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文档简介

1、2013届二轮必考内容专题复习第四讲 平面向量【考纲要求】1平面向量的有关概念(A)2平面向量的线性运算(B)3平面向量的坐标表示(B)4平面向量的数量积(C);5平面向量平行、垂直(B);6平面向量的应用(B)。 【真题体验】1(2011江苏,10)已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,ae12e2,bke1e2,若a·b0,则k的值为_;2(2012·江苏,9)如图,在矩形ABCD中,AB,BC2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·,则·的值是 ;3(2006·江苏6)已知两点M(2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足0,

2、则动点P(x,y)的轨迹方程为 ;4(2005·江苏,18)在中,为中线上一个动点,若,则的最小值是 ;5(2010·江苏,15)设向量(1)若与垂直,求的值;(2)求的最大值;(3)若,求证:;6(2010·江苏,15)在平面直角坐标系xOy中,点A(1,2),B(2,3),C(2,1)(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2)设实数t满足(t)·0,求t的值;7(2012江苏15)在中,已知(1)求证:;(2)若求A的值。 【典型问题】例1 (2012·扬州)已知G1,G2分别为A1B1C1与A2B2C2的重心,且e1

3、,e2,e3,则_;(用e1,e2,e3表示)例2如图,ABC是边长为2的等边三角形,P是以C为圆心,1为半径的圆上的任意一点,则(·)min_.例3在RtABC中,已知斜边BC=a,若长为2a的线段PQ以A为中点,问与的夹角取何值时, 的值最大?并求出这个最大值; 例4已知A(3,0),B(0,3),C(cos ,sin )(1)若·1,求sin的值;(2)O为坐标原点,若|,且(0,),求与的夹角例5(湖南)如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点;(1)设,证明: ;(2) 设直线AB

4、的方程是x-2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程。例5已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x8,P为该平面上一动点,作PQl,垂足为Q,且·0.(1)求动点P的轨迹方程;(2)若EF为圆N:x2(y1)21的任一条直径,求·的最值。【强化训练】1(2012·苏州期中)已知O,A,B是平面上不共线的三点,设P为线段AB垂直平分线上任意一点,若|7,|5,则·()的值为_2 (2012·南通调研)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且3a4b5c0,则abc_.3若 =(2,0),=(2,2)

5、,=(),则,夹角为 ; 4点在平面上作匀速直线运动,速度向量为;设开始时点的坐标为,则秒后点的坐标为 ;5已知向量,|1,对任意tR,恒有|t|,则一定有 ;A()() B() C() D 6在ABC中,AD为BC边上的中线,|2|2|4,则| ;7若向量a(x,2x),b(3x,2),且a,b的夹角为钝角,则实数x的取值范围是_;8如图,在直角梯形ABCD中,ABAD,AD=DC=1, AB=3,动点P在BCD内运动(含边界),设,则的取值范围是 . 9在中,已知求角A、B、C的大小;10(2012·湖北)已知向量a(cos xsin x,sin x),b(cos xsin x,

6、2cos x),设函数f(x)a·b(xR)的图象关于直线x对称,其中,为常数,且; (1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若yf(x)的图象经过点,求函数f(x)在区间上的取值范围;11(2012·张家界模拟)已知向量a,b,且x.(1)求 a·b及|ab|;(2)若f(x)a·b2|ab|的最小值为,求实数的值;12已知两点,且点使,成公差小于零的等差数列;(1)点的轨迹是什么曲线?(2)若点的坐标为,记为与的夹角,求【答案与提示】【真题体验】1解析因为e1,e2是夹角为的两个单位向量,所以e1·e2cose1,e2cos,又a·

7、;b0,所以(e12e2)·(ke1e2)0,即k2(2k)0,解得k.2解析以顶点A为坐标原点,AB、AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),E(,1),设F(x,2),所以·(,0)·(x,2)xx1,即F(1,2),所以·(,1)·(1,2)(1)2. 答案3设,则由,则,化简整理得 4-2 5【解析】由与垂直,即,;,最大值为32,所以的最大值为。由得,即,所以. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6解(1)由题设知(3,5),(1,1),则(2,6),(4,4)所以|2,|4.故所求的两条对角线

8、的长分别为4,2. (2)由题设知:(2,1),t(32t,5t)由(t)·0,得:(32t,5t)·(2,1)0,从而5t11,所以t.或者:·t2,(3,5),t.【典型问题】例1解析根据向量的线性运算求解由e1,e2, e3,且G1,G2分别为A1B1C1与A2B2C2的重心,所以0,0,将相加得(e1e2e3)答案(e1e2e3)例2解:取AB的中点D,连接CD、CP.所以·()·()··()2(2)2×·2176cos,当cos,1时,·取得最小值1.例3解:以直角顶点A为坐标原点,两

9、直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b).且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y),cx-by=a2cos.=- a2+ a2cos.故当cos=1,即=0(方向相同)时,的值最大,其最大值为0 ;例4解(1)(cos 3,sin ),(cos ,sin 3),所以·(cos 3)cos sin (sin 3)1,得sin2cos23(sin cos )1,所以sin.(2)因为|,所以(3cos )2sin213,所以cos ,因为(0,),所以,sin ,所以C

10、,所以·,设与的夹角为,则cos ,因为(0,),所以为所求例5解(1)设过C点的直线为,所以,即,设A,=,因为,所以,即,所以,即所以(2)设过Q的切线为,所以,即,它与的交点为M,又,所以Q,因为,所以,所以M,所以点M和点Q重合,也就是QA为此抛物线的切线。(3)(2)的逆命题是成立,由(2)可知Q,因为PQ轴,所以因为,所以P为AB的中点。例6解(1)设P(x,y),则Q(8,y)由·0,得|PC|2|PQ|20,即(x2)2y2(x8)20,化简得1.所以点P在椭圆上,其方程为1.(2)因·()·()()·()()2221,P是椭圆

11、1上的任一点,设P(x0,y0),则有1,即x16,又N(0,1),所以2x(y01)2y2y017(y03)220. 因y02,2,所以当y03时,2取得最大值20,故·的最大值为19;当y02时,2取得最小值(21)2134,(此时x00),故·的最小值为124.【强化训练】1 解析设AB的中点为C,则·()()··()·()(|2|2)(2549)12.2解析因为,所以原式可以变形为(3a4b)(3a5c)0,且,不共线,所以3a4b5c,解得abc201512. 答案2015123,提示 :点C的轨迹是以(2,2)为圆心,为半

12、径的圆.4提示:设5秒后点P运动到点A,则,=(10,-5).5. 6 ;7解析a,b的夹角为钝角,a·bx·(3x)2x·23x24x0,解出x0或x,又由a,b共线且反向可得x,所以x的取值范围是.8解:建立如图所示的平面直角坐标系,设P(x,y),(x,y)=(3,0)+(0,1),= x/3 ,=yz=+= x/3+ yB(3,0),D(0,1),C(1,1)根据图象,可得z= x/3+ y在BD边取得最小值1,在点C处取得最大值4/3+的取值范围是1,4/39,;或,;10 解(1)a·bcos x·cos sin xsin coscos 2x,|ab|22 222cos 2x4cos2x,x,cos x0,|ab|2cos x.(2)f(x)

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