函数的奇偶性

1、xyO如何用数学语言表述函数如何用数学语言表述函数图象关于图象关于y轴对称呢？轴对称呢？函数图象关于函数图象关于y轴对称轴对称. .yxOxO1yy=x2 -xx当x1=1, x2=-1时，f(-1)=f(1)当x1=2, x2=-2时，f(-2)=f(2)对任意x，f(-x)=f(x)xyO y = f(x)A(x0，f (x0)点点A关于关于y轴的对称点轴的对称点A的坐标是的坐标是_.点点A在函数在函数 y = f (x) 的图象上吗的图象上吗？点点A的坐标还可以表示为的坐标还可以表示为_.你发现了什么你发现了什么？(x0，f (x0)(x0，f (x0)0 x0 x一、奇偶性定义一、奇偶

2、性定义那么称 是 偶 函数( )yf x( )f x如果对于函数 的定义域内的任意一个 , 都有 x()( )fxf x3)(xxfxyOxy1奇偶性定义奇偶性定义那么称 是偶 函数( )yf x( )f x如果对于函数 的定义域内的任意一个 , 都有 x()( )fxf x那么称 是奇 函数( )yf x如果对于函数 的定义域内的任意一个 , 都有 x()( )fxf x ( )f xxyOxyO1-1-20 x 具有奇偶性的函数，具有奇偶性的函数，其定义域在数轴上有怎样的特点？其定义域在数轴上有怎样的特点？函数定义域关于数函数定义域关于数“0 0”对称对称. .判断下列函数是否具有奇偶性：

3、判断下列函数是否具有奇偶性： 13)() 1 (2，xxxf1)()2(xxf二、判断函数奇偶性的方法：二、判断函数奇偶性的方法： (1)定义域是否关于原点对称？(2) 与 是否相等?()fx( )f x判断下列函数是否为奇函数或偶函数：判断下列函数是否为奇函数或偶函数： 1(1)( )f xxx；.) 1()()3(2 xxf2(2)( )1f xx；注意：注意：1、函数的、函数的奇偶性奇偶性分类分类： 奇函数奇函数 偶函数偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数 既奇又偶函数既奇又偶函数例1、已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数。求证：f(x)=0证明：因为 f(x)既是奇函数又是偶函数所以f(-

4、x)=f(x),且f(-x)=-f(x)所以f(x)= -f(x)所以2f(x)=0即f(x)=0.这样的函数有多少个呢？多个所以这样的函数有无数奇函数又是偶函数既是所以具有这样但它们都显然是不同的函数和如若改变函数的定义域只是解析式的特征，xxfxxf，xf , 2 , 1012, 0)( 1 , 1, 0)()(注意：注意：1、函数的、函数的奇偶性奇偶性分类分类： 奇函数奇函数 偶函数偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数 既奇又偶函数既奇又偶函数2、既奇又偶函数的表达式为：、既奇又偶函数的表达式为：f(x)=0,xA，定义，定义域域A是关于原点对称的非空数集。是关于原点对称的非空数集。 既奇又

5、偶函数有无数多个。既奇又偶函数有无数多个。例2、 注意：注意：1、函数的、函数的奇偶性奇偶性分类分类： 奇函数奇函数 偶函数偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数 既奇又偶函数既奇又偶函数2、既奇又偶函数的表达式为：、既奇又偶函数的表达式为：f(x)=0,xA，定义，定义域域A是关于原点对称的非空数集。是关于原点对称的非空数集。 既奇又偶函数有无数多个。既奇又偶函数有无数多个。3、If奇函数在原点有定义，则有奇函数在原点有定义，则有f(0)=0.例3、判断 的奇偶性？fxxx注意：注意：1、函数的、函数的奇偶性奇偶性分类分类： 奇函数奇函数 偶函数偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数 既奇又偶函数既奇又

6、偶函数2、既奇又偶函数的表达式为：、既奇又偶函数的表达式为：f(x)=0,xA，定义，定义域域A是关于原点对称的非空数集。是关于原点对称的非空数集。 既奇又偶函数有无数多个。既奇又偶函数有无数多个。3、If奇函数在原点有定义，则有奇函数在原点有定义，则有f(0)=0.4、0是关于原点对称的是关于原点对称的.如如 ，定义域是定义域是0，f(x)=0,是既奇又偶函数。是既奇又偶函数。 f xxx 对于定义在对于定义在R上的函数上的函数 f (x)， 下列判断是否正确？下列判断是否正确？若若f (2) = f (2)，则函数，则函数 f (x)是偶函数是偶函数若若f (2) f (2)，则函数，则函

7、数 f (x)不是偶函数不是偶函数错。错。 不满足不满足任意性任意性对。对。1、奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数点对称，那么就称这个函数为奇函数.2、偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，轴对称，那么就称这个函数为偶函数那么就称这个函数为偶函数.说明说明：奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性、判断函数的奇偶性 例4

8、设f(x)是奇函数，而且在（0，+）上是减函数，证f(x) 在（，0）上是减函数。 例5 设f(x)是偶函数，而且在a,b上是减函数，证f(x) 在-b,-a上是增函数。奇同偶异奇同偶异1、单调性：、单调性： 定义域某区间，是函数的局部性质定义域某区间，是函数的局部性质 奇偶性：奇偶性： 整个定义域，整个定义域， 是函数的整体性质是函数的整体性质2、判断奇偶性、判断奇偶性（1）定义法：）定义法： 定义域是否关于原点对称？ f(x)与f(-x)的关系 ？（2）图像法：）图像法： （3）性质法：）性质法：奇函数关于原点对称偶函数关于y轴对称同乘为偶，异乘为奇同加减，奇偶性不变 用6位数字表示日期，如980716表示的是1998年7月16日。如果用这种方法表示2009年的日期，刚全年中六个数字都不相同的日期的多少天。 例例1 已知函数已知函数 y = f (x) 在在R上是奇函数，而且上是奇函数，而且在（在（0，+）上是增函数，）上是增函数， 证明证明 y = f (x) 在（在（- - ，0）上也是增函数）上也是增函数 .222(0),11( )2( )0(0),1(0).xxxxf xf xxxxxx例判断下列函数的奇偶性：（）；（ ）答案：答案： （1）非奇非偶（定义域关于原点不对称）非奇非偶（定义域关