习题课3-高阶导数与微分ppt课件

1、(Advanced Mathematics) M yz x0 导数与微分导数与微分习题课习题课()()高阶导数与微分高阶导数与微分导数与微分导数与微分 导导数数定定义义几何意义几何意义可导性与连续性的关系可导性与连续性的关系)( 0 xfk 切线斜率切线斜率),( 0 xf 左导数左导数导数存在的充要条件导数存在的充要条件)( 0 xf 右导数右导数连续连续可导可导 求求微微分分一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性可导与微分的关系可导与微分的关系xxfyd)( d0 可微可微可导可导 微微分分uufyd)( d 导数与微分导数与微分按定义求导按定义求导 求导数方法求导数方法基本公式基本公式四四

2、则则运运算算法法则则莱布尼兹公式莱布尼兹公式高阶导数高阶导数 复合函数求导复合函数求导反函数求导反函数求导参数方程求导参数方程求导隐函数隐函数, 对数法求导对数法求导 导数与微分导数与微分已知已知f(x)在在x=a处可导，试求下列各式：处可导，试求下列各式：xafxafx)()3(lim0 xxafxafx)3()2(lim0练习练习 1 1hhafhafh)()(lim220)(3af )(5af 0导数与微分导数与微分.,)0, 0()( 22dxydyxxyxfyyx求所确定由方程设函数解解 两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx ,lnln xxyy 即即, 1ln)ln1( xy

3、y,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy练习练习 2 2导数与微分导数与微分.,)(sincosyxxyx 求求设设解解xxxysinlncoslnln xxxxxxyysincoscossinlnsin1 )sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxyx 练习练习 3 3练习练习 4 4处的切线方程。所确定的曲线在由参数方程求00112 tytetxy导数与微分导数与微分解解第二个方程两边同时对t求导,得到, 0yyteeyy所以，.1yyteey利用参数方程的求导法则，) 1, 1

4、,0(21000yxtexydxdyttdtdxdtdyt时导数与微分导数与微分于是切线方程是：. ) 1(211xey).( )(),(),()(xyufxefyx均可微，求其中练习练习 5 5解解).()()()()(xeefxyxx注注有什么区别？与)()( xfxy 证明曲线证明曲线)0(323232aayx处切线在两坐标轴之间的线段为定长处切线在两坐标轴之间的线段为定长.上任意点上任意点练习练习 6 6导数与微分导数与微分tttattadxdytaytaxtan)sin(cos3cossin3,sincos2233则参数方程证：将所给方程改写为)cos(tansin030030tax

5、ttayt 处处的的切切线线方方程程得得为得切线在两轴截距，令为得切线在两轴截距，令002003sincossinsin, 0tattataYxT 0cos, 0 taXyT 同同理理前往前往导数与微分导数与微分atataYXTT 202022)sin()cos(切线在两轴间线段长为切线在两轴间线段长为:导数与微分导数与微分BB导数与微分导数与微分（二）（二） 计算题计算题1 求下列函数的导数：求下列函数的导数：211sec)()xyx2)xeyx211)lnsecln()yxx2212sec)1ln(tansecxxxxxxyy 12sec)1ln(tansec)1(22sec2xxxxxx

6、xyx 解解 2)(ln)xxexeyxexx 导数与微分导数与微分,2yyx 4 设设232)(xxu dudy求求，为可导函数，且满足为可导函数，且满足设设12)1()1(lim)( 50 xxffxfx处的切线斜率。处的切线斜率。，在点在点求曲线求曲线)1(1()(fxfy 处处的的切切线线方方程程在在求求曲曲线线1262 tttytext导数与微分导数与微分, . 42yyx 由由232)(xxu dudxdxdydudy ,2求求导导两两边边同同时时对对将将xyyx yyy 21121 yy,)(232求求导导两两边边同同时时对对将将uxxu )2()(231212uuxxxxx 2

7、12)(12(231xxxxu 212)(12)(12(32xxxydudy 前往前往导数与微分导数与微分.)12()(23)(,12,)12(2122322dxxxxduxxuydxdydyydxyyx 得得由由解解得得得得由由或或.)12()(12(32 )12()(2312212212 xxxydxxxxydxdudy导数与微分导数与微分，由由12)1()1(lim. 50 xxffx，而而1)1(21)1()1(lim212)1()1(lim00 fxfxfxxffxx. 2)1(1()( 为为处的切线斜率处的切线斜率，在点在点曲线曲线fxfy，时，时，当当31 yext 22. 6t