插值法-第二次程序题

1、插值法题目1：对Runge函数在区间-1,1作下列插值逼近，并和R(x)的图像进行比较，并对结果进行分析。(1)用等距节点绘出它的20次Newton插值多项式的图像。(2)用节点，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。(3)用等距节点绘出它的分段线性插值函数的图像。(4)用等距节点绘出它的三次自然样条插值函数的图像。程序及分析：(1) 用等距节点绘出它的20次Newton插值多项式的图像。Matlab程序如下：%计算均差x=-1:0.1:1;n=length(x);syms zfor i=1:n y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);endN=zeros(n,n); N(:,

2、1)=y' for j=2:n for k=j:n N(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1)/(x(k)-x(k-j+1); end end for t=1:nc(t)=N(t,t)end%构造插值多项式f=N(1,1); for k=2:n a=1; for r=1:(k-1) a=a*(z-x(r); end f=f+N(k,k)*a; end%作图a=-1:0.001:1;n=length(a);for i=1:n b(i)=1/(1+25*a(i)*a(i);endfx=subs(f,z,a);subplot(2,1,1);plot(a,b,'k'

3、,a,fx,'r');c=-0.6:0.001:0.6;n=length(c);for i=1:n d(i)=1/(1+25*c(i)*c(i);endfx=subs(f,z,c);subplot(2,1,2);plot(c,d,'k',c,fx,'r');结果与分析：由下图可以看出，在区间-0.6,0.6上，插值多项式可以很好的逼近被插值函数。而在边界附近，插值多项式与被插值函数的差别很大。即出现了Runge现象。主要原因是被插值函数的任意阶导数不能达到一致有界。其插值余项不趋近零。插值多项式不能收敛到被插值函数。Runge函数插值多项式(2)

4、 用节点，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。Matlab程序如下：clear;%插值点for i=1:21 x(i)=cos(2*(i-1)+1)*pi/42);endn=length(x);for i=1:n y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);end%构造插值基函数syms z;temp=1;for i=1:n lx=1; for j=1:n if i=j temp=(z-x(j)/(x(i)-x(j); lx=lx*temp; end end l(i)=lx;end%插值多项式l=l'L=y*l;%作图a=-1:0.01:1;n=length(a);for

5、 i=1:n b(i)=1/(1+25*a(i)*a(i);endfx=subs(L,z,a);subplot(2,1,1);plot(a,b,'k',a,fx,'x r');结果与分析：Runge函数XL插值多项式Runge函数XL插值多项式Newton插值多项式如下图所示，使用Chebyshev多项式零点构造的Lagrange插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。主要原因是其多项式误差为。(3)用等距节点绘出它的分段线性插值函数的图像。Matlab程序如下：clc;clear;x=-1:0.1:1;n=length(x);syms zfor i=

6、1:n y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);end%构造分段线性插值多项式for i=1:n-1 l(i)=(z-x(i+1)/(x(i)-x(i+1)*y(i)+(z-x(i)/(x(i+1)-x(i)*y(i+1)% l(i)=y(i)+(y(i+1)-y(i)/(x(i+1)-x(i)*(z-x(i)end%作图for i=1:n-1 a=x(i):0.01:x(i+1); f=subs(l(i),z,a) plot(a,f,'k') hold onend结果与分析：如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。.分段线性Runge函数利

7、用线性插值多项式的误差估计：(4)用等距节点绘出它的三次自然样条插值函数的图像。Matlab程序如下：clc;clear;x=-1:0.1:1;n=length(x);syms z;for i=1:n y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);endfor i=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);endfor i=1:n-2u(i)=h(i)/(h(i+1)+h(i);r(i)=1-u(i);endG=zeros(n,n);for i=1:n G(i,i)=2;endfor i=2:n-1 G(i,i-1)=u(i-1); G(i,i+1)=r(i-1);endG(n,n-1)=1

8、;G(1,2)=1;d=zeros(1,n);for i=2:n-1 d(i)=6*(y(i+1)-y(i)/h(i)-(y(i)-y(i-1)/h(i-1)/(h(i)+h(i-1);endsyms u v;u=diff(1/(1+25*v*v),v);a=subs(u,v,x(1);b=subs(u,v,x(n);d(1)=(y(2)-y(1)/h(1)-a)/h(1)*6;d(n)=(b-(y(n)-y(n-1)/h(n-1)/h(n-1)*6;d=d'M=inv(G)*d;for i=1:n-1 s(i)=M(i)*(x(i+1)-z)3/0.6+M(i+1)*(z-x(i)3

