同济大学高等数学第六版第七章微分方程ppt课件

1、暨南大学珠海学院第七章第七章 微分方程微分方程 yxfy求已知, )( 积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含, 微分方程问题微分方程问题 推行 第七章 暨南大学珠海学院第一节第一节 微分方程的根本概念微分方程的根本概念 与一阶微分方程解法与一阶微分方程解法 引例引例 第七章 暨南大学珠海学院引例引例1. 一曲线经过点(1,2) ,在该曲线上恣意点处的解解: 设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y = y(x) , 那么有如下关系式那么有如下关系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C为恣意常数)由 得 C = 1,.12 xy因此所求曲线方程为21xy由 得切线斜率为 2x , 求该

2、曲线的方程 . 暨南大学珠海学院引例引例2. 列车在平直路上以列车在平直路上以sm20的速度行驶, 制动时获得加速度,sm4 . 02a求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s 米米 ,知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式两次积分, 可得2122 . 0CtCts利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为tts202 . 02阐明阐明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) .暨南大学珠海学院常微分方程偏微分方程含未知

3、函数及其导数的方程叫做微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 阶显式微分方程)一、微分方程的根本概念一、微分方程的根本概念普通地 , n 阶常微分方程的方式是的阶.分类或暨南大学珠海学院,00ts200ddtts引例24 . 022ddxy 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的恣意常数的个数与方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中恣意常数的条件.n 阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数一样.特解特解xxy2dd21xy引例1 Cxy22122

4、. 0CtCts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解 不含恣意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线.其图形称为积分曲线族.暨南大学珠海学院例例1. 验证函数验证函数是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解,0Axt00ddttx的特解 . 解解: : 22ddtxt kkCsin22)cossin(212t kCt kCkxk2这阐明tkCtkCxsincos21是方程的解 . 是两个独立的恣意常数,21,CC),(21为常数CCt kkCcos2102xk利用初始条件易得: ,1AC 故所求特解为tkAxcos,02C故它是方程的通解.并求满足

5、初始条件 暨南大学珠海学院求所满足的微分方程 .例例2. 知曲线上点知曲线上点 P(x, y) 处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为 QPQxyox解解: 如下图如下图, yYy1)(xX 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标yyxX,xyyx即02 xyy点 P(x, y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分, 暨南大学珠海学院1、可分别变量微分方程 或或 xxfyygd)(d)(可分别变量方程。可分别变量方程。 )()(dd21yfxfxy形如形如的微分方程称为的微分方程称为解法：可分别变量方程的解法解法：可分别变量方程的解法:xxfyygd)(d)(两边积分, 得 yyg

6、d)(xxfd)(CxFyG)()()(yG)(xF那么有称为方程的隐式通解.二、一阶微分方程的解法二、一阶微分方程的解法暨南大学珠海学院例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分别变量得分别变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 为恣意常数 )或阐明阐明: 在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形, 因此能够增、减解.( 此式含分别变量时丧失的解 y = 0 )暨南大学珠海学院例例2. 解初值问题解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分别变量得分

7、别变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为恣意常数 )故所求特解为 1)0(y暨南大学珠海学院例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu那么yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为恣意常数 )所求通解:暨南大学珠海学院练习练习:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分别变量分别变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有ueu1积分Cxeuu1dCxeu

8、u)1 (ln( C 为恣意常数 )所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (暨南大学珠海学院例例4. 子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据题意根据题意, 有有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分别变量, MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始条件, 得0MC 故所求铀的变化规律为.0teMMM0Mto然后积分:td)(知 t = 0 时铀的含量为知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原暨南大学珠海学院例例5.成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分别

9、变量,mtvkmgvdd然后积分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件, 得)(ln1gmkC代入上式后化简, 得特解并设降落伞分开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,)1 (tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. kmgv t 足够大时暨南大学珠海学院2、齐次方程、齐次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程 .令,xyu ,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分, 得xxuuud)(d积分后再用xy替代 u, 便得原方程的通解.解法:分别变量: 暨南大

