第六节：高斯公式-应用不要求ppt课件

1、第六节第六节 高斯公式高斯公式 一、高斯公式一、高斯公式 二、小结二、小结 思考题思考题一、高一、高 斯斯 公公 式式格林公式：格林公式： DLdxdyyPxQQdyPdx)(xy0D描述了在闭曲线描述了在闭曲线 L 上的曲线积分上的曲线积分与与 L所围闭区域所围闭区域 D 上的二重积分上的二重积分之间的关系。之间的关系。xyz0 在空间闭曲面在空间闭曲面 上，可以作上，可以作曲面积分曲面积分在在 所围空间闭区域所围空间闭区域 上，上，可以做三重积分可以做三重积分因此在因此在 上的曲面积分与在上的曲面积分与在 上的三重积分必存在某种联系。上的三重积分必存在某种联系。L设设 是由分片光滑的有向闭

2、曲面是由分片光滑的有向闭曲面 所围空间闭区域所围空间闭区域并假设并假设1用平行于用平行于 z 轴的直线穿越轴的直线穿越 的内部时，的内部时，与与 的边界曲面的边界曲面 交点恰好为两点。交点恰好为两点。 （2） 取外侧。取外侧。xyz0 的形状如图所示的形状如图所示 1 2 3 321 ),(:11yxzz 取下侧，取下侧，),(:22yxzz 取上侧，取上侧，:3 母线平行于母线平行于 z 轴的柱面，取外侧轴的柱面，取外侧又设又设 R (x , y , z) 在在 上具有上具有一阶连续偏导数。一阶连续偏导数。 在在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为xyDxyD),(:11yxzz 取下

3、侧，取下侧，),(:22yxzz 取上侧，取上侧，xyz0 1 2 3 xyD dxdyzyxR),( 1Rdxdy 2Rdxdy 3Rdxdy 1Rdxdy 2Rdxdy xyDdxdyyxzyxR),(,1 xyDdxdyyxzyxR),(,2 xyDyxzyxR),(,2dxdyyxzyxR),(,1 ),(:11yxzz 取下侧，取下侧，),(:22yxzz 取上侧，取上侧，xyz0 1 2 3 xyD Rdxdy xyDyxzyxR),(,2dxdyyxzyxR),(,1 dxdydzzR ),(),(21yxzyxzDdzzRdxdyxy xyDyxzyxR),(,2dxdyyxz

4、yxR),(,1 dxdydzzR dxdyzyxR),(假设假设1用平行于用平行于 z 轴的直线穿越轴的直线穿越 的内部时，的内部时，与与 的边界曲面的边界曲面 交点恰好为两点。交点恰好为两点。 （2） 取外侧。取外侧。（3R (x , y , z) 在在 上具有一阶连续偏导数。上具有一阶连续偏导数。 dxdydzzR dxdyzyxR),(同理，若用平行于同理，若用平行于 x 轴轴 和和 y 轴的直线穿越轴的直线穿越 的内部的内部时，与时，与 的边界曲面的边界曲面 交点恰好为两点。交点恰好为两点。 P (x , y , z)，Q (x , y, z) 在在 上具有一阶连续偏导数。上具有一阶

5、连续偏导数。 dxdydzxP, Pdydz dxdydzyQ, Qdzdx结论：结论：假设条件假设条件1用平行于用平行于 z 轴的直线穿越轴的直线穿越 的内部的内部时，与时，与 的边界曲面的边界曲面 交点恰好为两点。交点恰好为两点。 （2） 取外侧。取外侧。（3R (x , y , z) 在在 上具有一阶连续偏导数。上具有一阶连续偏导数。 dxdydzzR dxdyzyxR),( dxdydzxP, Pdydz dxdydzyQ, Qdzdx结论：结论：说明说明 1. 假设假设 不满足条件不满足条件1），则可类似于格林公），则可类似于格林公式的情形进行处理。式的情形进行处理。 2. 三式合并

6、即为三式合并即为 dxdydzzRyQxP)( RdxdyQdzdxPdydzP、Q、R 在在 上具有一阶连续偏导数，那么上具有一阶连续偏导数，那么 dxdydzzRyQxP)( RdxdyQdzdxPdydz定理定理 1: 设设 是由分片光滑的有向闭曲面是由分片光滑的有向闭曲面 所围空间所围空间闭区域，闭区域，其中，其中， 是是 的整个边界曲面，取外侧。的整个边界曲面，取外侧。)cos,cos,(cos n是与是与 的侧向一致的法向量的侧向一致的法向量的方向余弦，的方向余弦，记记则由两类曲面积分之间的关系，高斯公式又可写成则由两类曲面积分之间的关系，高斯公式又可写成 dxdydzzRyQxP

