关于置信区间与假设检验的研究

1、关于置信区间与假设检验的研究摘要：关于置信区间与假设检验的问题主要从以下几个方面进行研究:定义，解决方法，在实际问题中的应用以及二者的区别与联系等。其中引入了许多数理统计中的思想，对解决实际问题有很大帮助。关键词：置信区间；假设检验；正态总体AboutconfidenceintervalandhypothesistestresearchAbstract:Aboutconfidenceintervalandhypothesistestingproblemsmainlyfromthefollowingaspects:definition,thesolutionactualproblem,inthe

2、applicationandthedifferenceandrelationship,etc.Theintroducedmanymathematicalstatisticsofthethought,tosolvepracticalproblemsareofgreathelp.Keywords:confidenceinterval;hypothesistesting;normalpopulation一.引言置信区间与假设检验是统计推断的两类重要问题，在解决实际问题时都有着广泛的应用，二者既有区别又有联系，本文就置信区间与假设检验这两个问题进行探究，从而了解二者如何解决统计方面的问题，并简单归纳总

3、结二者的区别与联系。二.研究问题及成果1置信区间1.1 定义置信区间设总体X的分布函数F工历含有一个未知善数仇&We（0是§可能取值的范围人对于给定值.evoj）.若由来自x的样本&及，1X囊确定的两个统计量8=人X.，"，XC和占=（Xj.XjL,尤）C6力，对于任克GEg满足P但X，与，尤）0夕（Xi,X£L,X”1-G则称障机区间2,勿是6的置信水平为1一口的置信区间述和3分别称为置信水平为1一次的双侧置信区间的置信下限和置信上限门一口忤为置信水平/（注：置信区间的长度？2?反映了估11精度，？Q?越小，估计精度越高；反映了估计的可靠度，越小

4、，越可靠，越小，1-越大，估计的可靠度越高，但这时，?.?往往增大，因而估计精度降低确定后，置信区间的选取方法不唯一，常选最小的一个）P弘X1，XsTt)VX灰X1XQ>1口若反复抽样多次（各次得到的样本的容量相等学都是包含夕的真值（如 图 a 所 示）界）.每个样本值确定一个区间（内护,每个这徉的区间要么笆含&的真值，要么不）按伯努利大数定理，在这么多的区间中，包含J真值的约占1。0（1一浦,不包含8真值的约仅占100以.(a)1.2 利用枢轴量法求置信区间是待估参数？和统计量？；的函数不含其他未知函数服从与未知参数无关的已知分布服从以上三条性质的量Q称为枢轴量(或主元)利用枢

5、轴量法求置信区间的步骤根据待估参数构造枢轴量Q一般可由未知参数的极大似然估计量改造得到对于给定的置信水平1-?利用卞E轴量Q的分布的上分位点求出常数a,b,使巴&WCX-X/七2)；圻=1-幻(置信区间短表示估计的精度高|,比如像N(%1)分布那样其概率密度的图形是单峰且对称的情况,当什固定时.取a,b分别为Q的上1-?/?上？?/?分位点估计的精度最高。)利用不等式的恒等变形，将中不等式变形即可得到置信区间卬招)1.3 正咨Q体吃第与方工的区M估计1.4 .1单个总体的情况（1）二6方差,，一枢轴量Q=MTN9,”,则置信度为1-?勺置信区间为设总体X-N5，。，#为已知为未知.设M

6、.片，.JC是来自X的样本求的置信水平为1”我的置信区间因为X是岸的无偏估讥且注所以由标准正态分布的上口分位点的定义有（见图b）I<|*i-fly I cr/n图（b）标准正态分布的双侧？分位点Fj冗一言上<71vR-4再由置信区间定义可知,X-亍）即为所求均值？?勺置信度为1-?酌置信区间，常写成例：已知某种灯泡的寿命X（单位：小时）服从正态分布N（月）.现从这批灯泡中取10个，测得其寿命分别为1050110010801120120012501040113013001200若？?=?试求期望？酌置信区间。解：由样本得？=1147,n=10,?0.05,查表得？羯?=?.?=1.9

7、6.由于?氾知，故？酌置信区间为±丁二力,即 1147+ ?即（1145.25,1148.75）为所求置信区间方差,为未知分co*1>由于？?朱知，故考虑到？?谑?怕无偏估计，将'中的c)皿舟q一0皿X飞使用"作为枢轴量可得益仃换成5-/6,则5/标，S,，仃（参见图图（c）t分布的双侧？分位点即叩-亲小1-卜i,s于是得闪的一个置信水平为L-。的置信区间6±帚淬57，）例.'：I.506508499503504510497512514505493496506502509496涉缓装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值六的置信水平为0.

