定积分的应用c

1、S F01（数）Ch 10定积分的应用计划课时：8时129Ch 10定积分的应用(8 时)1 平面图形的面积(2 时)直角坐标系下平面图形的面积1.简单图形：X-型和Y-型平面图形2.简单图形的面积：给出X-型和Y-型平面图形的面积公式.对由曲线F(x, y) =0和G(x, y) =0围成的所谓“两线型”图形，介绍面积计算步骤.注意利用图形的几何特征简化计算.(参阅4P232 240 E86 93 )例 1 求由曲线xy=1, x-y=0, x =2围成的平面图形的面积.例 2 求由抛物线y2二x与直线x-2y-3 = 0所围平面图形的面积.32(1P338 E1 及图11 - 2,)33.

2、参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间a,b上的曲边梯形的曲边由方程x=(t), y=y(t),：罕乞一C)二a,给出.又设(t)0,就有(t)/ ,于是存在反函数t (x).由此得曲边的显式方程y(t)=y (X), X a,b.b-S|y x)|dx|y(t)| (t)dt,130pp亦即S二|y|dx二|y(t)|d (t).aa具体计算时常利用图形的几何特征例3求由摆线x=a(t-sint), y = a (1 -cost) (a . 0)的一拱与X轴所围(：-)所围“曲边扇形”的面积公式(简介微元法，并用微元法推导公式 .半径12为r,顶角为.心的扇形面积为 丄r2门.)2Ar2U)d

3、n.2:例4求由双纽线r2=a2cos2n所围平面图形的面积.解cos2,一0,：一，一 或.(可见图形夹在过极点，倾角_ 4 4 .H44为的两条直线之间)以-V 代二方程不变，= 图形关于X轴对称；以二-二4代二,方程不变，= 图形关于Y轴对称(参阅1P340 图11-6)142A = 4 a cosd -20平面图形的面积(P338 E2 ,3 二a2)极坐标下平面图形的面积:推导由曲线r二r(v)和射线-?,-因此1312 已知幕势立体的体积(2 时)已知幕势立体的体积：设立体之幕为A(x),xa,b.推导出该立体之b体积V = A(x)dx.a祖暅原理：夫幕势即同，则积不容异.(祖暅

4、系祖冲之之子，齐梁时人，大约在五世纪下半叶到六世纪初)例 1 求由两个圆柱面x2亠y2= a2和x2z2= a2所围立体体积1631P342 E1(a)32 2 2例 2 计算由椭球面冷莒二=1所围立体(椭球)的体积.a b c41P342 E2(abc)3:.旋转体的体积：定义旋转体并推导出体积公式bV=- f2(x)dx.a例 3 推导高为h,底面半径为r的正圆锥体体积公式例 4 求由曲线x-y2=0和x-y=O所围平面图形绕X轴旋转所得立体体积例 5 求由圆x2 (y -20)2乞25绕X轴一周所得旋转体体积.(1000 二2)例 6D : y , x =0,X轴正半轴.D绕X轴旋转.求

5、所得旋转体体积1323 曲线的弧长( (1 时) )一.弧长的定义：定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲，即用折线总长的极限定义弧长.可求长曲线.133弧长计算公式：光滑曲线的弧长设L: x =(t),y二y(t)，:r 匕一又A O , VO , B C) , yC ),(t)和y(t)在区间：,订上连续可导且2(t) y2(t0.则L上以A和B为端点 的弧段的弧长为P _s.(t)2y (t)2dt.a为证明这一公式，先证以下不等式：对-a, b, R,有| .a2b2- a2c2|岂|b -c|,Ch 1 1EX第 5 题(P4).其几何意义是：在以点(a,b),(a,c)和(0,0)为

6、顶点的三角形中，两边之差不超过第三边 事实上,为证求弧长公式，在折线总长表达式中，先用 Lagrange 中值定理，然后对式v7,2(M+yH2(-*)插项进行估计.参阅1P347.如果曲线方程为极坐标形式r二r(J),二 ，J, rp)连续可导，则可写出其参数方程x二r(cosr, y二r(r)sin于是P _ P _ p)2y p)2 .、r2( r2(巧在.aot4 旋转曲面的面积( (1 时)用微元法推出旋转曲面的面积公式2 2 | . a2b2- . a2c2|二| c |Va2 2 2 2|b - c K，|b - c2b2.a2c2|b|c| |b c|L|b-c|.134b_曲线方程为y = f (x), x a,b时，