10、学珠海学院例例1. 解微分方程解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分别变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为xCxysin( 当当 C = 0 时时, y = 0 也是方程的解也是方程的解)( C 为恣意常数 )暨南大学珠海学院例例2. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解: :,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令那么有22uuuxu分别变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux

11、 )1(yCxyx)(阐明阐明: 显然显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解也是原方程的解, 但在但在(C 为恣意常数)求解过程中丧失了. 暨南大学珠海学院3、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程一阶线性微分方程规范方式:)()(ddxQyxPxy假设 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy假设 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .1. 解齐次方程分别变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程 ;暨南大学珠海学院对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2. 解非齐次方程)()(ddxQy

12、xPxy用常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy那么xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得暨南大学珠海学院例例1. 解方程解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常数变易法求特解. 令,) 1()(2xxuy那么) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1(

13、xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1(暨南大学珠海学院4、伯努利、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的规范方式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)暨南大学珠海学院例例4. 求方程求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令令,1 yz那么方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez 将1 yz1)ln(

14、22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 暨南大学珠海学院一、可降阶高阶微分方程一、可降阶高阶微分方程 第七章 二、线性微分方程解的构造二、线性微分方程解的构造第二节第二节暨南大学珠海学院一、 可降阶的高阶微分方程 1、 型的微分方程2、 型的微分方程3、 型的微分方程)()(xfyn ),( yxfy ),( yyfy 暨南大学珠海学院1、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次经过 n 次积分, 可得含 n

15、 个恣意常数的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 一、可降阶高阶微分方程一、可降阶高阶微分方程 暨南大学珠海学院例例1. .cos2xeyx 求解解解: 12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC暨南大学珠海学院),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp那么得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy2、暨南大学珠海学院例例2. 求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 x

16、y解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分别变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为暨南大学珠海学院3、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分别变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCyy暨南大学珠海学院例例3. 求解求解.02 yyy代入方程得,0dd2 py

17、ppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xCeCy12解解:),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd暨南大学珠海学院例例4. 解初值问题解初值问题解解: 令令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 则代入方程得yeppydd2积分得1221221Cepy利用初始条件, 0100 xyyp, 01C得根据yepxydd积分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解为xey1得暨南大学珠海学院为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例例4.)0()(xxy设函数二阶可导,

18、 且, 0)( xy)(xyy 过曲线上任一点 P(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,1S区间 0, x 上以,2S记为)(xy, 1221 SS且)(xyy 求解解:, 0)(, 1)0(xyy因为. 0)(xy所以于是cot2121yS yy222S)(xyy 设曲线在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 ., 1)0(y积记为( 99 考研考研 )ttySxd)(02Pxy1S1oyx暨南大学珠海学院再利用 y (0) = 1 得利用,1221SS得xttyyy021d)(两边对 x 求导, 得2)( yyy 定解条件为)0(, 1)0(yy),(ypy 令方程化为

19、,ddyppy 则yyppdd,1yCp 解得利用定解条件得,11C, yy 再解得,2xeCy , 12C故所求曲线方程为xey 2ddpyppy12SPxy1S1oyx暨南大学珠海学院二、二、 高阶线性微分方程高阶线性微分方程 解的构造解的构造 1、二阶线性微分方程、二阶线性微分方程 第七章 暨南大学珠海学院的方程，叫二阶线性微分方程。的方程，叫二阶线性微分方程。)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程的方程，叫的方程，叫 n n 阶线性微分方程。阶线性微

20、分方程。).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 1 1、二阶线性微分方程的概念、二阶线性微分方程的概念形如形如普通地，形如普通地，形如二、 高阶线性微分方程解的构造 暨南大学珠海学院 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕2、线性齐次方程解的构造、线性齐次方程解的构造)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (叠加原理) )()(2211xyCxyCy