8、95的置信区间.解这里1一上=。.95，“2=。.025,打一1=15,加厘（15）=2.1315,由给出的数据算得五=503.75仆一6.2022.由任士;？,4一”）式820221得均值*的一个置信水平为0.95的置信区间为（就工丁台土二宿人2.Bln）C500-4*507,D（2）方差？?的置信区间(1均值？妇知取枢轴量Q=里=?)?g由概率p?%?蒙)<E?=?y?)?<?*?)1-?导2的置信度为1-?得？?的置信度为1-?勺置信区间为买?-?)?*?)?？?c?)?公均值？未知因为,的无偏估计为空，宁£父,取三萼作为枢轴量即得(参见图d)卜1价*麻)图(d)?

9、分布的双侧？分位点这就得到方差的一个置信水平为1一口的置信区间蟠式以7)*好-、11)还可得到标淮差。的一个置信水平为1一口的置信区间I1S,，v二巨_冰履1)L例.求例3中总体标准差#的置信水平为0.95的置信区间.解现在，2=。.025,1“2=0.9K.K-1=1，笠表得zj(15)=27.4&U涡野“15)=6.2麓，爻e=6.2。2"由C5.8)式得所求的标港差口的一个置信水平为695的置信区间为458yg,60)1.3.2一一一（?3?？?）为取自总体N（?的样本，（？?？?）为取自总体N（?的的样本，?粉别表示两样本的均值与方差，置信度为1-?两个总体均值差加一

10、分的置信区间因x.y分别为u1邛工的无偏估计,故xy是户I壮*的无偏估计.由K*的独立性以及XNJtwfAr/lM（加能/小）得一Y之NYM)/STTZ取其；-'|.11:一.89_2。;，贫均为未知，但/一房=(XY)(«i-.玲、_f片-E(*1卜小一2)此时取.1'.；间为（乂一丫士£.岸（小十叫一？）£,/，+工此处_ (« 1 )Sf + ( Zij 1 )S|3 二=Hi 1航，局均为未知，但m, n<50则啰+嗯%嗯+ ?!?(?-?)-(? ?与_?+ ?N(0,1)因为？相互独立，因此？?-?刎置信区间为(?-?)

11、+?吟+?位均为未知，但n=m令？?=?=?i=1,2，n,可以将它们看成来自正态总体ZN(?寸?？?+?豁的样本?=?-?泠急阴田?3?-(?-?)?仿单个正态总体公式力誓?-?黑?+勺?-?居?此时？?-?羽置信区间为(?+?(?-?笥(2)两个总体方差比城的置信区间在总体均值由均为未知的情况下,SUSI寸1j厘”届FEi-。-1)并且分布F(的一1,个一1)不依赖任何未知参数,取学笠为枢轴量得Q/ffZP(Fjje(为-1)V''J/<乙"("1-1)=1境St14nf1>甚&5；巴.小(七一1.通一15/于是得病/房的一个置信水平

12、为1一(：的置信区间为Sj ( 72 ；1，通1)'S： F1.4 非正态总体均值的区间估计若总体X的分布未知，但样本容量很大，由中心极限定理，可近似地视X?若?氾知，则？酌置信度为1-?的置信区间可取为?+受?若？?朱知，则？酌置信度为1-?勺置信区间可取为？?+?此？?/？1.5 单勺帽信区回对于给定值MOV崖41）.若由样本M,阳，r确定的疣计量9*以M，Xq”，X.）,对于任意满足P£>g、l1称随机区间（8,8）是"的置信水平为1一口的单fflf置信区间，。称为6的置信水平为1一总的单蒯置信下限."又若统计量ff=6<Xi,刈，

13、63;）,对于任意8£满足尸（8</；>1一口，称随机区间（一厘金）是6的置信水平为1一口的单他詈值区间不祢为。的卷信水平为1-0的单翎X值上Ek例：从一批灯泡中随机地取5只作寿命试验，测得寿命（以h计）为105。1100112012501280设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的单恻置信下限.解1（r=0.95"=5.-l）-=fffas（4）=2F1318t2=ll$Otja=9950.所求单侧置信下限为|上=三一曰1)=1065.,、友2假设检验2.1 定义假设检验是推论统计的重要内容，是先对总体的未知数量特征作出某种假设，然后抽

