2011-2012年高考数学一轮复习 第8章《圆锥曲线方程》自测题

1、第八章圆锥曲线方程 时间：120分钟分值：150分第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若|FA|FB|，则椭圆的离心率等于()A.B.C. D.解析：设|FB|2m(m>0)，则|FA|3m.分别过A，B两点作椭圆的左准线的垂线，垂足分别是A1，B1，则有e，|AA1|，|BB1|，cos60°，因此e，选B.答案：B2椭圆x2my21的离心率为，则m的值为()A2或 B2C.或4 D.解析：x2my21即x21是椭圆，m&

2、gt;0.当椭圆的焦点在x轴上时，a21，b2，c2a2b21，此时m>1，由e m4；当焦点在y轴上时，a2，b21，c2a2b21，此时0<m<1，由e m.故选C.答案：C3若椭圆1(a>b>0)的离心率e，右焦点为F(c,0)，方程ax22bxc0的两个实数根分别是x1和x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为()A. B.C2 D.解析：依题意，得x1x2，x1x2，且e，则点P(x1，x2)到原点的距离为 ，故选A.答案：A4已知椭圆方程为1(a>b>0)，O为坐标原点，F为右焦点，点M是椭圆右准线l上(除去其与x轴的交点)的动点，过F作O

3、M的垂线与以OM为直径的圆交于点N，则线段ON的长为()Ac BbCa D不确定解析：记右准线与x轴的交点为A，过F作OM的垂线，垂足为B，连结MN，则有MNNO，OBFOAM，OB·OMOA·OF·ca2.在RtOMN中，由射影定理得ON2OB·OMa2，故ONa，选C.答案：C5已知椭圆1(a>b>0)的右焦点为F，右准线为l，A、B是椭圆上的两点，且|AF|BF|32，直线AB与l交于点C，则B分有向线段所成的比为()A. B2C. D.解析：分别过点A，B作右准线的垂线，垂足分别是A1，B1，则椭圆的离心率e，所以，又，所以，即点B分

4、有向线段所成的比是，选A.答案：A6设向量i、j为直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量a(x1)iyj，b(x1)iyj，且|a|b|1，则满足上述条件的点P(x，y)的轨迹方程是()A.1(y0) B.1(x0)C.1(y0) D.1(x0)解析：依题意，向量a(x1，y)，b(x1，y)，又|a|b|1，所以1，整理得1(x0)，选择B.答案：B7若两个正数a、b的等差中项是，等比中项是，且a>b，则双曲线1的离心率e等于()A. B.C. D.解析：依题意得，解得a3，b2，故双曲线的离心率e，选D.答案：D8已知点P在抛物线x24y上，且点P到x轴的距离与点P到焦点的

5、距离之比为13，则点P到x轴的距离为()A. B1C. D2解析：设点P(m，n)(n>0)，依题意及抛物线的定义得，由此解得n，于是点P到x轴的距离等于，选A.答案：A9直线MN与双曲线C：1的左、右支分别交于M、N两点，与双曲线C的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|2|FN|，又(R)，则实数的值为()A. B1C2 D.解析：分别过点M，N作右准线的垂线，垂足分别为M1，N1，则有，又e，所以，因此，选A.答案：A10抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准

6、线上设抛物线y22px(p>0)，弦AB过焦点，ABQ为阿基米德三角形，则ABQ的面积的最小值为()A. Bp2C2p2 D4p2解析：本题直接计算比较复杂，可取值检验对于本题，可取几条特殊直线，如：倾斜角为45°、60°、90°的直线等，经计算比较知：当倾斜角为90°时，ABQ的面积最小，此时由x得y±p，即|AB|2p.又焦点到准线的距离dp，此时SABQ×2p×pp2为最小值，故选B.答案：B11已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米，地面上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等，则点P的轨迹

7、是()A椭圆 B圆C双曲线 D抛物线解析：如图，依题意，tanAPDtanBPC，所以3PD2PC，再以CD所在的直线为x轴，CD的垂直平分线所在的直线为y轴，建立直角坐标系，则C(10,0)，D(10,0)，设P(x，y)，则23，化简得x2y252x1000，轨迹为圆答案：B12点P(3,1)在椭圆1(a>b>0)的左准线上，过点P且方向向量为a(2，5)的光线，经直线y2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：光线所在直线的方程为5x2y130，被直线y2反射后的光线方程为5x2y50，交x轴于点(1，0)，c1，又3，解得a，e，故选D.答

8、案：D第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13已知A(4,0)，B(3，)是椭圆1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|MB|的最大值是_解析：点A恰好为椭圆的右焦点，如图，设左焦点为F，连结BF并延长交椭圆于点C，当动点M在点C的位置时，|MA|MB|的值最大，即|MA|MB|CA|CF|BF|10212.答案：1214.如图，从双曲线1的左焦点F1引圆x2y29的切线，切点为T，延长F1T交双曲线右支于点P.设M为线段F1P的中点，O为坐标原点则|F1T|_；|MO|MT|_.解析：连结OT、PF2，则有OTF1T，在RtOF1

