ch02逻辑代数与硬件描述语言基础-lvaqppt课件

1、2 2 逻逻辑辑变变量量逻逻辑辑代代数数 基基本本定定律律和和定定理理逻逻辑辑函函数数及及其其化化简简2.1 逻辑代数逻辑代数2.1.1 逻辑代数的根本定律和恒等式逻辑代数的根本定律和恒等式基 本 定 律00011110AAAAAAAAAAAA AAAAA A 0-10-1律：律：()()()()A BCAB CABCABC结合律：结合律： A BB AABBA交换律：交换律： 分配律：分配律： 真值表证明法：例：证明例：证明ABA BABA B，011 = 001+1=00 01 1110 = 101+0=00 11 0101 = 100+1=01 00 1100 = 110+0=11 10

2、 0A+BA+BA B A BABA B011 = 001+1=00 01 1110 = 101+0=00 11 0101 = 100+1=01 00 1100 = 110+0=11 10 0A+BA+BA B A BABA B真值表证明法：例：证明例：证明ABA BABA B，(1)(2)()AA BAAABA吸收律：吸收律： (3)(4) () ()AA BABABACABC(1) ABACBCABAC常用恒等式：常用恒等式：(2) ABACBCDABAC(1)(2)()AA BAAABA吸收律：吸收律： (3)(4) () ()AA BABABACABC证：证：(1)(1)1AA BAB

3、AA (2)()AABAABA(3)()()AABAA ABAB(4) () ()ABACAACABBCAABBCABCBCAABCCAABBCAACAAB)()1 ()1 (BCACABCAAB (1) ABACBCABAC常用恒等式：常用恒等式：(2) ABACBCDABAC证：证：(1) ABACBC2同理可证同理可证例：知 ，用函数L=E+F替代等式中的A，根据代入规那么，等式依然成立，即有：2.1.2 2.1.2 逻辑代数运算的根本规那么逻辑代数运算的根本规那么1.代入规那么：任何一个含有变量代入规那么：任何一个含有变量A的等式，假设将一切出的等式，假设将一切出现现A的位置都用同一个

4、逻辑函数替代，那么等式依然成立。这的位置都用同一个逻辑函数替代，那么等式依然成立。这个规那么称为代入规那么。个规那么称为代入规那么。BAAB()EF BEFBE FB2.1.2 2.1.2 逻辑代数运算的根本规那么逻辑代数运算的根本规那么2.反演规那么:(用于求一个函数的非函数) 原变量改为反变量，反变量改为原变量； 0 1 1 0 + + 运算优先顺序不变，反变量以外的非号坚持不变。例如：EDCBAYEDCBAY3.3.对偶规那么：用于公式扩展对偶规那么：用于公式扩展 0 1 1 0 0 1 1 0； + + + + ；运算优先顺序不变。运算优先顺序不变。 例：例：2.1.2 2.1.2 逻

5、辑代数运算的根本规那么逻辑代数运算的根本规那么ACBALACBALBABAAABBAA一个恒等式成立，那么该恒等式两侧的对偶式也相等。一个恒等式成立，那么该恒等式两侧的对偶式也相等。2.1.3 2.1.3 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法L = AC+CD达例例： 与与或或表表式式= AC+CD= AC CD达与与非非与与非非表表式式G = (A+C)(C+D)达 或或与与表表式式= (A + C )(C + D )= A+C+C+D达 或或非非或或非非表表式式= AC+CD达与与或或非非表表式式一个逻辑函数可以有不同的表达方式：一个逻辑函数可以有不同的表达方式：最简与或式最简与或式乘

6、积项的项数最少。乘积项的项数最少。每个乘积项中变量个数最少。每个乘积项中变量个数最少。1.1.逻辑函数的最简与或表达式逻辑函数的最简与或表达式 并项法：利用互补律 ，将两项并为一项，消去一个变量。 1AA, ,A()()L A B CBCBCA BCBC例：1AABB AA配项法：由于配项法：由于 ，所以利用，所以利用 添加必要的与项，再用其他化简方法添加必要的与项，再用其他化简方法使项数减少。使项数减少。LACADCD 吸收法：利用吸收律吸收法：利用吸收律 吸收多余项。吸收多余项。 LABABCABCD EFAABAAABAB 消去法：利用吸收律消去法：利用吸收律 消去多余的因子。消去多余的

