量子光学中的非经典态

1、第19卷第1期1999年3月物理学进展PROGRESSINPHYSICSVol.19,No.1March,1999量子光学中的非经典态于祖荣(上海交通大学应用物理学)摘要、相干态、压缩态、相位态和中间态等。重。,;它的时间演化波包的概率密度分布,形状不随时间变但中心位置。文中对相干态和压缩态等提供了也许是一点新的看法:将相干态、压缩真空态、压缩相干态和相干压缩态等看作是一准玻色子的基态或相干态。而实现的手段可以是原来的幺正算符也可以是投影算符。这样的好处是:(1)对相干态和压缩态间的联系有更深的认识;(2)便于计算和进一步展开等等。文中还对各个态的压缩性、统计性等作了介绍,有的还用图表等演示了

2、它们的非类经典特性。最后,文中还介绍了准概率分布函数、相空间技术以及它们的应用并给出了示例。关键词相干态压缩态相位态中间态准经典态准概率分布函数0引言光的量子理论应追溯到Planck-Einstein年代,但直到1960年激光器问世前,在光学研究上并无有更多的新现象、新概念出现。六十年代初发明了激光器完全改变了这个局面,迎来了量子光学蓬勃发展的新时代1。1997年度的Nobel奖授予激光冷却原子的发明者朱棣文等2是这一情景的标志。今天,量子光学的研究已密切关及到量子力学本身许多基本问题,所以它的进展就更引人注目。在过去四十年里,量子光学研究重大进展之一,是构造出许多非经典态,如:光子数态,Gl

3、auber相干态,多光子相干态,偶、奇相干态,压缩态,Schrodinger猫态,相位态,压缩数态以及中间态等等。这些态都有许多非经典性质,它们中有的虽已从实验上制备了出来,但总的仍偏于理论探讨。在这里我们将对这些态的概况作一些简单介绍和评述。其中许多已是大家熟悉的,我们将只概括地提一下,而对一些比较少见的内容则作稍许详细的介绍。收稿日期:19980926;修改日期:199810251期于祖荣:量子光学中的非经典态73下面先介绍一些在今后会经常遇到的重要概念。(1)压缩性。大家知道,在量子力学中电磁辐射场的每个模式对应于一个谐振子,所以单模式光的电场可用下面标量算符表示E(r,t)=(h/2t

4、)+h.c.0V)aexpi(kr-(1)-2是真空介电常数和磁导率:满足,c00=c,由于物理上的需要,1)Er)E,t()+(,t)(-)(2)其中正频部分E(,t(+/hr-t),负频部分是它的厄密共轭。0)i(k(3)q和动量p对应的算符+X1=(a+a)/2,X2=(a-a)/2i那么r=0t)E(t)=Eo(X1cost+X2sin其中Eo=/h这意味着在相空间中电场有两个相互垂直的振动组成,它们的0V)。振幅分别正比于X1和X2。因为X1,X2=i/2,故按量子力学基本原量,对任意态有X1X21/4如果等号成立,则称这个态为最小测不准态。而如果能找到一个态使X1(或X2)<

5、1/2并保持(4)式中的等号,则称这个态有理想的振幅压缩效应。(2)统计性。对任意态可算出数算符N=a+a的平均值N和均方根偏差N,由(4)(5)此可定义Fano因子F=N(6)当F=1时,称这个态的光子数分布为泊松分布;当F>1时,则光子数的分布比泊松分布要宽,称它为超泊松分布;而当F<1时则比泊松分布更窄,称之为亚泊松分布。(3)反聚束性。在量子光学发展过程中,Hanbury-Brown和Twiss(HBT)实验被公认是奠定量子光学基础的关键实验。图(1)给出了该实验装置的示意图。图中M是一半透明的分束镜,它将射来的光束分成两半,一半被光电探测器P1接收,另一半则被P2接收;两

6、探测器输出的讯号又被馈送到一个相关器C。并且在其中一条光路上装时间延迟器,使时间延迟了。这个装置与通常的Young氏和Michelson实验不同,在Young氏实验或Michelson实验中只观测两束光场的关联,被认为只是一级关联,它由一级相关度(1)描述。可以指出对稳定的完全相干光场只要谱形相同,它们的g(1)()均等于1。g()而HBT实验,从经典角度看是光的强度-强度关联:I(r,t)I(r,t+,是场的二级关74物理学进展19卷联。这里代表对某个响应时间T的平均,并已假定两个光电探测器P1和P2距离很近,故r1r2r。)通常用二级关联度g(2)代替I(r,t)I(r,t+描述光强的相关

