通信原理》樊昌信曹丽娜编著第六版第10章数字信号最佳接收ppt课件

1、通讯原理通讯原理第第10章章 数字信号最正确接纳数字信号最正确接纳第10章 数字信号最正确接纳l10.1数字信号的统计特性数字信号的统计特性l以二进制为例研讨接纳电压的统计特性。以二进制为例研讨接纳电压的统计特性。l假设：通讯系统中的噪声是均值为假设：通讯系统中的噪声是均值为0的带限高斯的带限高斯白噪声，其单边功率谱密度为白噪声，其单边功率谱密度为n0；并设发送的二；并设发送的二进制码元为进制码元为“0和和“1，其发送概率分别为，其发送概率分别为P(0)和和P(1)，那么有，那么有lP(0) + P(1) = 1l假设此通讯系统的基带截止频率小于假设此通讯系统的基带截止频率小于fH，那么根，那

2、么根据低通讯号抽样定理，接纳噪声电压可以用其抽据低通讯号抽样定理，接纳噪声电压可以用其抽样值表示，抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率样值表示，抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。l设在一个码元继续时间设在一个码元继续时间Ts内以内以2fH的速率抽样，的速率抽样，共得到共得到k个抽样值：，那么有个抽样值：，那么有k 2fHTs。第10章 数字信号最正确接纳n由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维概率密度可以写为n式中，n 噪声的规范偏向；n n2 噪声的方差，即噪声平均功率；n i 1，2，k。n设接纳噪声电压n(t)的k个抽样值的k维结合概率密度函数为n 222exp21)(

3、nininnf),(21kknnnf第10章 数字信号最正确接纳n由高斯噪声的性质可知，高斯噪声的概率分布经过带限线性系统后仍为高斯分布。所以，带限高斯白噪声按奈奎斯特速率抽样得到的抽样值之间是互不相关、相互独立的。这样，此k 维结合概率密度函数可以表示为n当k 很大时，在一个码元继续时间Ts内接纳的噪声平均功率可以表示为：n或者将上式左端的求和式写成积分式，那么上式变成kiinknkkknnfnfnfnnnf122212121exp21)()()(),(kiisHkiinTfnk1212211kiisHTsnTfdttnTs120221)(1第10章 数字信号最正确接纳n利用上式关系，并留意

4、到 n式中 n0 噪声单边功率谱密度n那么前式的结合概率密度函数可以改写为：n式中n n = (n1, n2, , nk) k 维矢量，表示一个码元内噪声的k个抽样值。n需求留意，f(n)不是时间函数，虽然式中有时间函数n(t)，但是后者在定积分内，积分后曾经与时间变量t无关。n是一个k维矢量，它可以看作是k 维空间中的一个点。 Hnfn02sTkndttnnf020)(1exp21)(n)()()(),()(2121kkknfnfnfnnnffn n第10章 数字信号最正确接纳n在码元继续时间Ts、噪声单边功率谱密度n0和抽样数k它和系统带宽有关给定后，f(n)仅决议于该码元期间内噪声的能量

5、：n由于噪声的随机性，每个码元继续时间内噪声的波形和能量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而另一些那么无错。sTdttn02)(第10章 数字信号最正确接纳n设接纳电压r(t)为信号电压s(t)和噪声电压n(t)之和:nr(t) = s(t) + n(t)n那么在发送码元确定之后，接纳电压r(t)的随机性将完全由噪声决议，故它仍服从高斯分布，其方差仍为n2，但是均值变为s(t)。所以，当发送码元“0的信号波形为s0(t)时，接纳电压r(t)的k维结合概率密度函数为n式中 r = s + n k 维矢量，表示一个码元内接纳电压的k个抽 样值；n s k 维矢量，表示一个码元内信号

6、电压的k个抽样值。ndttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r r第10章 数字信号最正确接纳n同理，当发送码元“1“的信号波形为s1(t)时，接纳电压r(t)的k维结合概率密度函数为n顺便指出，假设通讯系统传输的是M 进制码元，即能够发送s1，s2，si，sM之一，那么按上述原理不难写出当发送码元是si时，接纳电压的k 维结合概率密度函数为nn仍需记住，以上三式中的k 维结合概率密度函数不是时间t的函数，并且是一个标量，而r 仍是k维空间中的一个点，是一个矢量。dttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r rdttstrnfsTikni200)()(1exp