21、则),(21为任意常数CC定理定理1.暨南大学珠海学院阐明阐明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy那么为处理通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 暨南大学珠海学院定义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数,21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211那么称这 n个函数在 I 上线性相关, 否那么称为线性无关.例如， ,sin,cos,122xx

22、在( , )上都有0sincos122xx故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，,12xx假设在某区间 I 上,02321xkxkk那么根据二次多项式至多只需两个零点 ,321,kkk必需全为 0 ,可见2,1xx故在任何区间 I 上都 线性无关.假设存在不全为 0 的常数暨南大学珠海学院两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:)(),(21xyxy线性相关存在不全为 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数思索思索:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0, 那么)(

23、),(21xyxy必线性相关相关0)()()()(2121xyxyxyxy(证明略)21, yy可微函数线性无关暨南大学珠海学院定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 那么)()(2211xyCxyCy数) 是该方程的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21推论推论. nyyy,21若是 n 阶齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 个线性无关解, 那么方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y为任意常21,(CC暨南大

24、学珠海学院3、线性非齐次方程解的构造、线性非齐次方程解的构造 )(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 那么是非齐次方程的通解 .证证: 将将)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ暨南大学珠海学院)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立恣意常数,例如例如, 方程方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方

25、程的通解为xxCxCysincos21证毕因此 也是通解 .暨南大学珠海学院定理定理 4.), ,2, 1()(nkxyk设分别是方程的特解,是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1则)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推行到 n 阶线性非齐次方程. 暨南大学珠海学院定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的 n 个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyx

26、Y)(* xy是非齐次方程的特解, 那么非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解暨南大学珠海学院常数, 那么该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是恣意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)3322311)()()(yyyCyyCC(89 考研考研 )3322311)()()(yyyCyyCD暨南大学珠

27、海学院例例4. 知微分方程知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解, 且xexeyyyyxx21312常数因此线性无关, 故原方程通解为)()(221xeCxeCyxxx代入初始条件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解为有三 暨南大学珠海学院第三节常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程 第七章 暨南大学珠海学院二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子,代入得0)(2xre q

28、prr02qrpr称为微分方程的特征方程,1. 当042qp时, 有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解为xrxreCeCy2121( r 为待定常数 ),xrer函数为常数时因为,所以令的解为 那么微分其根称为特征根.暨南大学珠海学院2. 当042qp时, 特征方程有两个相等实根21rr 那么微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 那么得,12xrexy 因此原方程的通解为xrexCCy1)

29、(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru暨南大学珠海学院3. 当042qp时, 特征方程有一对共轭复根irir21,这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx暨南大学珠海学院总结总结:),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)

30、(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解以上结论可推行到高阶常系数线性微分方程 .二阶常系数齐次线性微分方程:暨南大学珠海学院假设特征方程含 k 反复根,ir假设特征方程含 k 重实根 r , 那么其通解中必含对应项xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk那么其通解中必含对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推行推行: :暨南大学珠海学院例例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程特征方程, 0322rr特征

31、根:,3,121rr因此原方程的通解为xxeCeCy321例例2. 求解初值问题求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为tets)24(22C暨南大学珠海学院第四节 第七章 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、暨南大学珠海学院)(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的构造定理 , 其通解为Yy *y非齐次方

32、程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊方式 ,*y给出特解的待定方式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法暨南大学珠海学院( )( )xmf xePx 型型那么有形如的特解，其中其中 为实数 ,)(xPm为 m 次多项式 .此结论可推行到高阶常系数线性微分方程 .当 是特征方程的 k 重根 时, k=0,1,2一、一、 *( )kxmyx Qx e( ) xmypyqyeP x待定多项式 .( )mQx为 m 次对非齐次方程暨南大学珠海学院例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解: 此题此题而特征方程为,0322 rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0暨南大学珠海学院例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 此题此题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解