7、程度,()()=(7)g2(r,t,t+)I(r,t)(I(r,t+(I(r,t)2,立即可得用不等式I2(r,t)>2(2)(8)g(0)=1(I(r,t)2)再借助Schwarz不等式|I(r,t)I(r,t+|2I2(r,t)I2(,可以证明(2)(9)g(转到量子力学,(8)(9?为回答这个问题,让我们先看个例子。假定HBT,M后,按量子力学基本假设它,不会有半个反射半个透射,所以必有g(2)(0)=0,亦即不等式,。所以在量子力学中,对某些光场的态不等式(8)(9)有可能被破坏,对这类态统常称为非类经典态;否则称为类经典态。)的定义也要改变,对稳定的单模光场可简化为另外,在量子

8、力学中g(2)(+(2)=(10)g(+2aa)也与经典不同,是对量子态的平均。由此可见,g(2)()是度量时间t这里=Tr(和t+之间光子的关联。当光场满足不等式(9)时,且<c,光子呈现出超关联,称此为光子聚束效应,而对某些光场如果有不等式c称关联时间。g(2)()>g(2)(0)a+a(11)则称它是反聚束的,例如共振荧光。又因g(2)(2)=1+(12)所以g(2)(0)大于、等于或小于1是与F的分别一一对应的。于是若()(13)g2(0)<1则光场的光子数分布呈亚泊松分布,而满足(8)的则呈超泊松或泊松分布。总起来,一个光场如果它具有压缩性、亚泊松分布和反聚束效应等

9、等,则称它为非类经典光场,否则称类经典光场。当然,一个非类经典光场一般不会具有全部这些性质的。1光子数态从电磁场的表式容易写出单模辐射场的哈密尔顿量为+(14)H=(aa+1/2)显然H的本征态也是光子数算符N=a+a的本征态:N|n=n|n,常称|n为光子数/2为光场的态,本征值n则称光子数。因物理上不存在负的光子数,故a|0=0。而零点能量。1期于祖荣:量子光学中的非经典态75光子数态|n,是量子光学中最基本和最重要的态。它构成一完备组:|nn|=1,任意光子态均可按此展开,展开是唯一的。推广到多模式是简单和直接的,若令s摸式光子的湮灭和产生算符分别为as和as+,则多模式光场的基矢可直接

10、推广为|n1,n2,=|ns=|n1|n2(15)(1)对单模光子数态容易求得X1=(2n+1)/2,X2=(2n+1)/2(图1HBT,又光子数态的F(2)=-1/n,所以光子数态呈亚泊松分布,这是自然的(2):n|E|n=0;但算符E2的,所以E的均方偏差不为零:(E)2=n|E2|n=(/V)(n+1/2)同的,均来自算符a和a+间的不对易。(17)特别是对真空态|0的均方偏差不为零,称此为真空涨落。真空涨落和零点能的起源是相真空涨落有观察效果,主要是Lamb移动。在Dirac理论中氢原子的22s1/2和22p1/2能级是简并的,但Lamb和Retherford3的实验指出这两条能级不简

11、并,22s1/2比22p1/2高约100MHz。Lamb移动可按半经典理论加上零点涨落给予完全说明。所谓半径典理论是指:把原子、分子看作量子系统,而把光看作经典电磁波。这样做在许多问题中往往是正确的,如光电效应,受激辐射和共振荧光等等。有的则还需加上零点涨落,如自发辐射,Lamb移动和激光线宽等等。关系Lamb移动的半经典解释首先是由Bethe和Welton4作出的,他认为:电子在零点场的扰动下轨道发生偏离使电子获得附加势能,而后用量子论中的微扰论计算了这个附加能量,结论是:在一级近似下只有s轨道上的电子此附加能量不为零而p轨道上的为零,且算得的理论值与观测值一致。(3)但半经典理论并不是总是

12、有效的,有些问题是必需用完全量子力学的,例如量子拍现象。为说明这现象,考虑光与三能级原子的相互作用。假定三能级原子系统有如图(2)所示两类:V-型原子(图2a)和-型原子(图2b)。对这些模型,一般的原子态应是图中三个态的叠加。故它们的非零偶极矩阵为型原子V型原子Pac=ea|r|cPbc=eb|r|c于是原子的振动偶极子为:Pac=ea|r|cPab=ea|r|b76物理学进展319卷P(t)V1t)+Pbc(cbcc)exp(i2t)+c.c=Pac(cacc)exp(i3(18)(19)331t)+Pab(ca2t)+c.cP(t)=Pac(cacc)exp(icb)exp(i其中,V型