7、因子。LABACBC2.2.逻辑函数的化简方法目的是得到最简与或表达式逻辑函数的化简方法目的是得到最简与或表达式 综合运用法：根据逻辑表达式的特点，混合运用前面的综合运用法：根据逻辑表达式的特点，混合运用前面的各种方法。各种方法。 CDDACABCCAL2.2.逻辑函数的化简方法目的是得到最简与或表达式逻辑函数的化简方法目的是得到最简与或表达式 并项法：利用互补律并项法：利用互补律 ，将两项并为一项，消去一个变量。，将两项并为一项，消去一个变量。 1AA, ,A()()L A B CBCBCA BCBC例：AABCBCABCABCAB CCAB CCA BBA1AABB AA配项法：由于配项法

8、：由于 ，所以利用，所以利用 添加必要的与项，再用其他化简方法添加必要的与项，再用其他化简方法使项数减少。使项数减少。LACADCDACAD CCCDACACDACDCDACCD 吸收法：利用吸收律吸收法：利用吸收律 吸收多余项。吸收多余项。 BAFEBCDABCABALAABAAABAB 消去法：利用吸收律消去法：利用吸收律 消去多余的因子。消去多余的因子。LABACBCABAB CABABCABC 综合运用法：根据逻辑表达式的特点，混合运用前面综合运用法：根据逻辑表达式的特点，混合运用前面的各种方法。的各种方法。 CDDACABCCALDDACBCCADACBCAACABACCDCDABA

9、CDA 消去法吸收律并项法互补律A CCABCD吸收法吸收律 综合运用法：根据逻辑表达式的特点，混合运用前面综合运用法：根据逻辑表达式的特点，混合运用前面的各种方法。的各种方法。 CDDACABCCALDDACBCCADACBCAACABACCDCDABACDA 消去法吸收律并项法互补律A CCABCD吸收法吸收律 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法2.2.1 最小项的定义及其性质最小项的定义及其性质1.1.最小项的含义最小项的含义n n个变量个变量(X1, X2, , Xn)(X1, X2, , Xn)的最小项就是的最小项就是n n个因子的乘积，在个因子的乘积，在该乘积中每

10、个变量都以它的原变量或非变量的方式出现一次，该乘积中每个变量都以它的原变量或非变量的方式出现一次，且仅出现一次。且仅出现一次。CBACBACBABCACBACBACABABC例如：三变量逻辑函数： 共238个 f (A,B,C)最小项有：ABCAAB()A BC2.2.最小项的性质最小项的性质 对于恣意一个最小项，只需一组变量取值使它的取值为对于恣意一个最小项，只需一组变量取值使它的取值为1 1，而在变量，而在变量取其他值时，这个最小项的值都为取其他值时，这个最小项的值都为0 0； n n个变量有个变量有2n2n个最小项；个最小项； 不同的最小项，使它的值为不同的最小项，使它的值为1 1的那一

11、组变量取值也不同；的那一组变量取值也不同； 对于输入变量的任一组取值，任何两最小项之对于输入变量的任一组取值，任何两最小项之积积为为00； 对于输入变量的任一组取值，一切最小项之对于输入变量的任一组取值，一切最小项之和和为为11；3.3.最小项的编号最小项的编号046( , ,)L A B CmmmABCABCABC例：例：2.2.2 逻辑函数的最小项表达式1.1.定义：把恣意逻辑函数化成一组最小项之和，称逻辑函定义：把恣意逻辑函数化成一组最小项之和，称逻辑函数的最小项表达式数的最小项表达式( (一个逻辑函数的最小项表达式是独一一个逻辑函数的最小项表达式是独一的的) )。 2.2.逻辑函数最小

12、项表达式的求法：逻辑函数最小项表达式的求法： 知逻辑函数的表达式，求最小项表达式；知逻辑函数的表达式，求最小项表达式；1, ,L A B CAC例：A BBCCC AABBABCABCABCABCABCABCABCABC7654311,3,4 5 6 7mmmmmmm ， ， ， 知真值表，求最小项表达式知真值表，求最小项表达式 ABCL00000011010001111000101111011111, ,1,3,5 7L A B Cm ABCL0000001101000111100110111011116 , 57 , 4 , 3 , 1,DmCBAL无关项无关项2.2.3 用卡诺图化简逻辑