7、21)(r r第10章 数字信号最正确接纳l10.2 数字信号的最正确接纳数字信号的最正确接纳l“最正确最正确的准那么：错误概率最小的准那么：错误概率最小l产生错误的缘由：暂不思索失真的影响，产生错误的缘由：暂不思索失真的影响，主要讨论在二进制数字通讯系统中如何使主要讨论在二进制数字通讯系统中如何使噪声引起的错误概率最小。噪声引起的错误概率最小。l判决规那么判决规那么l设在一个二进制通讯系统中发送码元设在一个二进制通讯系统中发送码元“1的概率为的概率为P(1)，发送码元，发送码元“0的概率的概率为为P(0)，那么总误码率，那么总误码率Pe等于等于l式中式中lPe1 = P(0/1) 发送发送“

8、1时，收到时，收到“0的条件概率；的条件概率；l Pe0 = P(1/0) 发送发送“0时，收时，收到到“1的条件概率；的条件概率；l上面这两个条件概率称为错误转移概率。上面这两个条件概率称为错误转移概率。01)0() 1 (eeePPPPP第10章 数字信号最正确接纳按照上述分析，接纳端收到的每个码元继续时间内的电压可以用一个k 维矢量表示。接纳设备需求对每个接纳矢量作判决，断定它是发送码元“0，还是“1。由接纳矢量决议的两个结合概率密度函数f0(r)和f1(r)的曲线画在以下图中在图中把r 当作1维矢量画出。：可以将此空间划分为两个区域A0和A1，其边境是r0，并将判决规那么规定为： 假设

9、接纳矢量落在区域A0内，那么判为发送码元是“0；假设接纳矢量落在区域A1内，那么判为发送码元是“1。A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)第10章 数字信号最正确接纳显然，区域A0和区域A1是两个互不相容的区域。当这两个区域的边境r0确定后，错误概率也随之确定了。这样，总误码率可以写为式中，P(A0/1)表示发送“1时，矢量r落在区域A0的条件概率 P(A1/0)表示发送“0时， 矢量r落在区域A1的条件概率这两个条件概率可以写为：这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。 A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)0/()0() 1/() 1 (10

10、APPAPPPe0)() 1/(10AdfAPr rr r1)()0/(01AdfAPr rr r第10章 数字信号最正确接纳将上两式代入得到参考上图可知，上式可以写为上式表示Pe是r0的函数。为了求出使Pe最小的判决分界点r0，将上式对r0求导 并令导函数等于0，求出最正确分界点r0的条件：)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe10)()0()() 1 (01AAedfPdfPPr rr rr rr r00)()0()() 1 (01rredfPdfPPr rr rr rr rA0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)()0()() 1 (00010r r

11、r rr rfPfPPe0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP第10章 数字信号最正确接纳即领先验概率相等时，即P(1) = P(0)时，f0(r0) = f1(r0)，所以最正确分界点位于图中两条曲线交点处的r 值上。在判决边境确定之后，按照接纳矢量r 落在区域A0应判为收到的是“0的判决准那么，这时有：假设 那么判为“0 ；反之，假设那么判为“1 。在发送“0和发送“1的先验概率相等时，上两式的条件简化为：0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP)()()0() 1 (0100r rr rffPP)()()0() 1 (10r rr rffPP)()()0()

12、 1 (10r rr rffPPA0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0) 假设f0(r) f1(r)，那么判为“0 假设f0(r) f1(r)，那么判为“1第10章 数字信号最正确接纳这个判决准那么常称为最大似然准那么。按照这个准那么判决就可以得到实际上最正确的误码率，即到达实际上的误码率最小值。以上对于二进制最正确接纳准那么的分析，可以推行到多进制信号的场所。设在一个M 进制数字通讯系统中，能够的发送码元是s1，s2，si，sM之一，它们的先验概率相等，能量相等。当发送码元是si时，接纳电压的k 维结合概率密度函数为于是，假设 那么判为si(t)，其中，dttstrnf

13、sTikni200)()(1exp21)(r r),()(r rr rjiffMjij, 2, 1第10章 数字信号最正确接纳l10.3 确知数字信号的最正确接纳机确知数字信号的最正确接纳机l确知信号：指其取值在任何时间都是确定确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的信号。的、可以预知的信号。l判决准那么判决准那么l当发送码元为当发送码元为“0，波形为，波形为so(t)时，接纳时，接纳电压的概率密度为电压的概率密度为l当发送码元为当发送码元为“1，波形为，波形为s1(t)时，接纳时，接纳电压的概率密度为电压的概率密度为l因此，将上两式代入判决准那么式，经过因此，将上两式代入判决准那么