13、原子的1=a-c,2=b-c;型原子的1=a-b,2=a-c。图2,()1t)+E2exp(-i2t)E+=E1exp(-i故|E(+)|2=|E1|2+|E2|23+E1E2expi(1-2t)即两种模型干涉项(拍)均存在。而在完全的量子力学理论中,两模型的波函数分别是:|V(t)=|(t)=i=a,b,ci=a,b,c66ci|i,0+c1|c,11+c2|,c,12ci|i,0+c1|b,11+c2|c,12其中|,=|原子态 |光子数态。所以有(-)(+)v(t)|E1E2|v(t)=kexpi(1-2)(-)(+)E2|(t)|E1(t)=0(20)(21)显然与半经典理论的不同。从

14、量子测量理论可以得出结论:半经典理论不正确而量子理论是正确的,这是因为:若激发的V型原子因放出1或2一个光子而跃迁到相同的终态,故测量不能决定原子是循那条路径衰变的,犹如Young氏实验中的情形,这种运行轨道不确定导致了量子干涉(拍)现象。而激发的型原子虽然也是通过发射1或2一个光子而衰变的,但经过一段时间之后我们可以区分原子是循那条路径衰变的,故观察不到拍现象。(4)最后,在此顺便给出热光场(混沌光场)的一些性质。热光场的态密度为n=6|nn|(1+)n+1n)是平均热光子数。知道了就可算出热光场的其中n=Tr(N)2+(naa=a+a+=0,N2=2n所以X1=X2=(2n+1)(2)(2

15、2)F=1+n,g(0)=21期于祖荣:量子光学中的非经典态77即热光场无压缩性,属超泊松分布的光场。实际上它的光子数分布是Bose-Einstein分布,n(23)nn=n|n=)n+1(1+n2相干态什么样的物理状况会产生相干态?考虑一经典电流r,t)。这电流与矢势A(r,t)的作用能量为V(t)=dJ(r)/c所以在相互作用表象中,(t-i/)dtV(t)|(0)+3|(t)=expAa-Aa|(0)其中A是与算符a+和a无关的量。这就是单模式相干态。一般,单模式相干态定义为5+3|a=exp(a-a)|0或者也可写作2+|a=exp(-|/2)exp(a)|0=exp(-|/2)2n=

16、0(24a)(24b)(24c)6n(/n!)|n这里是复数,|0光子真空态。物理文献上称|为Glauber相干态。而将幺正算符+3)=exp(25)D(a-a)称为位移算符。(1)容易算得X1和X2在|中的均方根偏差X1=X2=1/2X1X2=1/4(26)|E|即相干态是最小测不准态,但没有振幅压缩。另外,从和E可以看出随|2增加,E与|E|之比将减小,所以当|a|2很大时相干态光场接近于经典光场。但注意,相干态光场与经典场根本不同之处在于相干态光场有涨落,这种涨落可以认为起源)使真空态|0于真空起伏:在通过D(演化成相干态|时真空涨落保存了下来。也容易算出光子数在|的平均值和平方平均值,

17、(27a)|N|=|2(27b)|N2|=|4+|2所以Fano因子F=1,g(2)(0)=1。即相干态中的光子数分布是泊松分布,)/n.P(n)=nexp(-n(28)其中n|2是平均光子数(27a)。它比热光子的Bose-Einstein分布要窄。可以指=|出在高激发态的激光光子分布就是如此。78物理学进展19卷(2)现在,再回来看看相干态所包含的物理内容。为此考虑它在坐标q表象中的表示,=exp(-|2/2)o(q,0)=q|6n(/n!)q|n(29)波函数q|n已在普通量子力学教科书中给出,n(q)=q|n=n(/(2n.n22)(-1)nexp()/2nexp(-)d其中=q,=(

18、/)(已令质量为1)代入(29)式,=(1o(,则得o(q,0)=(/)exp(-/2-qo)(30)即是说在坐标表象中,Glauber。亦即相当。|,t/2)|(t)|,(-)|=exp(-i,2|=(/)1/2exp-(q-qocost)2/o(q,t)|(31)。(30)式的步骤,可以得到o(q,t),从而可得到其中(=(i(32)这意味着相干态波包的时间演化过程中,它的中心在作来回振荡而回绕振荡中心的概率分布保持不变。这种情况与谐振子势中的波包是很不一样的。可以指出波包的演)expi化过程是:若t=0时为(q-qo),在t=/2时变成了平面波(m/2(mqo|)q,而到t=时又变成了形