13、函数1. 相邻最小项相邻最小项 假设两个最小项中只需一个变量互为反变量，其他变假设两个最小项中只需一个变量互为反变量，其他变量均一样，那么称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。量均一样，那么称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。 假设两个相邻最小项出如今同一个逻辑函数中，可以合假设两个相邻最小项出如今同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个量。并为一项，同时消去互为反变量的那个量。如最小项如最小项ABC 和和 就是相邻最小项。就是相邻最小项。CBAACBBACCBAABC )(如：如：m0m1m3m2m4m5m7m6CBACBABCACBACBACBAABCCAB 2 .卡诺

14、图卡诺图 一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相邻性陈列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最邻性陈列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。小项逻辑上的相邻性。 3卡诺图的构造卡诺图的构造3三变量卡诺图三变量卡诺图 2二变量卡诺图BABABAABm0m1m3m2m4m5m7m6CBACBABCACBACBACBAABCCABm0m2m3m1 AB 00 01 11 10 Lm4m0m6m7m5m3m1m2 BC 00 01 11 10 A 01 L1一变量卡诺图AAm0m1 A 0 1 L4四变量卡诺图四变量

15、卡诺图 卡诺图具有很强卡诺图具有很强的相邻性：的相邻性：1直观相邻性，直观相邻性，只需小方格在几何只需小方格在几何位置上相邻不论位置上相邻不论上下左右，它代上下左右，它代表的最小项在逻辑表的最小项在逻辑上一定是相邻的。上一定是相邻的。2对边相邻性，对边相邻性，即与中心轴对称的即与中心轴对称的左右两边和上下两左右两边和上下两边的小方格也具有边的小方格也具有相邻性。相邻性。 m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m10DCBADCBACDBADCBADCBADCBABCDADBCADCABDCABABCDDABCDCBADCBACDBADCBA CD 00 01 1

16、1 10 AB 00 01 11 10 L4. 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 1) 从真值表到卡诺图例1 知某逻辑函数的真值表，用卡诺图表示该逻辑函数。解：解： 该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据真值表将该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据真值表将8个个最小项最小项L的取值的取值0或者或者1填入卡诺图中对应的填入卡诺图中对应的8个小方格中即可。个小方格中即可。0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C00010111L 真值表真值表11110000ABC0000111110 LB2) 2) 从逻辑表达式到卡诺图从逻辑

17、表达式到卡诺图2如不是最小项表达式，应将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。如不是最小项表达式，应将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可由也可由“与与或表达式直接填入或表达式直接填入1假设表达式为最小项表达式，那么可直接填入卡诺图。假设表达式为最小项表达式，那么可直接填入卡诺图。7630mmmmF 解：解：解：直接填入：解：直接填入：ABCCABBCACBAF 例例2 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数:方法二：根据表达式直接填入方法二：根据表达式直接填入DCBBAG 例例3 用卡诺图表示逻辑函数：用卡诺图表示逻辑函数： A 01F BC 00 01 11 1011110000111

18、1110000000000 00 01 11 1000 01 11 10 GABCD方法一：根据最小项表达式填入方法一：根据最小项表达式填入B2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数 1化简的根据化简的根据 :12个相邻的最小项可以合并，消去个相邻的最小项可以合并，消去1个取值不同的个取值不同的变量。变量。24个相邻的最小项可以合并，消去个相邻的最小项可以合并，消去2个取值不同的变量。个取值不同的变量。11CBA11ABD111DCBDBA1111BC11DC11DB G 00 01 11 1000 01 11 10ABCD G 00 01 11 1000 01 11 10ABCD38个相邻的最小项可

19、以合并，消去个相邻的最小项可以合并，消去3个取值不同的变量。个取值不同的变量。总之，总之，2n个相邻的最小项可以合并，消去个相邻的最小项可以合并，消去n个取值不同的个取值不同的变量。变量。11111111C1111B G 00 01 11 1000 01 11 10ABCD2用卡诺图合并最小项的原那么画圈的原那么用卡诺图合并最小项的原那么画圈的原那么 1尽量画大圈，但每个圈内只能含有尽量画大圈，但每个圈内只能含有2nn=0,1,2,3个相邻项。要特别留意对边相邻性和四角相邻性。个相邻项。要特别留意对边相邻性和四角相邻性。2圈的个数尽量少。圈的个数尽量少。3卡诺图中一切取值为卡诺图中一切取值为“