14、式，经过简化，得到：简化，得到：dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r rdttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r r第10章 数字信号最正确接纳假设那么判为发送码元是s0(t)；假设 那么判为发送码元是s1(t)。 将上两式的两端分别取对数，得到假设那么判为发送码元是s0(t)；反之那么判为发送码元是s1(t)。由于曾经假设两个码元的能量一样，即所以上式还可以进一步简化。 ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0

15、()()(1exp) 1 (ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnssTTdttsdtts021020)()(第10章 数字信号最正确接纳假设式中那么判为发送码元是s0(t)；反之，那么判为发送码元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先验概率决议的加权因子。最正确接纳机按照上式画出的最正确接纳机原理方框图如下：ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()()0(ln200PnW ) 1 (ln201PnW 第10章 数字信号最正确接纳W1r(t)S1(t)S0(t)W0t = Ts比较判决积分器积分器ssTTodt

16、tstrWdttstrW00011)()()()(r(t)S0(t)S1(t)积分器积分器比较判决t = Ts第10章 数字信号最正确接纳假设此二进制信号的先验概率相等，那么上式简化为最正确接纳机的原理方框图也可以简化成 ssTTdttstrdttstr0001()()()(）ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()(第10章 数字信号最正确接纳由上述讨论不难推出M 进制通讯系统的最正确接纳机构造 上面的最正确接纳机的中心是由相乘和积分构成的相关运算，所以常称这种算法为相关接纳法。由最正确接纳机得到的误码率是实际上能够到达的最小值。 积分器r(t)SM(t)S0(t)S1

17、(t)比较判决积分器积分器第10章 数字信号最正确接纳l10.4 确知数字信号最正确接纳的误码率确知数字信号最正确接纳的误码率l总误码率总误码率l在最正确接纳机中，假设在最正确接纳机中，假设ll那么判为发送码元是那么判为发送码元是s0(t)。因此，在发。因此，在发送码元为送码元为s1(t)时，假设上式成立，那么将时，假设上式成立，那么将发生错误判决。所以假设将发生错误判决。所以假设将r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，那么上式成立的概率就是在发代入上式，那么上式成立的概率就是在发送码元送码元“1的条件下收到的条件下收到“0的概率，的概率，即发生错误的条件概率即发生错误的条件概率P(

18、0 / 1)。此条件概。此条件概率的计算结果如下率的计算结果如下 ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnaxdxeaPP22221)() 1/0(第10章 数字信号最正确接纳式中同理，可以求出发送s0(t)时，判决为收到s1(t)的条件错误概率式中axdxeaPP22221)() 1/0(sTdttstsPPna02010)()(21) 1 ()0(ln2sTdttstsnD020102)()(2)(bxdxebPP22221)()0/1 (STdttstsPPnb02100)()(21)0() 1 (ln2第10章 数字信号最正确

19、接纳因此，总误码率为先验概率对误码率的影响领先验概率P(0) = 0及P(1) = 1时，a = - 及b = ，因此由上式计算出总误码率Pe = 0。在物理意义上，这时由于发送码元只需一种能够性，即是确定的“1。因此，不会发生错误。同理，假设P(0) = 1及P(1) = 0 ，总误码率也为零。 21)0(21) 1 ()0/1 ()0() 1/0() 1 (222222dxePdxePPPPPPbxaxe第10章 数字信号最正确接纳u领先验概率相等时：uP(0) = P(1) = 1/2，a = b。这样，上式可以化简为u式中u上式阐明，领先验概率相等时，对于给定的噪声功率2，误码率仅和两

20、种码元波形之差s0(t) s1(t)的能量有关，而与波形本身无关。差别越大，c 值越小，误码率Pe也越小。 u领先验概率不等时：u由计算阐明，先验概率不等时的误码率将略小于先验概率相等时的误码率。就误码率而言，先验概率相等是最坏的情况。dxePcxe22221sTdttstsc0210)()(21第10章 数字信号最正确接纳n先验概率相等时误码率的计算n在噪声强度给定的条件下，误码率完全决议于信号码元的区别。如今给出定量地描画码元区别的一个参量，即码元的相关系数 ，其定义如下：n式中nE0、E1为信号码元的能量。n当s0(t) = s1(t)时，1，为最大值；当s0(t) = -s1(t)时，

