实数完备性基本定理之间的等价性

1、学号：20105031106学年论文（本科）学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级2010姓名陈方华论文题目 实数完备性基本定理之间的等价性指导教师 陶有德职称副教授成 绩2012年5月18日摘要2关键词2Abstract 2Key words 21. 弓I言22. 实数基本定理的陈述 23. 定理1到定理6的循环证明 34. 举例分析4参考文献61实数完备性定理之间的等价性学生姓名：陈方华 学号:20105031106数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师：陶有德 职称:副教授摘要：本文给出了实数理论的六个基本定理的循环证明关键词：实数基本定理；等价性；数列；极限；收敛Abstr

2、acts n this paper, a cycle of six fun dame ntal theorem of the theory of real nu mbers prove.Key words:Real nu mber of the fun dame ntal theorem; equivale nee; series; limits; conv erge nee.1. 引言实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性，实数基本定理是建立与发展微积分学的基础因此掌握这部分内容是十分必要的，本文主要给出实数理论的6个基本定理的循环证明.2. 实数基本定理的陈述定理1（确界原理）

3、非空有上（下）界数集，必有上（下）确界.定理2（单调有界原理）任何单调有界数列必有极限.定理3（区间套定理）若'an,bn 1是一个区间套，则存在唯一一点,使an,bn, n =1,2,.定理4（有限覆盖定理）设a,b是一个闭区间，为a, b上的一个开覆盖，则在M 中存在有限个开 区间,它构成a,b上的一个覆盖.定理5 （聚点原理）实轴上的有界无限点集至少有一个聚点.定理6（柯西收敛准则）数列an收敛二 对任给的正数；，总存在某一个自然数N ,使得_m,n N 时，都有 |aman|： ；3. 定理1到定理6的循环证明(1) 定理1=定理2(确界原理=单调有界原理)证 不妨设xn为单增

4、有上界数列，即TM 0 , - nW '、，有xn ： M .记U =xn |n J,则由确界原理知U有上确界,不妨记为，则二supUXfz>0,zN使得ct -z c Xn兰0成立.因为xn是单调递增数列，所以勺? - ； : Xn - Xn -:.；.故xn心,(n').(2) 定理2-定理3(单调有界定理 = 区间套定理)证 因为 bn ,bn I： a. i,bn 1 1,所以有 印乞 a?an bn-bi bi 从而可见数列fan 单增有上界，数列£n ?单减有下界故由单调有界定理可知Ta R 使得 lim an = a , TbR 使得 lim bn

5、 = b .nn且-nN有a.辽a,N有b辽bn,所以a,b二，6】,于是成立0 兰 b a Ebn an.又因为lim (bn - a.) =0,所以a二b.记匸=a - b,从而存在性得证.n:(3) 定理3- 定理4(区间套定理 =有限覆盖定理)证(反证法)假设闭区间a,b有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖定义性质p：不能用中有限个开区间覆盖.Step(1)将'a.b 1等分为两个子区间，则至少有一个具有性质?,不妨记该区间为a1,b11 a,b】；Step(2)将等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P,不妨记该区间为a?bi,bi i；Step(n)将Ian4,bnj】

6、等分为两个子区间，则至少有一个具有性质 P,不妨记该区间为-R ,从而nN,有'ai ,bi 1,则；也,b2 L则也4 j则n,bj « i,bn i Ianbnb - a2n由此可得一个区间套、an,bn 且满足利用二等分法容易构造出满足性质P的区间套an，bn.故由区间套定理可知，存在唯一的an,bn,从而 U （ , ；） U - U , N 0, nN,有玄，0 U（ , ；） U - U ,这与 an,bn具有性质P矛盾这就证明了有限复盖定理（4）定理4=定理5（有限覆盖定理=聚点原理）证（反证法）假设原命题不成立，则由于S是直线上的有界无限点集，即存在闭区间a,

7、b,使得S a, b,所以-xa,b, U （x,U（x ）只含S中的有限多项从而得a,b的一个开覆盖记 为訂由有限覆盖定理可知存在H的一个有限子覆盖记为H 1 .所以Hj只含有S中的有限多个点，这显然与SHi是矛盾的，故可知假设错误，原命题成立.（5）定理5=定理6（聚点原理=柯西收敛准则）证 不妨设xn是无穷基本列，即有WE A0,三N >0,使得Fm,n > N有xmxn< 易证Xn有界.由聚点原理可知Xn至少有一个聚点一 ； 0,U（ , 0必含有Xn的无限多项.从而：.“;乜0, - n N ,任取U，；）中满足 m N 的某项 xm ,即可得到 Xn 壬|

8、63;Xn Xm| + Xm T <2Z .故 Xn T -,（nT 旳）（6）定理6=定理1（柯西收敛准则=确界原理）证 设是S 一个有上界非空数集，则bR使得- S有x：b,取S构造区间a,b.定义 性质P,区间中至少有一个数属于S,且区间的右端点为的S一个上界.仿（9）的证明，利用二等分法容易构造出满足性质 P的区间套 an,bn则由-；0, N 0, n N时，有bnan ：；.由于an 单调递增,bn中的每一个元素都为 an的上界.故一m n N ,则有am -an : bn -an ：；.故由 柯西收敛准则可知an收敛，记其极限为'.由（3.1）易证bn “ 1 ,（

9、n“ -'）.因此 一；0, N10, n N1，有an,bn U，；）.由于bn都为S的上界，所以也为S的上界.从而可知，一nN1, x S, x an,bnU，；）.即-；：:x ，故为 S的上确界.4. 举例分析用数列的柯西收敛准则证明确界原理证：设S为非空有上界数集，由实数的阿基米德性，对任何正数:-,存在整数k.,使得、=k-；为的S上界,而k：.不是的S上界,故存在:， k不是S的上界,即存在1-不是n分别取,n =1,2,.,则对每一个正数n,存在相应的'n,使得'n为的S上界，而'nn的S上界,故存在， S,使得、工-n(6)7#1又对正整数m,，m是S的上界，故有 m -a，,结合（6）式得 m - n ；同理有n是,对任意的；.0,存在N 0 ,使得当m,n . N时有”1 Tm 九门 £ max4 k_m ' n：#由柯西收敛准则，数列： n 收敛，记(7)lim n#现证明，就是S的上确界,首先,对任何a 和正整数n有a乞 n,由（7）式得a乞1S的一个上界，其次.对任何0,由 0 n-； ；:及（ 7）n式,对充分大的n同时有6 .：2，'n1又因n -不是S的一个上界，故存在-，n-S ,使得，.n-.结合上式得n这说明为S的上确界，同理可证：若S为非空有下界数集，则必存在下确界8参考文献1