常系数非齐次线性微分方程2ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 ),(0为常数qpyqypy 特征根:21, rr(1) 当时, 通解为xrxrCCy21ee2121rr (2) 当时, 通解为xrxCCy1e)(2121rr (3) 当时, 通解为)sincos(e21xCxCyxi2, 1r20rrpq特征方程：目录 上页 下页 返回 结束 .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 练习练习1目录 上页 下页 返回 结束 .052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,21

2、21jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 练习练习2目录 上页 下页 返回 结束 例例1 设设12,xxyeyxe是二阶常系数齐次微分方程是二阶常系数齐次微分方程的两个解，则该微分方程为的两个解，则该微分方程为 .解解12,xxyeyxe由于由于线性无关，线性无关，则该微分方程有通解则该微分方程有通解1122yC yC y12xxC eC xe12()xCC x e因此该微分方程有二重特征根：因此该微分方程有二重特征根：121rr 所以该微分方程的特征方程为：所以该微分方程的特征方程为：2(1)0,r 2210.rr 或从而微分方程为从而微分方程为 2 0y

3、yy目录 上页 下页 返回 结束 0,ypyqy20rprq回忆以上的方法回忆以上的方法一个单实根一个单实根 r一个解一个解rxe一个二重根一个二重根 r两个解两个解,rxrxexe一对共轭复根一对共轭复根两个解两个解cos, sinxxex exri目录 上页 下页 返回 结束 以上结论推广到高阶常系数齐次线性方程以上结论推广到高阶常系数齐次线性方程( )(1)110nnnnyp ypyp y特征方程：特征方程：1110nnnnrp rprp特征根：特征根：n个，重根按重数计个，重根按重数计一个单实根一个单实根 r一个解一个解rxe一个一个k重根重根 rk个解个解1,rxrxkrxexexe

4、一对共轭单复根一对共轭单复根ri两个解两个解cos, sinxxex ex一对共轭一对共轭k重复根重复根ri2k个解，个解，11cos,cos,cos, sin,sin,sin,xxkxxxkxex xexxexex xexxex目录 上页 下页 返回 结束 例例2 求通解：求通解： (4)0yy解：解： 特征方程为特征方程为 420rr因式分解：因式分解： 2(1)(1)0rrr特征根：特征根： 120, rr341,1, rr 001, , xxexex xe xe方程的基础解系方程的基础解系 通解；通解； 1234xxyCC xC eC e目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3,2co

5、s,e2,e321xyxyyxx求一个以xy2sin34为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .解解: 根据给定的特解知特征方程有根根据给定的特解知特征方程有根 :, 121 rri24, 3r因此特征方程为2) 1( r0)4(2r即04852234rrrr04852)4( yyyyy故所求方程为其通解为xCxCxCCyx2sin2cose)(4321常系数非齐次线性微分方程 第八节型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)(e)(型sin)(xxPn一、一、 第七章 二、二、目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数非齐次线性微分方程：二阶常系数非齐次线性微分方程：( )y

6、ypqyf x对应齐次线性微分方程：对应齐次线性微分方程：0yyypq(1)(2)目录 上页 下页 返回 结束 谁不会？谁不会？还不会还不会已会了已会了二阶常系数非齐次线性微分方程的求解步骤二阶常系数非齐次线性微分方程的求解步骤( )yypqyf x(1) 求出对应齐次线性方程求出对应齐次线性方程 (1) 的通解：的通解：0yyypq(1)(2)1122YC yC y(2) 求出原方程求出原方程 (1) 的一个特解：的一个特解：y*(3) 写出原方程写出原方程 的通解：的通解：y = Y + y*目录 上页 下页 返回 结束 如何求出原方程如何求出原方程 的一个特解？的一个特解？原方程原方程

7、的一个特解应当具有什么形式？的一个特解应当具有什么形式？这与方程这与方程( )yypqyf x与自由项与自由项 f(x) 的形式有关。的形式有关。目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 设设 ( )( )xmf xP x e其中其中 Pm(x) 是是 m 次多项式次多项式( )xmyyypeqP xI 型自由项型自由项( )xmyyypeqP x21x2xe2(21)xxe目录 上页 下页 返回 结束 因为因为 f(x) 中含有指数函数中含有指数函数因此特解因此特解 y* 中也必须有指数函数中也必须有指数函数设特解设特解*( )xyQ x e其中其中 Q(x) 是一个待定的多项式是一个待定的多

8、项式( )xmyyypeqP x目录 上页 下页 返回 结束 *( )xyQ x e求导：求导：*y ( )xQ x e( )xQ xe( )( )xQ xQ x e再求导：再求导：( )( )xQ xQ x e( )( )xQ xQ xe*y 2( )2( )( )xQ xQ xQ x e2( )(2)( )() ( )( )mQ xp Q xpq Q xP x(3)( )xmyyypeqP x代入原方程，并约去代入原方程，并约去 ，得，得xe目录 上页 下页 返回 结束 (1) 假设假设 不是特征根：不是特征根：20pq那么那么 Q(x) 与与 Pm(x) 是同次多项式：是同次多项式：(

