SkS*sIF1F2成立，则该双曲线的离心率为A. 4B.14、已知2 2P是双曲线 1上一点，F1、F2分别是双曲线的左、 右焦点，若IPRF5432 28229则| PF21二_1or915、 已知P是双曲线 1上一点，Fi、F2分别是双曲线的左、 右焦点，若|卩斤|=5412则|PF2|二_92 2练习：已知双曲线 爲y2=1(a0, b0)的两个焦点为Fd-c,。)、

11、F2(C,0)，若双曲a b线上存在一点P满足SinPF1F2二a,则该双曲线的离心率的取值范围是si nNPF2Fc(1,1 2)2 216、 已知双曲线 笃-爲-1(a0, b0)的两个焦点为F1、F2，点A在双曲线第一象a b1限的图象上，若AF1F2的面积为 1，且tan. AF1F2,tan. AF2F1=-2，则双曲线2方程为2 217、设F1F是双曲线 仔-每=1(a0,b0)的左右焦点，过点a ba b右支交于AB两点，若| AB|:|BF2|:|AF2| =3:4:5，则双曲线的离心率是2 219、如图设F1,F2是双曲线 务-占=1(a 0,b 0)的左右焦点，|市2|=4

12、,P为双曲线a b右支上一点，F2P与y轴交于点A,APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|P,则双曲线的离心率是(A)3(B)2(C)(D)312x2-3y2=1C.3x212y21232xD.3112F2的直线与双曲线的右5-2 22F1的直线与双曲线的左支交于代B两点，若.F1AB是以A为直角顶点的等腰三角形，则10y椭圆与双曲线的焦点三角形2 2 2 2XVXV例题：若椭圆1(m和双曲线1(s,t 0)有相同的焦点Fi和F2,m ns t而P是这两条曲线的一个交点，则PFj|PF2的值是()122iiA.msB.(ms)C.m-sD. m -s22 2xx例题：若椭圆V2=1

13、 m 1与双曲线V2=1 n0有相同的焦点，点P是两曲mn线的一个公共点，则.F1PF2的面积是_12 2例题：设F1与F2是曲线C1：1的两个焦点，点M是曲线G与曲线6 22X2丄C2:V =1的一个交点，求MF1F2的面积.32例题：如图，F1,F2是椭圆C1:V1与双曲线C2的公共焦点，A,B分别是G, C2在第4二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是A；2B.、3 C.3DA62 2例题：已知点p是以F1, F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且PF1丄PF2,e,e2分别为椭圆和双曲线的离心率，贝UAee2启2 B.e+ezqC.qq工2血D. +4 = 2ee例题：已知点P是以F1, F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交