专题讲座四平面向量

1、2013届二轮必考内容专题复习第四讲 平面向量【考纲要求】1平面向量的有关概念（A）2平面向量的线性运算（B）3平面向量的坐标表示（B）4平面向量的数量积（C）；5平面向量平行、垂直（B）；6平面向量的应用（B）。 【真题体验】1(2011江苏，10)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若a·b0，则k的值为_；2(2012·江苏，9)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·，则·的值是 ；3(2006·江苏6)已知两点M（2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足0，

2、则动点P（x，y）的轨迹方程为 ；4(2005·江苏，18)在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是 ；5(2010·江苏，15)设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值；（3）若，求证：；6(2010·江苏，15)在平面直角坐标系xOy中，点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)·0，求t的值；7(2012江苏15)在中，已知（1）求证：；（2）若求A的值。 【典型问题】例1 (2012·扬州)已知G1，G2分别为A1B1C1与A2B2C2的重心，且e1

3、，e2，e3，则_；(用e1，e2，e3表示)例2如图，ABC是边长为2的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则(·)min_.例3在RtABC中，已知斜边BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角取何值时， 的值最大？并求出这个最大值； 例4已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )(1)若·1，求sin的值；(2)O为坐标原点，若|，且(0，)，求与的夹角例5（湖南）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点；（1）设，证明: ；（2） 设直线AB

4、的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。例5已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且·0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求·的最值。【强化训练】1(2012·苏州期中)已知O，A，B是平面上不共线的三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若|7，|5，则·()的值为_2 (2012·南通调研)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且3a4b5c0，则abc_.3若 =(2，0)，=（2，2）

5、，=（），则，夹角为 ； 4点在平面上作匀速直线运动，速度向量为；设开始时点的坐标为，则秒后点的坐标为 ；5已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，则一定有 ；A()() B() C() D 6在ABC中，AD为BC边上的中线，|2|2|4，则| ；7若向量a(x,2x)，b(3x,2)，且a，b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是_；8如图，在直角梯形ABCD中，ABAD，AD=DC=1， AB=3，动点P在BCD内运动（含边界），设，则的取值范围是 . 9在中，已知求角A、B、C的大小；10(2012·湖北)已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x，

6、2cos x)，设函数f(x)a·b(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且； (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围；11(2012·张家界模拟)已知向量a，b，且x.(1)求 a·b及|ab|；(2)若f(x)a·b2|ab|的最小值为，求实数的值；12已知两点，且点使，成公差小于零的等差数列；（1）点的轨迹是什么曲线？（2）若点的坐标为，记为与的夹角，求【答案与提示】【真题体验】1解析因为e1，e2是夹角为的两个单位向量，所以e1·e2cose1，e2cos，又a·

7、;b0，所以(e12e2)·(ke1e2)0，即k2(2k)0，解得k.2解析以顶点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，设F(x,2)，所以·(，0)·(x,2)xx1，即F(1,2)，所以·(，1)·(1，2)(1)2. 答案3设，则由，则，化简整理得 4-2 5【解析】由与垂直，即，；，最大值为32，所以的最大值为。由得，即，所以. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6解(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线

8、的长分别为4，2. (2)由题设知：(2，1)，t(32t,5t)由(t)·0，得：(32t,5t)·(2，1)0，从而5t11，所以t.或者：·t2，(3,5)，t.【典型问题】例1解析根据向量的线性运算求解由e1，e2， e3，且G1，G2分别为A1B1C1与A2B2C2的重心，所以0，0，将相加得(e1e2e3)答案(e1e2e3)例2解：取AB的中点D，连接CD、CP.所以·()·()··()2(2)2×·2176cos，当cos，1时，·取得最小值1.例3解：以直角顶点A为坐标原点，两

9、直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y），cx-by=a2cos.=- a2+ a2cos.故当cos=1，即=0（方向相同）时，的值最大，其最大值为0 ；例4解(1)(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，所以·(cos 3)cos sin (sin 3)1，得sin2cos23(sin cos )1，所以sin.(2)因为|，所以(3cos )2sin213，所以cos ，因为(0，)，所以，sin ，所以C

10、，所以·，设与的夹角为，则cos ，因为(0，)，所以为所求例5解（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，因为，所以，即，所以，即所以（2）设过Q的切线为，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以因为，所以P为AB的中点。例6解(1)设P(x，y)，则Q(8，y)由·0，得|PC|2|PQ|20，即(x2)2y2(x8)20，化简得1.所以点P在椭圆上，其方程为1.(2)因·()·()()·()()2221，P是椭圆

11、1上的任一点，设P(x0，y0)，则有1，即x16，又N(0,1)，所以2x(y01)2y2y017(y03)220. 因y02，2，所以当y03时，2取得最大值20，故·的最大值为19；当y02时，2取得最小值(21)2134，(此时x00)，故·的最小值为124.【强化训练】1 解析设AB的中点为C，则·()()··()·()(|2|2)(2549)12.2解析因为，所以原式可以变形为(3a4b)(3a5c)0，且，不共线，所以3a4b5c，解得abc201512. 答案2015123，提示 ：点C的轨迹是以（2,2）为圆心，为半

12、径的圆.4提示：设5秒后点P运动到点A,则,=(10,-5).5. 6 ；7解析a，b的夹角为钝角，a·bx·(3x)2x·23x24x0，解出x0或x，又由a，b共线且反向可得x，所以x的取值范围是.8解：建立如图所示的平面直角坐标系，设P（x，y），（x，y）=（3，0）+（0，1），= x/3 ，=yz=+= x/3+ yB（3，0），D（0，1），C（1，1）根据图象，可得z= x/3+ y在BD边取得最小值1，在点C处取得最大值4/3+的取值范围是1，4/39，；或，；10 解(1)a·bcos x·cos sin xsin coscos 2x，|ab|22 222cos 2x4cos2x，x，cos x0，|ab|2cos x.(2)f(x)