14、取样本，利用样本信息对假设的正确性进行判断的过程。2.2 基本思想小概率反证法思想。小概率思想是指小概率事件（P<0.01或P<0.05）在一次试验中基本上不会发生。反证法思想是先提出假设（检验假设H0）,再用适当的统计方法确定假设成立的可能性大小，如可能性小，则认为假设不成立，若可能性大，则还不能认为假设成立。2.3 特点第一，假设检验采用逻辑上的反证法，即为了检验一个假设是否成立，首先假设它是真的，然后对样本进行观察，如果发现出现了不合理现象，则可以认为假设是不合理的，拒绝假设。否则可以认为假设是合理的，接受假设。第二，假设检验采用的反证法带有概率性质。所谓假设的不合理不是绝对

15、的，而是基于实践中广泛采用的小概率事件几乎不可能发生的原则。至于事件的概率小到什么程度才算是小概率事件，并没有统一的界定标准，而是必须根据具体问题而定。如果一旦判断失误，错误地拒绝原假设会造成巨大损失，那么拒绝原假设的概率就应定的小一些；如果一旦判断失误，错误地接受原假设会造成巨大损失，那么拒绝原假设的概率就应定的大一些。2.4 原假设和备择假设假设检验中，我们称作为检验对象的待检验假设为原假设或零假设，用H0表示。原假设的对立假设称为备择假设或备选假设，用H表不。2.5 两类错误第一类错误是原假设H0为真时，检验结果把它当成不真而拒绝了。犯这种错误的概率用口表示，也称作0c错误或弃真错误。第

16、二类错误是原假设H0不为真时，检验结果把它当成真而接受了犯这种错误的概率用B表示，也称作B错误或取伪错误2.6 显著性检验在确定检验法则时,我们应尽可能使犯两类错误的概率都较小.但是*一般来说，当样本容量固定时，若减少犯一类错误的概率，则犯另一类错误的概率往往增大.若要使犯两类错误的概率都减小，除非增加样本容旨,在给定样本容量的情况下，一般来说.我们总是控制犯第I类错误的概窣，使它不大于口a的大小视具体情况加定,通常口取0105.0,01*8005等值,这种只对犯第I类43课的概率加以控制，而不考虑犯第II类错误的概率的梅验，称为显著性检验.2.7 双侧检验和单侧检验根据假设的形式不同，假设检

17、验可以分为双侧假设检验和单侧假设检验。若原假设是总体参数等于某一数值，如H0:X=乂，即备择假设H:X丰X0,那么只要X<X0和X>X0二者中有一个成立，就可以否定原假设。这种假设检验称为双侧检验。若原假设是总体参数大于等于或小于等于某一数值，如H0:X>X0(即H:X<X0);或H0:X<X(即H:X>Xo),那么对于前者当X<X0时，对于后者当X>X0时，可以否定原假设。这种假设检验称为单侧检验。可以分为左侧检验和右侧检验。2.8 假设检验的步骤根据研究需要提出原假设H0和备择假设H确定适当的检验统计量确定显著性水平和临界值及拒绝域4根据样本

18、数据计算检验统计量的值将检验统计量值与临界值比较，作出拒绝或接受原假设的决策2.9 正态总体均值的假设检照2.9.1 总体均逗.由电的(1)-一."的”厂当原假设？K?=?戒立时有英?N(0,1)所以P|?>?i=?即P|?-?>?(?v?)=?所以拒绝域为|?-?A?(?苗即利用统计量Z=?箸朱确定拒绝域?v?(2)门,未知,关于六的检验0检验)根据定理篝?-?于是当原假设?=?喊立时有?了?-?所以如若?>?(?-?(?)=?所以拒绝域为|?-?41?例-?(?)以上检验法叫t检验法例：用某仪器间接测量温度，重复5次，测的结果分别为125012651245126

19、01275设测量值X服从正态分布，水平？=0.05.问是否有理由认为该仪器测量值大于1277°(真实值)解：？名?W?=1277,?>1227.因方差未知，用t检验法，这时拒绝域等?n?Z(n-1)?,储？其中n=5,?(n-1)=?4)=2.1384.由样本得？=1259,?=142.5代入可得?-3.372<2.1348因此接受？%即认为测量值不大于12772.9.2 ,设两个总体XN(p1,门2),YN(W2,(T22)相互独立，(X1,X2,Xn1)与(Y1,丫2,，Yn2)是分别来自X与Y的两个样本.=样本均值分别为：-,七一,呼二上(国L幻2将=上色也-丁样本