7、)( dSRQP)coscoscos( 高斯公式是计算第二类曲面积分的有效工具之一。高斯公式是计算第二类曲面积分的有效工具之一。例例1：计算：计算 dxdyzdzdxydydzxI222,)()()(:2222Rczbyax 取外侧。取外侧。解：分析：解：分析： 被积函数都是二次的，求偏导后变为一次被积函数都是二次的，求偏导后变为一次,2xP dxdydzzyxI)(2,2yQ ,2zR zRyQxP )(2zyx ,)()()(:2222Rczbyax ,axx 令令, byy , czz 那么那么, zdydxddxdydz ,:2222Rzyx zdydxdcbazyxI)(2例例1：计

8、算：计算 dxdyzdzdxydydzxI222,)()()(:2222Rczbyax 取外侧。取外侧。解：分析：解：分析： 被积函数都是二次的，求偏导后变为一次被积函数都是二次的，求偏导后变为一次,:2222Rzyx zdydxdcbazyxI)(2 zdydxdzyx)(2 zdydxdcba)(2由对称性知由对称性知0)( zdydxdzyx zdydxdcbaI)(2334)(2Rcba xyzoh 例例2：计算：计算 dSzyxI)coscoscos(222 其中其中 为锥面为锥面222yxz 介于平面介于平面 z = 0 及及 z = h （h 0之间部分的下侧。之间部分的下侧。)

9、cos,cos,(cos n是与是与 的侧向一致的法向量的方向余弦。的侧向一致的法向量的方向余弦。解：解：应用高斯公式时一定要注意条件应用高斯公式时一定要注意条件（1） 是分片光滑闭曲面是分片光滑闭曲面（2P、Q、R 在在 上具有一阶上具有一阶连续偏导数。连续偏导数。补充：补充：,:1hz ,222hyx 1 上侧上侧在在1 可以应用高斯公式。可以应用高斯公式。n例例2：计算：计算 dSzyxI)coscoscos(222 其中其中 为锥面为锥面222yxz 介于平面介于平面 z = 0 及及 z = h （h 0之间部分的下侧。之间部分的下侧。)cos,cos,(cos n是与是与 的侧向一

10、致的法向量的方向余弦。的侧向一致的法向量的方向余弦。解：解：xyzoh 1 在在1 可以应用高斯公式。可以应用高斯公式。 1)coscoscos(222dSzyxI 1)coscoscos(222dSzyx dxdydzzyx)(2n 12dSz)1 , 0 , 0( 例例2：计算：计算 dSzyxI)coscoscos(222 其中其中 为锥面为锥面222yxz 介于平面介于平面 z = 0 及及 z = h （h 0之间部分的下侧。之间部分的下侧。)cos,cos,(cos n是与是与 的侧向一致的法向量的方向余弦。的侧向一致的法向量的方向余弦。解：解：xyzoh 1 n dxdydzzy

11、xI)(2 12dSz)1 , 0 , 0( dxdydzyx)(2 zdxdydz2 12dSz zdxdydz2 12dSz zDhzdxdydz02zD 12dShz 例例2：计算：计算 dSzyxI)coscoscos(222 其中其中 为锥面为锥面222yxz 介于平面介于平面 z = 0 及及 z = h （h 0之间部分的下侧。之间部分的下侧。)cos,cos,(cos n是与是与 的侧向一致的法向量的方向余弦。的侧向一致的法向量的方向余弦。解：解： dxdydzzyxI)(2 12dSz zDhzdxdydz02 12dShxyzoh 1 n)1 , 0 , 0( zDz hd

12、zzz02)(2 的面积的面积12 h42h )(22hh 42h 本题所用方法俗称本题所用方法俗称 “封口法封口法”例例3：计算：计算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中取上侧。取上侧。解：解：xyz0 dxdyazxdydzaaI2)(1n1 补充：补充：, 0:1 z,222ayx 下侧下侧在在1 可以应用高斯公式。可以应用高斯公式。 12)(1dxdyazxdydzaaI 12)(1dxdyazxdydzaa dxdydzazaa)(21xyD222:ayxDxy xyDdxdyaa2)0(1 例例3：计算：计算 2222)(zyxdxdyazxd

13、ydzaI,:222yxaz 其中其中取上侧。取上侧。解：解： dxdyazxdydzaaI2)(1222:ayxDxy dxdydzazaa)(21 xyDdxdyaa2)0(1xyz0n1 xyD dxdydz3 dxdydzza23a 32 a ardrrdda0220sincos22 3a 23a 球面坐标球面坐标例例4：计算：计算 zdxdyrdzdxxrdydzyIlnln, 1:222222 czbyax其中其中取外侧，取外侧，解：解：xyz222zyxr 0分析：经计算可得分析：经计算可得1 zRyQxP故可考虑用高斯公式故可考虑用高斯公式问题：问题：P、Q 、R在在 内不连续