9、)( )mQ xQx*( )xmyQx e方程的特解形如：方程的特解形如：2( )(2)( )() ( )( )mQ xp Q xpq Q xP x目录 上页 下页 返回 结束 2( )(2)( )() ( )( )mQ xp Q xpq Q xP x(2) 假设假设 是特征单根：是特征单根：20pq那么那么 Q(x) 与与 Pm(x) 是同次多项式，是同次多项式，Q(x) 是比是比 Pm(x) 高一次的多项式：高一次的多项式：1( )( )mQ xQx*( )xmyxQx e方程的特解形如：方程的特解形如：20p但但( )(2)( )( )mQ xp Q xP xQm1(x) 的零次幂不起作

10、用的零次幂不起作用( )mxQx目录 上页 下页 返回 结束 (3) 假设假设 是特征重根：是特征重根：20pq那么那么 Q(x) 与与 Pm(x) 是同次多项式，是同次多项式，Q(x) 是比是比 Pm(x) 高高 2 次的多项式：次的多项式：2( )( )mQ xQx2*( )xmyx Qx e方程的特解形如：方程的特解形如：20p且且( )( )mQ xP x2( )mx QxQm2(x) 的零次幂和一次幂不起作用的零次幂和一次幂不起作用2( )(2)( )() ( )( )mQ xp Q xpq Q xP x目录 上页 下页 返回 结束 综上所述，综上所述，( )xmyyypeqP x的

11、特解形式为：的特解形式为：*( )xmkyx Qx ek0当当 不是特征根不是特征根1当当 是特征单根是特征单根2当当 是特征重根是特征重根1011( ).mmmmmQxa xa xaxa将将Qm(x) 代入方程代入方程 (3)，比较两端同次幂的系数，比较两端同次幂的系数即可求出待定系数：即可求出待定系数：a0, a1, , am目录 上页 下页 返回 结束 特别地，特别地，( )mpqyyP xy特解形式为：特解形式为：*( )mkyx Qxk0当当 0 不是特征根不是特征根1当当 0 是特征单根是特征单根2当当 0 是特征重根是特征重根0(0)q 20rprq(0,0)qp(0,0)qp2

12、0rpr20r 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1 求通解：求通解：223yyx解解特征方程：特征方程：210r 特征根：特征根： ir 对应齐次方程的通解：对应齐次方程的通解：12cossinYCxCx = 0 因为因为 = 0 不是特征根，设特解：不是特征根，设特解： 2*yaxbxc求导：求导： *2yaxb*2ya目录 上页 下页 返回 结束 2*yaxbxc*2yaxb*2ya代入原方程：代入原方程： 2a2axbxc223x2(2)axbxac223x比较两端同次幂的系数，得比较两端同次幂的系数，得 2,a 0,b 23,ac7c 223yyx2*27yx通解：通解： *yY

13、y12cossinCxCx12cossinYCxCx227x目录 上页 下页 返回 结束 例例2 求通解：求通解：23xyyye解解特征方程：特征方程：2230rr特征根：特征根：13,r 对应齐次方程的通解：对应齐次方程的通解：312xxYC eC e = -1, 因为因为 = -1是特征单根，设特解：是特征单根，设特解： x( )Q xax21r xaxe( )Q xa( )0Q x*xyae代入公式代入公式 (3):2( )(2)( )()( )( )mQxp Q xpq Q xPx0 ( 22)a 0ax4a 14a 1*4xyxe 通解：通解：y312xxC eC e14xxe1目录

14、 上页 下页 返回 结束 例例3求通解：求通解：2(1)xyyyx e解解特征方程：特征方程：2210rr 特征根：特征根：1r 对应齐次方程的通解：对应齐次方程的通解：12()xYCC x e = 1 因为因为 = 1是特征重根，设特解：是特征重根，设特解： 2x2( )32,Q xaxbx( )62 ,Q xaxb二重根二重根32()xaxbx e32( ),Q xaxbx*()xyaxb e代入公式代入公式 (3):62axb0( )Q x0 ( )Q x1x 62axb1x 1,6a 12b 32*()xyaxbx e321(3)6xxx e2( )(2)( )() ( )( )mQ

15、xp Q xpq Q xP x目录 上页 下页 返回 结束 321*(3)6xyxx e12()xYCC x e通解：通解：12()xyCC x e321(3)6xxx e2(1)xyyyx e目录 上页 下页 返回 结束 课内练习：课内练习： 微分方程微分方程2 22xyyyxe的特解具有的特解具有以下形式（以下形式（ ）2( ) *()xA yAxB e2( ) *()xB yx AxB e2( ) *()xC yx Ax e22() *()xD yxAxB e解：解：特征方程特征方程220,rr 特征根特征根122,1rr 因为因为2是单特征根是单特征根特解形如：特解形如：2 *()xy