20、方差分别为：-1,-1方差 才、62未知，但 函2=/.选用统计量(X-Y)-A其中当H,为其时，其拒绝域的形式(/1一)S：十(小 一 1 LSj t Hi _ 2P（当门口为真拒匏"f=P叫一与5可得k=itfz（ni+n（2）,于是得拒绝域为|日一歹一力4，上十VHE例：/.,'1',")-'"I”(以cal/E计).测得以下的数据；方法 A： 79.98 80.04 80.0280.04 79.97 80.05方法 b； 80.02 79.94 79.9880.04 80,03 80,03EQ.C3 80. 02 80.00 80.

21、0279.97 79, 97 80, 03 79.95 7& 97设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体八，（外，/）和加，加，/均未知.试检验假设C取显著性水平施工0.。5）H。：尸l卅广、。，H：出一加解：口=13,5A=80.02,4=0.0Z4*啊=8.3a=79.9B,舄03*12Xd+7Xd_000717g&h-B&-U.UUUf1f«fJet=B=3.33>%式13+82)=1.729L,k13+1/8故拒维Hq,认为方法A比方法B侧得的融化热要大.293：-一一I-"2.9.3在相词的点件下做对比法验用到批成对的观察亮然后分析

22、观察数据作出推断这种方法常称为逐对比较法Qf A闪:*W) i= 1*2.*一般，设有舞对相互独立的观察结果N*，匕3m,），JK,13令口=苞一匕，。一加一吟。='.一匕，则口，D?.，D”相互独立,又由于an是由同一因素所引起的，可认为它们服从同一分布.今假设,的这就是说a.口，。构成正态总体n（严巾，/）的一个样本，其中未加,我们需霎基于这一样本检验便设fH（印H、；壮口于0、.1-1甲口AO；H中。VQ.分别记的样本均值和样本方差的观察值为牙，4.按表比1第2栏中关于单个正态息体均值的t检验知检验问题（D,（2）,（3）的拒地域分别为显著性水平为由）；-#几5-a；V"

23、;文户一L(施1)*d/例：做以下的实验以比较人对红光或绿光的反应时间（以S计.实验在点亮红光或绿光的同时，启动计时器，要求受试者见到红光或绿光点亮时，就按下按钮,切断计时器,这就能测得反应时间.测量的结果如下表；红光（M）0.30CL23庆41M53。,24。,360.380.51纯光（之0.430.320.580.460.270.410.38G.61i/=j：y-0.13-0.09-0.170.070.030.050.00-0.10设D=（£=1，2，泮）是来自正态思体网（回.曲）的样本3节，品均未知.试检脸假设（取显著性水平0=0.05）解现件H = 8 -五川欣凡r制)。&#

24、165;甲口V。.凡0625,“=0.0765而-2.311Vfg(7)n-!.894S.故拒绝H认为3口0,即认为人对红光的反应时间小于对绿光的反应时间，也就是人对红光的反应要比壕光快.2.10止否三休万:差的保设札：；2.10.1 单个总体的情况设总体X-N'S"）.J均未知,汉，.凡是来自X的样本.要求检验假设她著性水平为。）Ho：，=音，Ht，沪一为已知常数.当乩为真时甚力”1）取t_Cji-1>S2X品作为检验统计星上述检验问题的拒绝域具有以下的形式,1宜二江4岛或包三>二扁，此处白，岛的值由下式确定:P当H.为其拒绝儿.=畏（寸&|）u（W&g

25、t;3卜/为计算方便起见,习惘上取明”空。卜爹山十/卜7故得击尸亦-心心一口也二加式抬一力于是得拒绝域为J”式成但）2；（3（雅1）例：某厂生产的某种型号的电池,其寿命（以htT）长期以来服从方差J二5口。的正态分布,现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变.现随机取26只屯池，测出其寿命的样本方差产工9200.问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化（取&=0.02）?解本题要求在水平也=602下检验假设Hr，=5000,“JH5000.现在村=26,（界-1）=x1（25）=44.314,"一壮（25）一蛀驷（25）=1L524,房=50皿由1）式拒绝域为（制-1）餐41314或由观察值=9200得（