20、1的方格均要被圈过，即不能漏下的方格均要被圈过，即不能漏下取值为取值为“1的最小项。的最小项。4在新画的包围圈中至少要含有在新画的包围圈中至少要含有“1个末被圈过的个末被圈过的“1方格，方格，否那么该包围圈是多余的。否那么该包围圈是多余的。5假设含无关项，无关项的取值可假设含无关项，无关项的取值可“0可可“1，视详细情况，视详细情况灵敏处置。灵敏处置。 3用卡诺图化简逻辑函数的普通步骤：用卡诺图化简逻辑函数的普通步骤：1根据逻辑表达式画卡洛图，凡式中包含的最小根据逻辑表达式画卡洛图，凡式中包含的最小项，其对应方格填项，其对应方格填1，其他方格填，其他方格填0；2合并最小项合并最小项(画圈画圈)

21、；3写最简与或表达式；每一个圈写一个最简与项，写最简与或表达式；每一个圈写一个最简与项，取值为取值为1的变量用原变量表示，取值为的变量用原变量表示，取值为0的变的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将一切与项量用反变量表示，将这些变量相与。然后将一切与项进展逻辑加，即得最简与进展逻辑加，即得最简与或表达式。或表达式。 例4 化简逻辑函数：LA,B,C,D=m0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,151由表达式画出卡诺图。由表达式画出卡诺图。2画圈，合并最小项画圈，合并最小项ABDDACL 1111111111100000CABDDA L 00 01 11 1000 01 11 10

22、ABCDB3写最简与写最简与或表达式或表达式:解：解：解：解：1由表达式画出卡诺图。由表达式画出卡诺图。留意：图中的绿色圈留意：图中的绿色圈是多余的，应去掉是多余的，应去掉 。例例5 用卡诺图化简逻辑函数：用卡诺图化简逻辑函数：DCBADCBADBAADF DBADF 2画包围圈合并最小项，画包围圈合并最小项，得简化的与得简化的与或表达式或表达式:1111111100000000 L 00 01 11 1000 01 11 10ABCD解：解：1由表达式画出卡诺图。由表达式画出卡诺图。留意：图中的绿色圈留意：图中的绿色圈是多余的，应去掉是多余的，应去掉 。例例5 用卡诺图化简逻辑函数：用卡诺图

23、化简逻辑函数：DCBADCBADBAADF DBADF 2画包围圈合并最小项，画包围圈合并最小项，得简化的与得简化的与或表达式或表达式:1111111100000000 L 00 01 11 1000 01 11 10ABCDB例6 知某逻辑函数的真值表，用卡诺图化简该函数。2画包围圈合并最小项。画包围圈合并最小项。有两种画圈的方法：有两种画圈的方法：解：解：1由真值表画出卡诺图。由真值表画出卡诺图。 由此可见，一个逻辑函数的真值表是独一的，卡诺图也是由此可见，一个逻辑函数的真值表是独一的，卡诺图也是独一的，但化简结果有时不是独一的。独一的，但化简结果有时不是独一的。 a：写出表达式：写出表达

24、式： CABACBL b：写出表达式：写出表达式：CACBBAL 0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B C01111110 L 真值表真值表10110111 A BC L01000111 1010110111 A BC L01000111 104卡诺图化简逻辑函数的另一种方法卡诺图化简逻辑函数的另一种方法圈圈0法法例例7 知逻辑函数的卡诺图如图示，分别用知逻辑函数的卡诺图如图示，分别用“圈圈1法和法和“圈圈0法法写出其最简与写出其最简与或式。或式。2用圈用圈0法，得：法，得： 解：解：1用圈用圈1法，得：法，得：DCBL DCBL 对对L取非得

25、：取非得： DCBDCBL L1101111011111111 00 01 11 1000 01 11 10ABCDL1101111011111111 00 01 11 1000 01 11 10ABCD六、具有无关项的逻辑函数的化简六、具有无关项的逻辑函数的化简 1无关项无关项在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会出在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会出现，或者一旦出现，逻辑值可以是恣意的。这样的取值组合所对应现，或者一旦出现，逻辑值可以是恣意的。这样的取值组合所对应的最小项称为无关项、恣意项或约束项。的最小项称为无关项、恣意项或约束项。解：设红、绿、黄灯分别用解：设红、绿、黄灯分别用A、B、C表示，且灯亮为表示，且灯亮为1，灯灭为，灯灭为0。 车用车用L表示，车行表示，车行L=1，车停，车停L=0。列出该函数的真值。列出该函数的真值。红灯红灯A绿灯绿灯B黄灯黄灯C车车L000001001010111000101110111 例8：在十字路口有红绿黄三色交通讯号灯，规定红灯亮停，绿