19、波包(q+qo)。如果有一快速闪频观察仪将能观察到这种变化。(3)相干态是归一的但不正交,|=exp-(|2-|2)/2+3且满足|d()|所以|是过完备的。=1(33)(34)=d2)d(Im)d(/,d2=d(Re由此可知相干态可以看作是量子力学的一个表象。因为任一态矢量|均可用相干态展开,|=)|d(exp(-|2/2)f(3)(35)其中3f()=3f()是态矢量|在相干态表象中的表示。同样对任一算符0也可给出它在相干态表6(3/n.)n|(36)象中的表示。不失一般性,令算符0=6Cmna+man,则)=0(,5/5)f()|=0|f(其中0算符在相干态表象中的表示为0(,5/5)。

20、例如(37)1期于祖荣:量子光学中的非经典态79a,a5/5+(38)这就给出了相干态与Bargmann表示间的联系。(4)相干态表象在量子光学中的一个重要应用是可以定义一些准经典分布函数6P(s)(,3)=-1d()exp(3-3)C(s)(,3)(,3)=Tr(D()exps|2/2(39)其中C(s)(40)(41)(42)(43)是态密度算符,Tr()=1。s是参数,当s=1时,P(s)(,3)=P(3),P当s=-1时,P(s)(,3)=Q),当s=0时,P(s),3(Wigner函数。可P(,3)是非正规函数,(2)(-相干态:P(,3)=o)光子数态:2(2)P(,)=(1/n.

21、)exp(|)(55(44)32(45)但热光场(混沌光场)的P是正规函数,3-12)热光场:P(,)=nexp(-|/n它是Gauss函数。类似地也可以求出这些光场的Q(,3)和W(,3)。(46)这些准经典分布函数在量子光学中的作用大致有以下几个方面:用这些分布函数可类似经典统计物理中那样方便地计算出物理量的平均值。例如342热光场g(0)=2P(,)|2d22相干态光场g(2)(0)=1(2)当然要求这些函数是非负定的和非奇异的。但即使如此,一般它们也不具备经典分布函数的全部性质。顺便指出,对正规乘积型算符,即产生算符在左湮灭算符在右,用P表示较方便;对反正规乘积型算符用Q表示较方便;而

22、对对称型算符则用Wigncr函数较方便。引入相空间概念从而可从几何角度研究系统的性质。因在相干态表象中X1=),这意味着相空间可由座标(Re(),Im()构成。于是象相干Re(,X2=Im(态|的Wigner函数o32Wc(,)=2exp(-2|-o|)(47)2),=|在相空间中可用W=常数的回路(圆)表示,如图3所示。回路中心在(|o|,exp(i)。从图上可以粗略看出一个态的相位的性质:例如对|,=,o是回路的角歧散。80物理学进展19卷从分布函数还可推出一些光场的非类经典性质。(2)例如,因g(0)<1等价于2(a+a+aa)<0-a+a上式左边是正规乘积,故可用P表示计算

23、它的值,即)2d()<0P(,3)(|2-a+a可见,除非P(,3)<0,否则不等式不能成立。亦即此类光场必是非类经典的。又如(Xi)2(i=1,2)在P表示中可写作(Xi)2=1/4+(Xi)2)P(,3)(3-()=1/41+d(2(i)1/4,则P(,3)必须是负的,因此有振幅压相空间中的相干态图示。(5)(24)式外还有别的等价的定义。例如大家熟悉的有:可定义|是湮灭算符的本征态或是最小测不准态,等等。此外还有另一等价的定义7。若定义b=a,-是b玻色子的湮灭算符,则|就是b玻色子的真空态|0b,即)|0|0b=D()算符成为从|0)不是唯一的变换算符,例如所以D(变为|0

24、当然D(b的变换算符。玻色真空投影数符也是这种变换算符。玻色真空投影数符的定义为P=|0b0|=m=06m+mmm.2(48)它满足:bP=0;P2=P;P|n0以及b=0,nP|=6cnP|nb=co|0b,|co|=|P|(49)这里|nb玻色子的Fock态。现在可容易证明b是+|=|0|2/2)exp(a)|0b=exp(-|a其中co=exp(-|2/2)。(6)但是所有这些等价形式中,只有(24)式能推广到一般群的广义相干态8。例如自旋相干态的定义为3|Z=exp(zJ-zJ+)|o(50)其中J+,J-和Jo构成自旋代数(su(2)代数),|o是最高或最低权态。对二模式光场J+=a