21、1，为最小值。所以 的取值范围在-1 +1。 10010021020010)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdttstsssssTTTTsTdttsE0200)(sTdttsE0211)(第10章 数字信号最正确接纳当两码元的能量相等时，令E0 = E1 = Eb，那么上式可以写成并且将上式代入误码率公式，得到为了将上式变成适用的方式，作如下的代数变换：令那么有bTEdttstsS010)()()1 ()()(210210bTEdttstscSdxedxePbExcxe)1 (22222221212/xz 2222/xz 2/dxdz 第10章 数字信号最正确接纳于是上式

22、变为式中 利用下式中2和n0关系代入上式，得到误码率最终表示式：2)1 (121221112212/ )1 (2/ )1 (2/ )1 (2/ )1 (2222bEzEzEzEzeEerfdzedzedzedzePbbbbxzdzexerf022)()1 ()()(2)(0020102bTEndttstsnDs002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbe第10章 数字信号最正确接纳式中 误差函数 补误差函数 Eb 码元能量； 码元相关系数； n0 噪声功率谱密度。上式是一个非常重要的实际公式，它给出了实际上二进制等能量数字信号误码率的最正确最小能够值。在以下图中画出了它的曲

23、线。实践通讯系统中得到的误码率只能够比它差，但是绝对不能够超越它。002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbexzdzexerf022)()(1)(xerfxerfc第10章 数字信号最正确接纳n误码率曲线dB第10章 数字信号最正确接纳n最正确接纳性能特点n误码率仅和Eb / n0以及相关系数有关，与信号波形及噪声功率无直接关系。 n码元能量Eb与噪声功率谱密度n0之比，实践上相当于信号噪声功率比Ps/Pn。由于假设系统带宽B等于1/Ts，n那么有nn按照能消除码间串扰的奈奎斯特速率传输基带信号时，所需的最小带宽为(1/2Ts) Hz。对于已调信号，假设采用的是2PSK或

24、2ASK信号，那么其占用带宽该当是基带信号带宽的两倍，即恰好是(1/Ts) Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)当作信号噪声功率比对待。nssssssbPPBnPTnPnTPnE0000)/1 (第10章 数字信号最正确接纳u相关系数 对于误码率的影响很大。当两种码元的波形一样，相关系数最大，即 = 1时，误码率最大。这时的误码率Pe = 1/2。由于这时两种码元波形没有区别，接纳端是在没有根据的乱猜。当两种码元的波形相反，相关系数最小，即 = -1时，误码率最小。这时的最小误码率等于 uu例如，2PSK信号的相关系数就等于 -1。u当两种码元正交，即相关系数 等于0时，误码率等于u例如

25、，2FSK信号的相关系数就等于或近似等于零。0021121nEerfcnEerfPbbe002212121nEerfcnEerfPbbe第10章 数字信号最正确接纳u假设两种码元中有一种的能量等于零，例如2ASK信号，那么u误码率为u比较以上3式可见，它们之间的性能差3dB，即2ASK信号的性能比2FSK信号的性能差3dB，而2FSK信号的性能又比2PSK信号的性能差3dB。sTdttsc020)(21004214121nEerfcnEerfPbbe第10章 数字信号最正确接纳n多进制通讯系统n假设不同码元的信号正交，且先验概率相等，能量也相等，那么其最正确误码率计算结果如下：n式中，M 进制

26、数；n E M 进制码元能量；n n0 单边噪声功率谱密度。n由于一个M 进制码元中含有的比特数k 等于log2M，故每个比特的能量等于n并且每比特的信噪比为n以下图画出了误码率Pe与Eb/n0关系曲线。 dyedxePyMnEyxe212/12220221211MEEb2log/knEMnEnEb0200log第10章 数字信号最正确接纳u误码率曲线u由此曲线看出，对于u给定的误码率，当ku增大时，需求的信噪u比Eb/n0减小。当k 增u大到时，误码率曲u线变成一条垂直线；u这时只需Eb/n0等于u0.693(-1.6 dB)，就能u得到无误码的传输。Pe0.693Eb/n0第10章 数字信

