2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

1、第 4 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系、知识梳理1 直线与圆的位置关系设直线 I :Ax+ By+ C = 0(A2+ B2工 0),圆：(x- a)2+ (y- b)2= r2(r0),d 为圆心(a, b)到直线 I 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的 判别式为.宀护方位置大糸方法几何法代数法相交dr0), 圆。2： (x- a2)2+ (y- b2)2= r2(r20).7、方法位置关系几何法：圆心距 d 与 ri, r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dri+r2无解外切d=ri+r2一组实数解相交|ri-r2|dri+r2两组不同的实数解内切d=

2、|ri-r2|(ri丰r2)一组实数解内含Owd 1,从而圆心 O 到直线 ax+ by= 1 的距离 d= j v 1,寸 a2+ b2寸 a2+ b2所以直线与圆相交.(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k2+ 1)x2+ 4kx+ 3= 0,直线与圆没有公共点的充2 法二：圆心(0, 0)到直线 y= kx+ 2 的距离 d=-直线与圆没有公共点的充要条件是d1,2 即1,解得 k ( ,3,3).-k2+ 1【答案】(1)B(2)k ( 3,3)【迁移探究】(变条件)若将本例 的条件改为“点 M(a, b)在圆 O: x2+ y2= 1 上”，则直线 ax+ by= 1 与圆 O 的

3、位置关系如何？解：由点 M 在圆上，得 a2+ b2= 1,1所以圆心 O 到直线 ax+ by= 1 的距离 d = .- = 1,pa2+ b2则直线与圆 O 相切.判断直线与圆的位置关系的方法(1) 几何法：由圆心到直线的距离d 与半径 r 的大小关系来判断.(2) 代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于 x(或 y)的一元二次方程，根据一元.次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断.如果A0,那 么直线与圆相交.2 -b,半径 r = 斗.因为圆心到直线 ax by= 0 的距离所以直线与圆相切故选B.切线与圆的综合问题（多维探究）（2020 陕西四校联考）直线 ax by=

4、 0与圆 x2+ y2 ax+ by= 0 的位置关系是（）A 相交B 相切C.相离D 不能确定，与 a, b 取值有关解析：选 B.将圆的方程化为标准方程得x | + y+ b =耳仝,所以圆心坐标为角度一圆的切线问题(1)2020 宁夏银川一中一模)与 3x+ 4y =0垂直，且与圆(x- 1)2+ y2= 4 相切的一条直线是()A . 4x- 3y= 6B. 4x 3y=- 6C. 4x+ 3y = 6D. 4x+ 3y= 6(2)(一题多解)(2019 高考浙江卷)已知圆 C 的圆心坐标是(0, m)，半径长是 r.若直线 2x y + 3 = 0与圆 C 相切于点 A( 2, 1)

5、，贝 U m=_ , r =_.【解析】 设与直线 3x+ 4y= 0 垂直的直线方程为 I : 4x 3y+ m= 0,直线 I 与圆(x 1)2+ y2= 4 相切，则圆心(1, 0)到直线 I 的距离为半径 2,即= 2,所以 m = 6 或 m = 14,所以 4x 3y+ 6= 0，或 4x 3y 14= 0,结合选项可知 B 正确， 故选 B.(2)法一：设过点 A( 2, 1)且与直线 2x y+ 3= 0 垂直的直线方程为 I: x+ 2y+ t= 0, 所以一 2 2 + t = 0 ,所以 t = 4 ,所以 I : x+ 2y + 4 = 0.令 x = 0 ,得 m =

6、 2 ,贝 U r = (2 0)2+(1 + 2)2= 5.法二：因为直线 2x y+ 3= 0 与以点(0, m)为圆心的圆相切，且切点为 A( 2, 1),【答案】(1)B(2) 2.5m +1所以X2= 1, 所以 m = 2,0( 2)r = ( 2 0)2+( 1+ 2)2= . 5.圆的切线方程的求法几何法：设切线方程为 y yo= k(x xo),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线 的距离d，然后令 d= r,进而求出 k；(2)代数法：设切线方程为 y yo= k(x xo),与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一 元二次方程，然后令判别式A=0 进而求得 k.注意 求过

7、某点的圆的切线问题时 , 应首先确定点与圆的位置关系 , 然后求切线方 程若点在圆上 (即为切点 ),则过该点的切线只有一条；若点在圆外 , 则过该点的切线有两 条(若通过上述方法只求出一个 k,则说明另一条切线的斜率一定不存在 ，此时另一条切线的 方程为 x = xo).角度二 圆的弦长问题(1)( 一题多解)(2020 安徽合肥调研)已 知直线 I: x+ y 5= 0 与圆 C: (x 2)2+ (y1)2= r2(r0)相交所得的弦长为 2 2，则圆 C 的 半径 r=()A. 2B. 2C. 2 2D. 4(2)(2020 豫西南五校 3 月联考)已知圆 C: (x 2)2+ y2=

8、 4，直线 li： y= 一 3x, I2： y= kx 1，若 li, I2被圆 C 所截得的弦的长度之比为1 : 2,则 k 的值为()A. .3B. 113C.1D.左|2+ 1 5| 厂 【解析】(1)法一：圆 C 的圆心为(2, 1),圆心到直线 I 的距离 d =-= 2,又 12+ 12弦长为2 2,所以 2 r2 d2= 2 2,所以 r = 2,故选 B.x+ y 5 = 0,法二：联立得整理得 2x2 12x+ 20 r2= 0,设直线与圆的(x 2)2+( y 1)2= r2,20 /两交点分别为 A(X1, y1), B(X2,y2),所以X1+ X2= 6, X1X2