16、AxBxeB目录 上页 下页 返回 结束 课内练习：课内练习： 对微分方程对微分方程3 3 3xyyxex如何设特解？如何设特解？解：解：特征方程：特征方程：230rr特征根：特征根：120,3.rr 考虑如何设特解？考虑如何设特解？由线性微分方程解的叠加原理由线性微分方程解的叠加原理P328 定理定理4）定理定理 4自由项的叠加原理自由项的叠加原理1( )ypyqf xy*1y*2y12( )( )f xypyqyfx*1*2*yyy特解特解特解特解特解特解2( )ypyqfxy目录 上页 下页 返回 结束 课内练习：课内练习： 对微分方程对微分方程3 3 3xyyxex如何设特解？如何设特

17、解？解：解：特征方程：特征方程：230rr特征根：特征根：120,3.rr 考虑如何设特解？考虑如何设特解？3 3 3xyyxe*31()xyaxbxe 3 yxy*2()dxycx33 3 xxyyex*12yyy*3()()xyaxb ecxdxx目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 4. 求解定解问题求解定解问题 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 此题此题特征方程为, 02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xCe2xC23e原方程通解为x211C

18、y xCe2xC23e由初始条件得0432CC,0目录 上页 下页 返回 结束 于是所求解为xyxx21e41e432解得)ee423(412xxx41 143321CCCx211Cy xCe2xC23e目录 上页 下页 返回 结束 二、二、( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xxqyyyp( )cos( )sinxlneP xxP xxII 型自由项型自由项cospqyyyxcospqxyxyysinxyyyeqxpx例如例如2(1)cossinxyyexyqxxpx特点：必须有三角函数特点：必须有三角函数目录 上页 下页 返回 结束 特解的设法：特解的设法：设设* (

19、)cos( )sinxmmyeQxxRxxkxmax , ml nk0当当i不是特征根不是特征根1当当i是特征根是特征根 ( )cos( )sinxlneP xxP xxqyypy目录 上页 下页 返回 结束 例例 5cos2yyxx求通解：求通解：解解特征方程：特征方程：210r 特征根：特征根： ir 对应齐次方程的通解：对应齐次方程的通解：12cossinYCxCx1,l 0,n max1,0m 0,不是特征根不是特征根2i2i目录 上页 下页 返回 结束 cos2yyxx不是特征根不是特征根i2i设特解：设特解：*y()cos2axbx()sin2cxdx求导：求导：*y cos2ax

20、2()sin2axbxsin2cx2()cos2cxdx(22 )cos2acxdx(22 )sin2caxbx再求导：再求导：*y 2 cos2cx2(22 )sin2acxdx2 sin2ax2(22 )cos2caxbx4()cos2caxbx4()sin2acxdx目录 上页 下页 返回 结束 代入原方程，得：代入原方程，得：( 334 )cos2axbcx(334 )sin2cxdaxcos2xx比较比较 sin2x, cos2x 的系数，得的系数，得334,axbcx(334 )0cxda31,a340,bc0,c 340da解出：解出：1,3a 0,bc49d 例例 5cos2y

21、yxx求通解：求通解：*y()cos2axbx()sin2cxdx1cos23xx 4sin29x特解：特解：通解：通解：12cossinyCxCx1cos23xx4sin29x目录 上页 下页 返回 结束 例例 5cos2yyxx求通解：求通解：另解另解 复数法复数法考虑复数方程：考虑复数方程：cos2yyxxsin2ixx特征根：特征根： ir 补上虚部补上虚部由欧拉公式由欧拉公式2ixyyxeI型自由项型自由项2i不是特征根不是特征根设以上方程的特解：设以上方程的特解：*2()ixyaxb e目录 上页 下页 返回 结束 2ixyyxe*2()ixyaxb e( )Q xaxb( )Q

22、xa( )0Qx 代入原方程，得：代入原方程，得：20(40)(2 )0 21()iaiiaxbx43()aiaxbx3(43 )axaibx14,39abi 目录 上页 下页 返回 结束 *2()ixyaxb e14,39abi *214()39ixyxi e 14()(cos2sin2 )39xixix 14cos2sin239xxx 14(sin2cos2 )39xxx i目录 上页 下页 返回 结束 cos2yyxxsin2xix*14cos2sin239yxxx 14(sin2cos2 )39xxx icos2yyxx有特解：有特解：*14cos2sin239yxxx 目录 上页 下

23、页 返回 结束 复数法思路复数法思路( )cosmypyqPxyxI型自由项型自由项补上虚部补上虚部( )cos( )sinmmypP xxyqyxiPx欧拉公式欧拉公式( )i xmypyqyP x eII型自由项型自由项求解求解1*1( )( )xyix取实部取实部1*( )yx原方程的解原方程的解目录 上页 下页 返回 结束 同理，对以下方程，则应补上实部同理，对以下方程，则应补上实部( )sinmypyqPxyxI型自由项型自由项补上实部补上实部( )cos( )sinmmypP xxyqyxiPx欧拉公式欧拉公式( )i xmypyqyP x eII型自由项型自由项求解求解1*1( )( )xyix取虚部取虚部2*( )yx原方程的解原方程的解目录 上页 下页 返回