27、号最正确接纳l10.5 随相数字信号的最正确接纳随相数字信号的最正确接纳l假设：假设：l 2FSK信号的能量相等、先验概率相等、互信号的能量相等、先验概率相等、互不相关；不相关；l通讯系统中存在带限白色高斯噪声；通讯系统中存在带限白色高斯噪声；l接纳信号码元相位的概率密度服从均匀分接纳信号码元相位的概率密度服从均匀分布。布。l因此，可以将此信号表示为：因此，可以将此信号表示为：ll及将此信号随机相位的概率密度表示为：及将此信号随机相位的概率密度表示为：)cos(),()cos(),(11110000tAtstAts其他处, 020,2/1)(00f其他处, 020,2/1)(11f第10章 数

28、字信号最正确接纳n判决条件：由于已假设码元能量相等，故有n在讨论确知信号的最正确接纳时，对于先验概率相等的信号，按照下式条件作判决：n假设接纳矢量r使f1(r) f0(r)，那么判发送码元是“0，n假设接纳矢量r使f0(r) f1(r)，那么判发送码元是“1。n如今，由于接纳矢量具有随机相位，故上式中的f0(r)和f1(r)分别可以表示为：n上两式经过复杂的计算后，代入判决条件，就可以得出最终的判决条件：ssTTbEdttsdtts00121020),(),(2000000)/()()(dfffr rr r2011111)/()()(dfffr rr r第10章 数字信号最正确接纳 假设接纳矢

29、量r 使M12 M02，那么判为发送码元是“0， 假设接纳矢量r 使M02 M12，那么判为发送码元是“1。上面就是最终判决条件，其中：按照上面判决准那么构成的随置信号最正确接纳机的构造示于以下图中。 ,20200YXM,21211YXMSTtdttrX000cos)(STtdttrY000sin)(STtdttrX011cos)(STtdttrY011sin)(第10章 数字信号最正确接纳n最正确接纳机的构造相关器平 方cos0t相 加相关器平 方sin0t相关器平 方cos1t相 加相关器平 方sin1t比 较r(t)Y0X1Y1X0第10章 数字信号最正确接纳n误码率：n随置信号最正确接

30、纳机的误码率，用类似10.4节的分析方法，可以计算出来，结果如下：n最后指出，上述最正确接纳机及其误码率也就是2FSK确知信号的非相关接纳机和误码率。由于随置信号的相位带有由信道引入的随机变化，所以在接纳端不能够采用相关接纳方法。换句话说，相关接纳只适用于相位确知的信号。对于随置信号而言，非相关接纳曾经是最正确的接纳方法了。)2/exp(210nEPbe第10章 数字信号最正确接纳l10.6 起伏数字信号的最正确接纳起伏数字信号的最正确接纳l仍以仍以2FSK信号为例简要地讨论其最正确接信号为例简要地讨论其最正确接纳问题。纳问题。l假设：假设：l通讯系统中的噪声是带限白色高斯噪声；通讯系统中的噪

31、声是带限白色高斯噪声；l信号是互不相关的等能量、等先验概率的信号是互不相关的等能量、等先验概率的2FSK信号。信号。l2FSK信号的表示式信号的表示式l式中，式中，A0和和A1是由于多径效应引起的随机是由于多径效应引起的随机起伏振幅，它们服从同一瑞利分布：起伏振幅，它们服从同一瑞利分布： )cos(),()cos(),(111111000000tAAtstAAts2 , 1, 0,2exp)(222iAAAVfisisii第10章 数字信号最正确接纳式中，s2为信号的功率；而且0和1的概率密度服从均匀分布：此外，由于Ai是余弦波的振幅，所以信号si(t, i, Ai)的功率s2和其振幅Ai的均

32、方值之间的关系为2 , 1, 0,2exp)(222iAAAVfisisii2 , 1,20,2/1)(ifii222siAE第10章 数字信号最正确接纳n接纳矢量的概率密度:n由于接纳矢量不但具有随机相位，还具有随机起伏的振幅，故此概率密度f0(r)和f1(r)分别可以表示为：n 20000000000),/()()()(ddAAffAffrr r 20111111011),/()()()(ddAAffAffrr r第10章 数字信号最正确接纳经过繁复的计算，上两式的计算结果如下：式中n0 噪声功率谱密度； n2 噪声功率。knTsdttrnK2)(1exp020)(2exp)(200202