25、1+a2,J-=a1a2+,Jo=(a1+a1-a2+a2)/2。所以自旋相干态(50)与由(24)直接推广得到的二模相干态22|+|12=-(|1|2|)/2+×cxp(a2)|001a1+(51)是完全不同的,前者只有一个复参数而后者有两个。此外,我们还可以定义另一个新的单复参数相干态:1期于祖荣:量子光学中的非经典态81|=exp(-|2/2)+3+×exp(-ia1+a2+ia1a2)(52)所有这些相干态都各有各的用处,在物理上均是很重要的。例如(50)可用来算出转动群中的D矩阵。(7)最近文献上常常讨论所谓Schrodinger猫态(S-Cat态)9,这个术语来

26、自著名的Schrodinger杀猫的故事,但没有那里的死猫、活猫这类在生物学上不可逆的状态。去除这些含混之词,Schrodinger杀猫故事中剩下的核心内容是:分的量子态在相干叠加后产生的态。如前所述,所以两个或多个相干态的相干叠加必是S-Cat态S-中的态叠加原理推广到了相干态领域。)|-(53a)(53b)和)SCat,2(|±|0,|S-Cat,1就是偶相干态,即(24c)中n=偶数。注意,|S-Cat,1的相干态叠加,而|S-Cat,2是两个振幅不同的相干态叠加。前者称相位S-Cat态,而后者称振幅S-Cat。文献10给出实轴上的相干态叠加态也可看作是振幅S-Cat态的一个例

27、子。从上面的讨论知道,构造S-Cat态的要素是:相互叠加的态有类经典性质;叠加是相干的。这类态必有许多非类经典性质,例如压缩性,高阶压缩性,亚泊松分布,光子数振荡等等。当然不是每个S-Cat态都具备所有这些性质的,例如偶相干态具有压缩性但不具有亚泊松分布;而奇相干态(24)中的n=奇数)则反之。实验上制备S-Cat态,据目前的研究认为至少在原则上是可能的,详细请看有关文献。3压缩态前已指出,如果有一个态能使(4)和(5)式同时满足,则它有振幅压缩性质,称这样的态为理想压缩态。按此定义,相干态和数态均不是压缩态。那么压缩态究竟是什么样子的呢?压缩态有什么重要性?先回答后一问题。譬如考虑引力波的测

28、量。超新星爆发产生对实验室仪器有一非常微弱的力使仪器有极其微小的振荡,其振幅一般远小于基态波函数的宽度,所以为要探测这微弱讯号,办法之一是压缩基态波函数,这就充分显示出了研究压缩波的重要性。波包如何能压缩呢?若考虑一有附加势能的谐振子,它的哈密顿为H=P2/2m+kq2/2-eEo(Aq-Bq2)其中Aq使振子发生位移,而Bq2则使波包压缩。这是因为上式可重新写作22H=P/2m+(k+2eBEo)q/2-eAEoq现在很清楚,劲度系数k增强了kk=k+2eBEo,因而波包被压缩了,见图(4)。而Bq2与算符aa和a+a+有关,故可期望压缩态应该也与这类算符有关。82物理学进展19卷现在定义单

29、模压缩态11+)|(=exp(3aa-aa)/2|0+=(1-|2)1/4exp(-aa)/2|0(54)(55)其中=exp(i)tanh(|),=|exp(i)。算+符aa/2、aa/2和(a1a1-a2a2)/4生成su(1,1)代数,所以(54)实际上是定义了su(1,1)相干态。通常称+)=cxp(3aa-S(aa)/2(56)为压缩算符,它是幺正的。(1)首先考察|()的压缩性。用(3),定是实的(即=0,=)=expi(221(S(因在坐标(X)0exp=2/)(-X2)(即波函数)为1),(X1)=X1|()1/4图4压缩的谐振子波包)1/4exp(=(2/2+2iX1X2)e

30、xp(-X21)21/42)exp(-X2=(2/1/)(58a)。注意,在得到上式时已用了X2=5/(2i5X1)。(58a)可视作压缩态其中=exp(-)的物理含义,如图(4)所示。类似地可求出|(在动量(X2)表象中的波函数,结果是(X2)=X2|21/42)exp(-X2=(2/2/)(58b)1/4exp(-X2同样,在证明时用了X1=5/(-2i5X2)和|0=|02=(2/2),而=exp()。2对波函数(X1)容易证明:X1的平均值为零,X1的平方平均为/4。同样对2(X2)可证明:X2的平均值为零,X2的平方平均为/4。所以是压缩或膨胀由决定,若>0则(X1)被压缩,否

31、则(X2)被压缩。形式上,(58)式也可看作是一种变换,(X1)=S1|01S1=-1/2exp-(-2-1)X21-22exp-(-1)X2(59a)(X2)=S2|02S2=-1/2(59b)S1和S2是非幺正变换算符。现在可写出(59)式的Fouricr变换式。以(59b)为例有-2(X2)=4(-2-1)-1/2dX1exp-X2-1)exp(-iX1X2|01/(4(2+注意,exp(-iX1X2|02=exp(X1/2(a-a)|0)2,这是实参数相干态|X1/2111-21-2(所以上式为(X2)=4-1)-1/2dX1exp-X2-1)|X1/21/(4(1期于祖荣:量子光学中