9、/0.6+(y(i)-M(i)*0.01/6)*(x(i+1)-z)/0.1+(y(i+1)-M(i+1)*0.01/6)*(z-x(i)/0.1;endfor i=1:n-1 a=x(i):0.01:x(i+1); f=subs(s(i),z,a); plot(a,f,'x r') hold onend结果与分析：三次样条插值函数得到的图像如下：可以看出，三次样条插值函数的曲线及其光滑。得到的函数十分接近被插值函数。XXXXRunge函数三次样条题目2：对函数：在区间-1,1作下列插值逼近，并和被插值函数的图像进行比较，并对结果进行分析。(1)用等距节点绘出它的20次Newt

10、on插值多项式的图像。(2)用节点，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。(3)用等距节点绘出它的分段线性插值函数的图像。(4)用等距节点绘出它的三次自然样条插值函数的图像。程序及分析：(1)用等距节点绘出它的20次Newton插值多项式的图像。Matlab程序如下：clc;clear;%计算均差x=-1:0.1:1;n=length(x);syms z;y=zeros(1,n)for i=1:10 y(i)=sin(pi*x(i);endfor i=11:15 y(i)=cos(pi*x(i);endfor i=15:n y(i)=0;endN=zeros(n,n); N(:,1)

11、=y' for j=2:n for k=j:n N(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1)/(x(k)-x(k-j+1); end end for t=1:nc(t)=N(t,t);end%构造插值多项式f=N(1,1); for k=2:n a=1; for r=1:(k-1) a=a*(z-x(r); end f=f+N(k,k)*a; end%作图v=linspace(-1,0,50);u=sin(pi*v);plot(v,u,'k')hold onv=linspace(0,0.5,25);u=cos(pi*v);plot(v,u,'k'

12、;)hold onv=linspace(0.5,1,10000);u=0;plot(v,u,'k')hold ona=-1:0.001:1;fx=subs(f,z,a);plot(a,fx,'r');结果与分析：见下图被插值函数插值多项式等距节点20次Newton插值得到的函数图像如下：可以看出，在整个区间上，插值多项式精度都不是很高。出现了Runge现象。被插值函数插值多项式(2)用节点，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。Matlab程序如下：clc;clear;%求插值节点for i=1:21 x(i)=cos(2*(i-1)+1)*pi/42

13、);endn=length(x);y=zeros(1,n);for i=1:n if x(i)<0 y(i)=sin(pi*x(i); elseif x(i)>0.5 y(i)=0; else y(i)=cos(pi*x(i); endend%插值基函数syms z;temp=1;for i=1:n lx=1; for j=1:n if i=j temp=(z-x(j)/(x(i)-x(j); lx=lx*temp; end end l(i)=lx;end%插值多项式l=l'L=y*l;%作图a=-1:0.01:1;fx=subs(L,z,a);plot(a,fx,'

14、;x r');结果与分析：被插值函数插值多项式如下图所示，使用Chebyshev多项式零点构造的Lagrange插值多项式比Newton插值多项式接近原函数，没有出现Runge现象。(3)用等距节点绘出它的分段线性插值函数的图像。Matlab程序如下：clc;clear;x=-1:0.1:1;n=length(x);syms z;for i=1:10 y(i)=sin(pi*x(i);endfor i=11:15 y(i)=cos(pi*x(i);endfor i=15:n y(i)=0;end%构造插值多项式for i=1:n-1 l(i)=(z-x(i+1)/(x(i)-x(i+1

15、)*y(i)+(z-x(i)/(x(i+1)-x(i)*y(i+1);% l(i)=y(i)+(y(i+1)-y(i)/(x(i+1)-x(i)*(z-x(i);end%作图for i=1:n-1 a=x(i):0.01:x(i+1); f=subs(l(i),z,a); plot(a,f,'x r') hold onend结果与分析：如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。但是在间断点处及导数不存在的点误差较大。主要是因为这些地方构造的线性函数斜率较大，不能较好的趋近原函数。被插值函数插值多项式(4)用等距节点绘出它的三次自然样条插值函数的图像。

16、Matlab程序如下：clc;clear;x=-1:0.1:1;n=length(x);syms zfor i=1:10 y(i)=sin(pi*x(i);endfor i=11:15 y(i)=cos(pi*x(i);endfor i=15:n y(i)=0;end for i=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);endfor i=1:n-2u(i)=h(i)/(h(i+1)+h(i);r(i)=1-u(i);endG=zeros(n,n);for i=1:n G(i,i)=2;endfor i=2:n-1 G(i,i-1)=u(i-1); G(i,i+1)=r(i-1);endG(n,n-1)=1;G(1,2)=1;d=zeros(1,n);for i=2:n-1 d(i)=6*(y(i+1)-y(i)/h(i)-(y(i)-y(i-1)/h(i-1)/(h(i)+h(i-1);endsyms u v;u=diff(sin(pi*v),v);a=subs(u,v,x(1);b=0;d(1)=(y(2)-y(1)/h(1)-a)/h(1)*6;d(n)=(b-(y(n)-y(n-1)/h(n-1)/h(n-1)*6;d=d'M=inv(G)*d;for i=