9、=2 ,所以 |AB|=.1 +k2|x1X2|=.2X(X1+X2)24x1x2=36圆 C : (x 2)2+ y2= 4 的圆心为 C(2, 0),半径为 2,圆心到直线 l1： y = . 3x 的距离 d1=学=3,2 (20 r2)= 2 .2,解得 r = 2.|2k 1|3= 2.圆心到直线 12的距离 d2=x/k2+ 1所以 12被圆 C 所截得的弦长为 4 = 2 4 d2,所以 d2= 0.1所以 2k 1 = 0,解得 k=,故选 C.【答案】(1)B(2)C求直线被圆截得的弦长的常用方法(1) 几何法： 用圆的几何性质求解， 运用弦心距、 半径及弦的一半构成的直角三

10、角形 计算弦长 |AB|=2r2 d2;所以 11被圆 C 所截得的弦长为(2) 代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|= 1 + k2|x1 x2|.再利用1 平行于直线 2x+ y+ 1 = 0 且与圆 x2+ y2= 5 相切的直线的方程是()A 2x+ y+ 5= 0 或 2x + y 5 = 0B 2x+ y+ 5= 0 或 2x+ y 5 = 0C. 2x y+ 5 = 0 或 2x y 5 = 0D. 2x y+ *5 = 0 或 2x y . 5 = 0解析：选 A.设直线方程为 2x+ y+ c= 0

11、,由直线与圆相切，得 4 =巴=.5, c= 5,所 以所求方程为 2x+ y+ 5 = 0 或 2x+ y 5 = 0.2.(2020 河北石家庄质检)已知 a R 且为常数，圆 C: x2+ 2x+ y2 2ay= 0，过圆 C 内一点(1 , 2)的直线 I 与圆 C 相交于 A, B 两点.当/ ACB 最小时，直线 I 的方程为 2x y= 0, 则 a 的值为()A. 2B. 3C. 4D. 5解析：选 B.圆的方程配方，得(x+ 1)2+ (y a)2= 1 + a2,圆心为 C( 1, a),当弦 AB 最a 2短时，/ACB 最小，此时圆心 C 与定点(1, 2)的连线和直线

12、 2x y= 0 垂直，所以X21 1=1,解得 a= 3.3._(2020 东枣庄期末改编)若点 P(1 , 1)为圆 x2+ y2 6x= 0 中弦 AB 的中点，则弦 AB 所在直线的方程为 _, |AB|=.解析：圆 x2+ y2 6x = 0 的标准方程为(x 3)2+ y2= 9又因为点 P(1, 1)为圆中弦 AB 的1 一 0 1=* 故弦 AB 所在直线的斜率为 2,所以直线 AB 的方程为 y 1 = 2(x 1)，即 2x y- 1 = 0圆心(3, 0)与点 P(1, 1)之间的距离 d = . 5,中点，所以圆心与点 P 所在直线的斜率为圆的半径 r = 3,则 |A

13、B|= 2 r2 d2= 4.答案：2x y 1 = 0 4圆与圆的位置关系(师生共研)(1)已知圆 M：x2+ y2 2ay= 0(a0)截直线 x+ y= 0 所得线段的长度是2 2,则圆 M 与圆 N:(x 1)2+ (y 1)2= 1 的位置关系是(A 内切B.相交C.外切D.相离(2)两圆 C1: x2+ y2+ 4x+ y+ 1 = 0, C2： x2+ y2+ 2x+ 2y+ 1 = 0 相交于 A, B 两点，则 |AB|【解析】由题意得圆 M 的标准方程为 x2+ (y a)2= a2,圆心(0 , a)到直线 x+ y= 0两圆半径之和 3,大于两圆半径之差 1,故两圆相交

14、.由(x3 4 5+ y2+ 4x+ y+ 1) (x2+ y2+ 2x+ 2y+ 1) = 0 得弦 AB 所在直线方程为 2x y= 0. 圆C2的方程为(x+ 1)2+ (y+ 1)2= 1,圆心 C2( 1, 1),半径2= 1.圆心 C2到直线 AB 的距离|2X (1) (1)|1d=.5=5 .所以 |AB|= 2& d2= 2 寸 1 =晋.【答案】(1)B (2)6 53 几何法判断圆与圆的位置关系的步骤1确定两圆的圆心坐标和半径；2利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d,并求1+2,12|；3比较 d ,1+2, | |12| |的大小,然后写出结论.4 两圆公共弦

15、长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一个圆中，由弦心距 d,半弦长2,半径所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解.圆 M，圆 N 的圆心距|MN|=2,小于的距离 d =1.圆 Cl： (x m)2+ (y+ 2)2= 9 与圆 C2： (x+ 1)2+ (y m)2= 4 外切，则 m 的值为()A . 2B. 5C. 2 或5D.不确定解析：选 C.由圆心 Ci(m, 2), ri= 3;圆心 C2( 1, m), r2= 2;则两圆心之间的距离为|CiC2|=(m+ 1)2+( 2 m)2= 2 + 3= 5,解得 m= 2 或5故选 C.2.(2020 苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 C 过点 A(0,8),且与圆 x2+ y2 6x 6y = 0 相切于原点，则圆 C 的方程为 _，圆 C 被 x 轴截得的弦长为_ .解析：将已知圆化为标准式得(x 3)2+ (y 3)2= 18,圆心为(3 , 3),半径为 3,2.由于两 个圆相切于原点，连心线过切点，故圆