33、2000sssssTnnMTnnKfr r)(2exp)(2002122001sssssTnnMTnnKfr r第10章 数字信号最正确接纳n误码率：n本质上，和随置信号最正确接纳时一样，比较f0(r)和f1(r)依然是比较M02和M12的大小。所以，不难推论，起伏信号最正确接纳机的构造和随置信号最正确接纳机的一样。但是，这时的最正确误码率那么不同于随置信号的误码率。这时的误码率等于 n式中，n 接纳码元的统计平均能量。)/(210nEPeE第10章 数字信号最正确接纳n误码率曲线n由此图看出，在有衰落时，n性能随误码率下降而迅速n变坏。当误码率等于10-2n时，衰落使性能下降约n10 dB；

34、当误码率等于10-3n时，下降约20 dB。相关2ASK信号非相关2ASK信号相关2FSK信号非相关2FSK信号相关2PSK信号差分相关2DPSK信号同步检测2DPSK信号第10章 数字信号最正确接纳l10.7 实践接纳机和最正确接纳机的性能比实践接纳机和最正确接纳机的性能比较较4/21rerfc04/21nEerfcb4/exp21r04/exp21nEb2/21rerfc02/21nEerfcb2/exp21r02/exp21nEbrerfc210/21nEerfcbrexp210/exp21nEbrerfcrerfc21100211nEerfcnEerfcbb实践接纳机的Pe最正确接纳机

35、的Pe第10章 数字信号最正确接纳l10.8 数字信号的匹配滤波接纳法数字信号的匹配滤波接纳法l什么是匹配滤波器？什么是匹配滤波器？ l用线性滤波器对接纳信号滤波时，使抽用线性滤波器对接纳信号滤波时，使抽样时辰上输出信号噪声比最大的线性滤波样时辰上输出信号噪声比最大的线性滤波器称为匹配滤波器。器称为匹配滤波器。l假设条件：假设条件：l接纳滤波器的传输函数为接纳滤波器的传输函数为H(f)，冲激呼应为，冲激呼应为h(t)，滤波器输入码元，滤波器输入码元s(t)的继续时间为的继续时间为Ts，信号和噪声之和信号和噪声之和r(t)为为l式中，式中，s(t) 信号码元，信号码元，l n(t) 高斯白噪声；

36、高斯白噪声；sTttntstr0),()()(第10章 数字信号最正确接纳u并设信号码元s(t)的频谱密度函数为S(f)，噪声n(t)的双边功率谱密度为Pn(f) = n0/2，n0为噪声单边功率谱密度。 u输出电压u假定滤波器是线性的，根据线性电路叠加定理，当滤波器输入电压r(t)中包括信号和噪声两部分时，滤波器的输出电压y(t)中也包含相应的输出信号so(t)和输出噪声no(t)两部分，即u式中)()()(tntstyoodfefSfHtsftjo2)()()(第10章 数字信号最正确接纳n输出噪声功率n由n这时的输出噪声功率No等于n输出信噪比n在抽样时辰t0上，输出信号瞬时功率与噪声平

37、均功率之比为)()()()()(*)(2fPfHfPfHfHfPRRYdffHndfnfHNo2002)(22)(dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(0第10章 数字信号最正确接纳n匹配滤波器的传输特性：n利用施瓦兹不等式求 r0的最大值n假设n其中k为恣意常数，那么上式的等号成立。n将上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令n那么有n式中 dxxfdxxfdxxfxf2221221)()()()()()(*21xkfxf0221)()(),()(ftjefSxffHxf0022022022)()(2)()(nEndffSdffHndffSdffHrdf

38、fSE2)(第10章 数字信号最正确接纳而且当时，上式的等号成立，即得到最大输出信噪比2E/n0。上式阐明，H(f)就是我们要找的最正确接纳滤波器传输特性。它等于信号码元频谱的复共轭除了常数因子外。故称此滤波器为匹配滤波器。 02)(*)(ftjefkSfH第10章 数字信号最正确接纳n匹配滤波器的冲激呼应函数：nn由上式可见，匹配滤波器的冲激呼应h(t)就是信号s(t)的镜像s(-t)，但在时间轴上向右平移了t0。 )()()()()()(*)()(00)(2)(2*2222000ttksdttskdsdfekdfedeskdfeefkSdfefHthttfjttfjfjftjftjftj0