9、T中，|F1T|5.由点O是F1F2的中点，点M是PF1的中点得|MO|PF2|.又点P在双曲线的右支上，因此有|PF1|PF2|2×36，|MO|MT|PF2|(|MF1|TF1|)|PF2|PF1|TF1|×(6)52.答案：5215已知点P是抛物线y24x上的点，设点P到抛物线准线的距离为d1，到圆(x3)2(y3)21上的一动点Q的距离为d2，则d1d2的最小值是_解析：设抛物线y24x的焦点为F，圆(x3)2(y3)21的圆心为M，则点F(1,0)，d1|PF|，结合图形分析，不难得知d1d2的最小值等于|MF|114.答案：416当，)时，方程x2siny2co

10、s1表示的曲线可能是_(填上你认为正确的序号)圆；两条平行直线；椭圆；双曲线；抛物线解析：，)，当时，sincos，此时x2siny2cos1，即x2y2，表示一个圆；当时，sin1，cos0，此时x2siny2cos1，即x21，表示两条平行直线；当<<，且时，cos<0<sin，且|sin|cos|，此时x2siny2cos1表示椭圆故填.答案：三、解答题：(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2010·四川)已知定点A(1,0)，F(2,0)，定直线l：x.不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的

11、距离的2倍设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.(1)求E的方程；(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由解析：(1)设P(x，y)，则2|x|.化简得x21(y0)(2)当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为yk(x2)(k0)，与双曲线方程x21联立消去y得(3k2)x24k2x(4k23)0.由题意知，3k20且>0.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2k2(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4k2.因为x11，x21.所以直线AB的方程为y(x1)，因此M点的坐标为，同理可得，因

12、此·×0.当直线BC与x轴垂直时，其方程为x2，则B(2,3)，C(2，3)，AB的方程为yx1，因此M点的坐标为，.同理可得.因此·××0.综上，·0，即FMFN.故以线段MN为直径的圆过点F.18(本小题满分12分)直线yx1交x轴于点P，交椭圆1(a>b>0)于相异两点A、B，且3.(1)求a的取值范围；(2)将弦AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AQ，设点Q的坐标为(m，n)，求证：m7n1.解析：(1)由yx1，得xy1，代入1，得(a2b2)y22b2yb2a2b20.设A(y11，y1)、B(y21

13、，y2)，则y1、y2是这个一元二次方程的两个根，(2b2)24(a2b2)(b2a2b2)>0，即a2b2>1.由3，及P(1,0)，得y13y2，由根与系数的关系，得y1y22y2，y1y23y22，由式得y2，代入式，得，b2.由a>b，及，得解不等式组，得1<a2<，所以a的取值范围是.(2)证明：(y2y1，y2y1)(4y2,4y2)，依题意，(4y2,4y2)(O为坐标原点)，(m，n)(y11，y1)(4y2,4y2)(3y21，3y2)(4y2,4y2)(7y21，y2)，m7y21，ny2，m7n1.19(本小题满分12分)已知一条曲线C在y轴

14、右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解析：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：x1(x>0)化简得y24x(x>0)(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)设l的方程为xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)>0，于是，又(x11，y1)，(x21，y2)，·<0(x

15、11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2<0又x，于是不等式等价于·y1y21<0y1y2(y1y2)22y1y21<0由式知不等式等价于m26m1<4t2对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m1<0，即32<m<32.由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0，且m的取值范围是(32，32)20(本小题满分12分)(2010·江西)如图，已知抛物线C1：x2byb2经过椭圆C2：1(a>b>0)的两个焦点(1

16、)求椭圆C2的离心率；(2)设点Q(3，b)，又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若 QMN的重心在抛物线C1上，求C1和C2的方程解析：(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(c，0)，F2(c,0)，所以c2b×0b2，即c2b2，由a2b2c22c2，所以椭圆C2的离心率e.(2)由(1)可知a22b2，椭圆C2的方程为1.联立抛物线C1的方程x2byb2，得2y2byb20.解得y或yb(舍去)，所以x±b，即M，N，又因为Q(3，b)，所以QMN的重心坐标为(1,0)因为重心在C1上，所以12b×0b2，得b1.所以a22.所以抛物线C1的

17、方程为x2y1，椭圆C2的方程为y21.21(本小题满分12分)如图，已知曲线C1：1(b>a>0，y0)与抛物线C2：x22py(p>0)的交点分别为A、B.曲线C1和抛物线C2在点A处的切线分别为l1和l2，且l1和l2的斜率分别为k1和k2.(1)当为定值时，求证：k1·k2为定值(与p无关)，并求出这个定值；(2)若直线l2与y轴的交点为D(0，2)，当a2b2取得最小值9时，求曲线C1和抛物线C2的方程解析：(1)证明：设点A的坐标为(x0，y0)，由1(b>a>0，y0)得y，由y，所以k1y|xx0，由x22py(p>0)得yx2，则

18、y，所以k2y|xx0，k1·k2，又因为x022py0，1，所以，k1·k2，当为定值时，k1·k2为定值(2)设A点的坐标为，则x0(a,0)，由(1)知k2，则直线l2：y(xx0)，因为l2过点D(0，2)，则x024p，即x02，所以点A(2，2)将A(2，2)代入曲线C1的方程得1，a2b2(a2b2)·4p4，由重要不等式得a2b24p84，当且仅当“”成立时，有，解得，所以C1：1(y0)，C2：y2x2.22(本小题满分12分)已知双曲线y21的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上不同的两个动点(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；(2)若过点H(0，h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1l2，求h的值解析：(1)由题