2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

1、第 2 讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式、知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1) 平方关系： sin2x + cos2x= 1.(2) 商数关系：tan x =SjnX其中XMkn+扌，k Zcos x22三角函数的诱导公式组数*-二二三四五六角a+2kn(kZ)n+ aan an2 an+ a2正弦sinasinasinasinacosacosa余弦cosacosacosacosasinasina正切tanatanatanatana常用结论1同角三角函数关系式的常用变形(sinacosa=1 戈 sinacosa;sina=tana cosa2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象

2、限”，其中的奇、偶是指 2 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.、习题改编B. 2答案：sin 201.(必修 4P19 例 6 改编)已知 sina= 5an贝Vtana=(解析：选 D.因为 cosa=-1 sin2a=sinaa=:cosa2.(必修 4P20 练习 T4 改编)化简1COS22B=cos 2 0tan 20解析:1COS220cos 2Ban 2sin220sin 20=sin 20cos 20就01罕所以tan一、思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)对任意的角a,都有 sin2a+cos23=1.()若aR，贝ytana=卫恒成立.()cosa(

3、3)sin(n- a)= sina成立的条件是a为锐角.()1 1若 cos(nn 0)=3(nZ),贝Ucos=3.()答案：(1)X(2)X(3)X(4)X二、易错纠偏常见误区(1)不注意角的范围出错；(2)诱导公式记忆不熟出错.2 r,1 .已知 cos( a)= 3，贝Vtana=()B2选C.因为 cos( a=3,3所以 cosa= 3,则a为第二或第三象限角所以 sin解析:D.1“ 2.若 sin( n a)= 2，贝 V sin(7 n a)=3n3nnn1a+ =COsa+ 一 2n =COsa?=COs 2 一 =sina=同角三角函数的基本关系式（多维探究）角度一公式的

4、直接应用所以 tansin aa=:COSa53=52= _2.解析:由 sin( n a =一sina=-1,1 得 sina=2,贝 U sin(7 no)= sin( 一a)= sin1a= ,3n,cosa+=_cos3(1)(2020 北京西城区模拟)已知a(0,所以 cos故 sina+cosa=-呼.5【答案】(1)D(2)严57t,cosa=-二，贝Utana=()5A.|B-14C.34D 31已知a是三角形的内角，且tana=-3，则 sina+cosa的值为【解析】3(1)因为 cosa=-5 且a(0, n所以 sina=1-COs2a=5,所以 tanSinaa=:c

5、osa4-3故选 D.(2)由 tan1a=-3，得 sin1a=-3COSa,且 sina0,cosa0,将其代入22Sina+cosa=1,得 10cos2a=1,.1010，禾 U 用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的.角度二 sina,cosa的齐次式问题已知tana=-1，求下列各式的值:tana1sina_3cosa一 sina+cosa(2)sin2a+sin 况 cosa+2.【解

6、】由已知得 tana=|.sin a_3cos a tan a3=sina+cosatana+153.?.2sina+sin 久 cosatana+tana(2)sin2a+sin 久 cosa+2=22+2=2+2=sin2a+cos2atan2a+11212+2 亍 + 2 =2+113石.关于 sina与 cosa的齐 n 次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略已知 tana,求关于 sina与 cosa的齐 n 次分式或齐二次整式的值.角度三 sinacosa,sinacosa之间的关系已知氏(n0),sina+cosa= 5.(1)求 sinacosa的值;sin 2a+2sin2a

7、求1 tana的值.【解1(1)由 sina+cosa=-,5平方得221sin2a+2sin acosa+cos2a=,25整理得2sinacosa 鴛25所以(sin a cos a2=1 2sin49acosa=25.由a( n,0),知 Sina0,所以 cos a0 ,贝Usinacosa0,故sinacos 5.2sin 2a+2sina2sina (cosa+sina)(2)=1tana1sinacosa2sinacosa (cosa+sina)24x125 5cosasina24175.sinacosa与 sin acos a关系的应用技巧(1)通过平方 ,sina+cosa,

8、Sinacos a, Sinacosa之间可建立联系 , 若令 Sina+cosa=t，则 sin 咖a=于,sinacosa=2 t2（注意根据a的范围选取正、负号）.(2)对于 sina+cosa,sinacosa,sin acosa这三个式子，可以知一求1.1(2020 长春模拟)已知 sinacosa=-,8且5na0,所以以第一或第二象限角.sin a COS a1cos a+sina=sinacosa55综合(1)(2)知，原式=2 或一2三角函数运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方 向，灵活地选用三角函数公式，完成三角函数运算.C.tan(a+ n )5nsin三+a5