14、内不连续以原点为中心作一小球以原点为中心作一小球,:22221 zyx取内侧取内侧1 在在所围空间区域所围空间区域1 上上满足高斯公式的条件。满足高斯公式的条件。 1 例例4：计算：计算 zdxdyrdzdxxrdydzyIlnln, 1:222222 czbyax其中其中取外侧，取外侧，解：解：222zyxr 分析：经计算可得分析：经计算可得1 zRyQxPxyz0 1 1lnlnzdxdyrdzdxxrdydzyI 1lnlnzdxdyrdzdxxrdydzy 11 dxdydz 1lnlnzdxdydzdxxdydzy 23434 abc 1lnlnzdxdydzdxxdydzy 例例4

15、：计算：计算 zdxdyrdzdxxrdydzyIlnln, 1:222222 czbyax其中其中取外侧，取外侧，解：解：222zyxr xyz0 1 23434 abcI 1lnlnzdxdydzdxxdydzy 对于对于,ln yP ,ln xQ zR 在在1 所围的球上应用高斯公式所围的球上应用高斯公式 1lnlnzdxdydzdxxdydzy 21 dxdydz334 23434 abcI)34(2 abc 34 例例3：计算：计算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中取上侧。取上侧。解：直接法解：直接法xyz0 2222)(zyxdxdyazxd

16、ydza adxdyazxdydza2)( xdydz dxdyaza2)(1 dxdyaz2)( xyDdxdyayxa2222)(nxyD例例3：计算：计算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中解：解： xdydzI dxdyaza2)(1 dxdyaz2)( xyDdxdyayxa2222)( adaad02220)( 361a xyz0 xyDn取上侧。取上侧。例例3：计算：计算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中解：解： xdydzI dxdyaza2)(1xyz0 xyDn为了计算为了计算 xdydz（1将将

17、 的方程表为的方程表为,222zyax , 0 z,:2221zyax 取后侧取后侧,:2222zyax 取前侧取前侧,:222azyDyz （2将将 投影到投影到 yoz 面面, 0 z取上侧。取上侧。例例3：计算：计算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中解：解： xdydzI dxdyaza2)(1xyz0 xyDn,:2221zyax 取后侧取后侧,:2222zyax 取前侧取前侧,:222azyDyz , 0 z xdydz所以所以 1xdydz 2xdydz yzDdydzzya222 yzDdydzzya)(222 yzDdydzzya2222

18、取上侧。取上侧。例例3：计算：计算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中解：解： xdydzI dxdyaza2)(1xyz0 xyDn xdydz yzDdydzzya2222,:222azyDyz , 0 zyzyzDa a adad02222 332a 333261aaI 321a 取上侧。取上侧。例例3：计算：计算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中取上侧。取上侧。解：坐标转换法解：坐标转换法xyz0 2222)(zyxdxdyazxdydza adxdyazxdydza2)(nxyD dxdyazzxaax)(

19、)(12 dxdyazyxaxxaa)()(12222222:ayxDxy coscos,xz coscosdydzdxdy例例3：计算：计算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中取上侧。取上侧。解：解： 2222)(zyxdxdyazxdydza dxdyazyxaxxaa)()(12222222:ayxDxy xyDdxdyayxayxaxaa)(122222222 adaaaada022222220)(cos1 32a 例例3：计算：计算 2222)(zyxdxdyazxdydzaI,:222yxaz 其中其中取上侧。取上侧。解：高斯公式解：高斯公式2

20、22:ayxDxy adxdyazxdydza2)(11221()()axdydzzadxdyaxdydzzadxdya1:0,z取下侧212()xyDza dxdydzadxdya 3221dxdydzzdxdydzaa 32a xyz0n第十一章第六节作业第十一章第六节作业习题习题1010 6: 2, 3, 4, 76: 2, 3, 4, 7课堂练习课堂练习:前一节前一节,例用高斯公式做例用高斯公式做四、小结四、小结 dSAdvAdivn3应用的条件应用的条件4物理意义物理意义2高斯公式的实质高斯公式的实质1高斯公式高斯公式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(思考题思考题曲

21、面应满足什么条件才能使高斯公式成立？曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？思考题解答思考题解答曲面应是分片光滑的闭曲面曲面应是分片光滑的闭曲面.一、一、利用高斯公式计算曲面积分利用高斯公式计算曲面积分: : 1 1、dxdyzdzdxydydzx333 , ,其中其中 为球面为球面 2222azyx 外侧；外侧； 2 2、 zdxdyydzdxxdydz, ,其中其中 是界于是界于0 z和和 3 z之间的圆柱体之间的圆柱体922 yx的整个表面的外的整个表面的外 侧；侧； 3 3、 xzdydz, , 其其中中是上半球面是上半球面 222yxRz 的上侧的上侧 . . 练练 习习 题题二、证明二、证明: :由封闭曲面所包围的体积为由封闭曲面所包围的体积为 dSzyxV)coscoscos(31 , ,式中式中 cos,cos,cos是曲面的外法线的方向余弦是曲面的外法线的方向余弦 . . 三、求向量三、求向量kxzjyxizxA22)2(