32、的非经典态83(=其中X=-2-1-1/2-2dX1exp-X2/(-1)|X(60)2。这就是Jansky的结果10。S+(2)关系|()的压缩性还可从直接计算来验证。因3+aS=a-a+=a+a(61a)(61b)SaSi其中=cosh|,=eisinh|,所以|2-|2-1,/=etanh|。定义(-i/2)(1iY1+iY2=e(62)(63)即矢量(X1+iX2)在相空间中旋转了/S+1Y2)=e(|)iY2e|即是说若|>0。)Y1=e(-|)/2,Y2=e|/2显然当0,Y1(Y2)X1(X2)上式也成立。(3)也不难算出)|N|()=|2N=()|N2|()=2|2|2+

33、|4N2=(64)于是2F=2|(65)(66)g(2)(0)=3+1/|2)所以一般说来|(是超泊松分布态。(4)象相干态一样,我们也可给出|()一个等价的新定义7。为此先定义新的玻色子算符+3+3(67)b=a+a,b=a+a|2-|2=1。此即为标准的玻色子Bogoliubov变换。由(61c,d)即可得)=S()a,b+S()=S()a+(68)bS()变所以态|(的真空态|0经S(实际就是b准玻色子是由|0b,也就是说|(换得到的|0b,故也常称它为压缩真空态。上述变换,其实也可用真空投影算符(54)代替S()来实现。现在P中的b玻色算符由(67)定义。计算相当繁重但很直接,中间一些

34、主要结果如下,246)P|0=(1-1/2|+3/8|-5/16|+)(3×1-(1-|2+|4-|6+a+2)/2246+22)(3+1/2.(1-|+|-|+a)246+23)(3-1/3.(1-|+|-|+a/2)+|021/2+=(1-|)exp(-aa/2)|0(69)84物理学进展19卷因co=(1-|2)1/4,所以立即有表示式(55)。其中=(1-|2+|4-|6+)332i=/(1+|)=etanh|新定义的好处是:可以与相干态纳入同一定义框架;便于计算。例如用现在方法计算(66)式就要比直接计算方便得多。(5)还可定义所谓压缩相干态12,)D()|0|,=S(其实

35、,上式右边边也可重新写作)D()S()-1S()|0=exp(S(+-3b)|b=|(70)(71)即是说|,实际是b玻色子相干态,这里的。按此观点,压缩相)将ab玻色子相干态。就本人知识,干态其实就是幺正算符S(这样的看法也许是新的。,|不正交的和过b自然应是归一的、完备的。|,中各个物理量的平均值。3-3ab=232322233aa+-2|-b=22223332+|2a+a+|)-b=|(|2(a+aa+a+aa+Kb=b)其中222K=|(|+|h)32+C.C.)-|2(32+C.C.)-3|2(+6(|)2+2|4|2于是Y1=exp(-|)/2,Y2=exp(|)/2与(64)完全

36、相同,所以压缩相干态也是理想的压缩态。又可算得g(2)(0)=1+Q(72)(73)F=1+NbQ2(a+a这里Q=K/所以只有当Q<0时压缩相干态才呈亚泊松分布的。b)。最后,也可定义相干压缩态)S()|0|=D(与(70)一样,上式右边可重新写作)|0D(b=|b(74)(75)这里|b是与|b不同的b玻色子相干态。对这个态(64)也成立,所以也是理想压缩)|>=|+>exp(-3+3)/2,则由(60)式可得态。另外,因D(-2-1/2-2()|X2|=-1)dXexp-X2/(-1)D(-1/2(=-2-1)1期于祖荣:量子光学中的非经典态-2×dXexp-

37、X2/(-1)|X+expX-3)/285(76)即是说,具有压缩性质的|=|b是一类相干态的叠加态。4相位态=rexp(i),则如果令(1)式中的复数aE(r,t)=Eocos(kr-t+)其中Eo=r/hoV是振幅,是相位()幅和相位的形式。,相位则与干涉现象有关。在量子力学中,?能不能也定义一个与经典电磁?,这些自然是很有兴趣的问题。对量子相位的,:相位的算符理论;相空间理论;相位的测量。作扼要介绍,其他则仅简述一、二。1927年Dirac分析了经典相位定义,定义了一个单色光场的量子相位算符13:exp(i)=(1/(N+1)a(N+1)(77a)(77b)exp(-i)=a+(1/但是