39、00tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)(c)第10章 数字信号最正确接纳n图解 第10章 数字信号最正确接纳n实践的匹配滤波器n一个实践的匹配滤波器应该是物理可实现的，其冲激呼应必需符合因果关系，在输入冲激脉冲参与前不应该有冲激呼应出现，即必需有：n即要求满足条件n或满足条件n上式的条件阐明，接纳滤波器输入端的信号码元s(t)在抽样时辰t0之后必需为零。普通不希望在码元终了之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选t0 = Ts。故匹配滤波器的冲激呼应可以写为0, 0)(tth当0, 0)(0ttts当0, 0)(ttts当)()(tTksths

40、第10章 数字信号最正确接纳这时，假设匹配滤波器的输入电压为s(t)，那么输出信号码元的波形为：上式阐明，匹配滤波器输出信号码元波形是输入信号码元波形的自相关函数的k倍。k是一个恣意常数，它与r0的最大值无关；通常取k 1。)()()()()()()()(sssoTtkRdTtsskdTstskdhtsts第10章 数字信号最正确接纳n【例10.1】设接纳信号码元s(t)的表示式为n试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。n【解】上式所示的信号波形是一个矩形脉冲，如以下图所示。n其频谱为n由n令k = 1，可得其匹配滤波器的传输函数为n由n令k = 1，还可以得到此匹配滤波器的冲激呼应为t

41、Tttss其他, 00, 1)(sfTjftjefjdtetsfS22121)()(tTss(t)102)(*)(ftjefkSfHssfTjfTjeefjfH22121)()()(0ttksthssTttTsth0),()(第10章 数字信号最正确接纳此冲激呼应示于以下图。外表上看来，h(t)的外形和信号s(t)的外形一样。实践上，h(t)的外形是s(t)的波形以t = Ts / 2为轴线反转而来。由于s(t)的波形对称于t = Ts / 2，所以反转后，波形不变。由式可以求出此匹配滤波器的输出信号波形如下： tTsh(t)1ssTttTsth0),()()()(soTtkRtstTsso(

42、t)第10章 数字信号最正确接纳由其传输函数可以画出此匹配滤波器的方框图如下：由于上式中的(1/j2f)是理想积分器的传输函数，而exp(-j2fTs)是延迟时间为Ts的延迟电路的传输函数。 ssfTjfTjeefjfH22121)(延迟Ts理想积分器第10章 数字信号最正确接纳n【例10.2】 设信号的表示式为n试求其匹配滤波器的特性和匹配滤波器输出的波形。n【解】n上式给出的信号波形n是一段余弦振荡，n如右图所示：n其频谱为tTttftss其他, 00,2cos)(0)(41)(412cos)()(0)(20)(2020200ffjeffjedttefdtetsfSssTffjTffjTf

43、tjftjTs第10章 数字信号最正确接纳因此，其匹配滤波器的传输函数为上式中已令t0 = Ts。此匹配滤波器的冲激呼应为：为了便于画出波形简图，令式中，n = 正整数。这样，上式可以化简为h(t)的曲线示于以下图： )(41)(41)(*)(*)(02)(202)(222000ffjeeffjeeefSefSfHsssssfTjTffjfTjTffjfTjftjsssTttTftTsth0),(2cos)()(00/ fnTssTttfth0,2cos)(0第10章 数字信号最正确接纳这时的匹配滤波器输出波形可以由卷积公式求出：由于如今s(t)和h(t)在区间(0, Ts)外都等于零，故上式

44、中的积分可以分为如下几段进展计算：显然，当t 2Ts时，式中的s()和h(t-)不相交，故s0(t)等于零。 (b) 冲激呼应Tsdthstso)()()(ssssTtTtTTtt2,2,0, 0第10章 数字信号最正确接纳当0 t d)是噪声抽样值大于d 的概率。如今来计算上式中的P(| |d) 。设接纳滤波器输入端高斯白噪声的单边功率谱密度为n0，接纳滤波器输出的带限高斯噪声的功率为2，那么有dPMPe11dffHndffGnR22/10202)(2)(2第10章 数字信号最正确接纳上式中的积分值是一个实常数，我们假设其等于1，即假设故有这样假设并不影响对误码率性能的分析。由于接纳滤波器是一个线性滤波器，故其输出噪声的统计特性仍服从高斯分布。因此输出噪声的一维概率密度函数等于对上式积分，就可以得到抽样噪声值超越d 的概率：dffHndffGnR22/10202)(2)(21)(22/1df