38、这个定义存在严重困难,主要有两个:定义要求是厄密算符,但exp(i)不是幺正的。在光子数表象中exp(i)=n=16|n-1n|,exp(-i)=n=06|n+1n|(78)所以在此表象中exp(i)exp(-i)=1,exp(-i)exp(i)=1-|00|(79)所以不可能是厄密的!为解决这矛盾,办法之一是让光子数n可取负值:n=(-,)。这样,exp(i)自然就变成幺正的。但光子数取负值是非物理的,故上述解决办法只是形式的。因为),N=exp(i),或者N,=iexp(i(80)(81)所以在光子数表象中有)n|N-n|N=in|n,或(n-n=innn|n当n=n上式给出错误结果:0=

39、i。这个问题即使令光子数可取负值也不能解决,实际上它与的多值性有关。为弄清这点,我们注意到对易式(80)与角动量对易式L,=i非常相似。在表象中,为满足物理上的要求L的本征态应是周期函数|mexp(im),m是正整数,+2。但是角变数取值并未受限止=-。这意味着在本征函数空间中的作用是不确定的:虽然|m中是周期的但exp(im)不是。为解决这问题,可定义一个受限制的,它与的关系如图5所示14,这里我们已选。基本周期为-86物理学进展19卷考虑了这点,角动量对易式应换成(-),L,=i1-2-<(82)对N,=i可作相同议论。若|nexp(in)则(81)式应改变为(n-n)n|n=i1-

40、exp(i(n-n)(83)与(80)不同,(83)式在数学上是自洽的。仔细讨论请看文献14,15。与-<Dirac之后,-+的有两类:SG方案和PB方案。(1)为了避开Dirac和Glogower14根据Louisell的建议转而)(84a)C=cos=(ei+e-i)/2(84b)S=sin=(ei-e-i)/2i容易证明C,N=iS,S,N=-iCC,S=1/2i|00|,C+S22(85a)(85b)=1-1/2|00|N,C和S三个算符间的不对易关系表明它们没有共同本征态。例如在光子数态中1/2,n0C=S=(1/2,n=0(86)图6单模数态|n电场这与测不准关系(C)(N)

41、S/2一致。所以与数态|n对应的电场有确定的振幅但任意值。如图6所示。却没有确定的相位,可取02这里顺便指出,容易证明在光子数态|n中C和S的奇次幂的平均值为零,而偶数幂的计算比较繁复,这里仅将少数几个数值列于表1。表1m(经典)CmCm11/21/43/85/161/820/6419/6414/64nnnnnnnn024611/23/820/641=02=1=03=2=1(经典)是在经典无规相位和等概率分布的假设下算出的。从表可以看表中的Cm1期于祖荣:量子光学中的非经典态87出当光子数nm/2时,量子的C偶次矩(至六次矩)与经典无规值一致。Barnett-Pegg(1992年)认为,在数态

42、中相位的均方偏差与经典无规平均值是否一致是相位算符理论有效性的一个判据,称此为相位无规检验。什么是C和S的本征态和本征值?从(85)式知C和S没有共同本征态,但可证明|=lim(s+1)s-1/2n=06sein|n(87)是C和S近似的共同本征态,本征值分别为cos和sin,称它为SG相位态|是归一的,满足2=1d|exp(i)-(88)但不正交,所以|态自然有C=S=s2=(/12+s/6)s1/2所以,与|,但振幅则完全不定,如图7所示。所以相位态也不可能是接近经典光场的态。不难求得N2,于是F=lim(s+2)/6s(89)(90)图7单模相态|电场g(2)(0)=lim4(1-1/s

43、)/3=4/3s即相位态|呈超泊松分布。对于相干态|,容易算出C|S|/(2|),所以NC=|S|/2(91)由此可知,相干态|是N和相位C的最小测不准态,所以可认为相干态是最接近经典光场的量子态。这从|E|之比随平均光子数的增加而减小也可得到旁证。E与在测量问题中,重要的是相位差16。相位差算符的定义是C12=C1C2+S2S1S12=S1C2-S2C1Ci,Si(i=1,2)是SG方案中的C和S算符。对0的相干态容易求得22(1/2C)+(S)(92a)(92b)但对于相位差算符,结果则不同22(0C12)+(S12)(2)在SG方案中,实际上回避了算符本身的厄密性问题,但问题终究还存在,

44、Pegg和Barnett17在前人工作基础上建议的所谓PB方案就是为试图解决这问题的。PB方案的要点是引人有限维光子数态Hilbert空间,但为了能与通常概念一致,所以在计算最后要求代表空间维数的参数s趋向无穷。88物理学进展19卷PB假定:有限维Hilbert空间的基矢(数态)是正交归一和完备的,n=06s|nn|=1,sssn|ms=nm(93)在此空间里,玻色子的产生和湮没算符as+和as定义为as|ns=as|ns=+n|n-1s,as|0s=0n+1|n+1s,as|ss=0+(94)(94)(95a)(95b)它们满足对易关系,+as,as=1-(s+1)|s|ss+Ns,as=-

45、as,这里Ns=as+as是粒子数算符。PBis=(Ns+1)-1/2as-1/2(96a)(96b)+exp(-is)=as(Ns+1)。但要求它必须是幺正的,故有exp(is)=n=16s|n-1n|+essi|s0|ss(97)其中是任意实数。现在算符必定是厄密的!为找出s的本征值和本征态,可按标准的表象变换手续,将基矢(|ns)变为|m=(s+1)-1/2n=06exp(in)|msns(98)其中/(s+1),/(s+1)m=o+2mo=|必是正交归一和完备的。于是ms可写作(99)/(s+1)是任意实数。因空间是有限维的,故可选变换是幺正的,所以变换后的o=s=可见s实际上与o的选

46、择有关。m=06sm|mm|(100)用(98)和(100)容易写出对易式Ns,如果假定空间足够大,而物理上一般激发s。的光子数不会太多,即n,n(s+1)则Ns,s-inn6cxpi(n-s)nn|o|nss(101)所以Ns和对数态,显然有Ns=0,而s一般是不对易的。2s(s+2)/3(s+1)21/2/<3s=s(102)它与n无关。这与经典无规相位平均一致,附合Barnett-Pegg的相位无规检验法则。象(85)式一样,若定义算符Cs和Ss,则容易证明对|ns的平均值为1期于祖荣:量子光学中的非经典态2C2Cs,Ss=0,s+Ss=1,2C2s=Ss=1/289显然它们与SG

47、方案的结果不同。对|态,我们可算出X1和X2。不失一般性,可取mm=0,于是(sX1)2=(4(s+1)-126×2(n+1)(n+2)-2s(s+1)-(s+1)(s+2)(103a)2+(s+1)-(2(s+1)2(sX2)2=-(4(s+1)-166(n+1)-(s+1)2(n+1)(n+2)(103b)s(s+1)-(s+1)(s+2)-s)1这只能数值计算,且压缩随s增大而增强。显然这结论对SG另外,容易算得F(s+2)/6g(2)s4/3(104)(105)(0)=4(1-1/s)/3s文献上也有定义有限维空间的相干态|,s=N(,s)exps(a+)|0s其中exps(

48、X)=n=06sX/nn!N(,s)是归一因子。然后平行于普通相干态作类似的讨论和计算,但除了计算繁复外无新的物理内容故不再展开。有的文献还引入两个新的准玻色算符和+=e-若选o=0,则有|m=|,m|m-1o=0=0(107a)(107b)N/(s+1)i2+=s,N/(s+1)i2se(106)+|,+|m=m+1|m+1s=0看起来似乎有点新鲜,但也无新的物理内容,故也不作讨论。还有一些文章用q变形方式讨论了有关问题。但关系量子代数在量子光学中的应用问题,Nelson等已作了很好分析18,他们指出仅当q1时(q=1时q玻色子回到普通玻色子)结果才是物理的,而在q取很大或很小值时至今尚未发

49、现有物理对应。这也是目前将量子代数应用到物理问题时存在的普遍情况,以及量子代数目前还不会为广大物理学家接受的原因之一。(3)前已指出,相干态的介入使相空间技术在量子光学中得到广泛应用,特别是一等准概率分布函数已知,就可得到相位的概率密度(它是角度的函数),因而完全确定了系统相位的性质。例如对给定的态|,可以定义一个相位概率密度函数2)=|(108)P|(,|90物理学进展19卷这里|是相位本征态。Schleich等指出19,P可视作|和|在相空间中的重叠面积。除了非常靠近相空间原点外,相位态的形状近似地呈函数型的楔形20。而|则由相平面上的Wigner回路W(|,)代表。于是,这个重叠面积可表为)=P(,|d|W(|,)(109)这个方法的缺点是Wigner函数可能是负的,这已有改进21。至于实验工作,等原因,直到1991年Noh)建议22。图8列举了。由图可见,理论结果。8图中线是SG的理论值,线是PB的理论值,实线是NFM的理论值它与SG方案差距较大而与PB方案较接近,但也有差别。