保险精算例题

1、作者：日期：第二章【例2.1】某人1997年1月1日借款1000元，假设借款年利率为5%,试分别以单利和复利计算：(1)如果1999年1月1日还款，需要的还款总额为多少？(2)如果1997年5月20日还款，需要的还款总额为多少？(3)借款多长时间后需要还款1200元。解:(1)1997年1月1日至U1999年1月1日为2年。在单利下，还款总额为：A(2)=A(0)(1+2i)=10001+2X5%)=1100(元)在复利下，还款总额为：A(2)=A(0)(1+i)2=l000X(1+5%)2=1102.5(元)(2)从1997年1月1日至U1997年5月20日为140天，计息天数为139天。在

2、单利下，还款总额为：1000X(1+错误！错误！X5%)=1019.04(元)在复利下，还款总额为：1391000彳1+5%)365=1018.75(元)(4)设借款t年后需要还款1200元。在单利下，有1200=1000乂(1+0.05t)可得:在复利下，有1200=1000X1+0.05)可得：t弓.74(年)【例2.2】以1000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%,后3年的利率为6%,以单利和复利分别计算5年后的累积资金。解:在单利下，有A(5)=1000X(1+2X5%+3X6%)=12800(元)在复利下，有A(5)+1000X(1+5%)2F(,)x(1+6%)3=13130.

3、95(元)【例2.3】计算1998年1月1日1000元在复利贴现率为5%下1995年1月1日的现值及年利率。解：(1)1995年1月1日的现值为:1000X(1-0.05)3=857.38(元)(2)年利率为：=0. 0530. 95d0.05【例2.4】1998年8月1日某投资资金的价值为14000元，计算：(1)在年利息率为6%时，以复利计算，这笔资金在1996年8月1日的现值。(2)在利率贴现率为6%时，这笔资金在1996年8月1日的现值解:(1)以知利率时，用折现系数计算现值，14000元2年前的现值为:t= 4 （年）14000N专音误！)2=12459.95(%)(3)用贴现率计算

4、现值，14000元2年前的现值为:14000X(1-0.06)2=12370.4(元)6%年实际利率下一年不同结算次数的名义年贴现率m1234612ood(m)0.0.050.057710.057850.057990.05810.05827057433660【例2.5】某人以每月3%的利率从银行贷款1000元，那么在复利计息下，3年后他欠银行都少钱？解:3%是月结利率，3年后的累积欠款额可以直接按36个月的复利计算本息，有1000X(1.03)36=2898.28(元)故三个月后他欠款2898.28元。【例2.6】(1)求每月结算的年利率为12%的实际利率。(2)求每月结算的年贴现率为10%的

5、实际贴现率。(3)求相当于每月结算的年利率为12%的半年结算的贴现率。解：(1)实际利率为：.(m)i=(1+jm1m=(1+错误!)121故实际利率为12.68%(2)实际贴现率为：mm)d=1(1d_)mm=1一(1=9.63%因此，实际贴现率为9.63%。(3)由(1+i)-1=1d,有(m)(n)(1+L)=(1jnmn(2)(1+错误！)-12=(1")22d=2X1(1+F(12%,12)6=11.59%【例2.7】某人从银行借款4000元，这笔借款的利息每年结算4次,年利率为16%。那么，他在借款21个月后欠银行的款为多少？解：年利率为16%,每年结算4次，也就是每3个

6、月结算一次，每次结算的利息率为4%(16%/4=4%),21个月共结算7次(21/7=7)。这样,4000元本金在结算7次后的本利和为：4000X(1+4%)=5263.73(元)值得注意的是，在单利下，由于利率只在本金上计量，故没有名义利率和实际利率的区别。【例2.8】某人在1998年7月22日贷款4000元，如果利息力是14%,在复利下，试求解以下问题：(1)贷款额在2003年7月22日的价值。(2)年利率i。(3)名义利率广)解：(1)如果一致年利率i,4000元贷款额在2003年7月22日的值为4000(1+i)5o有公式(2.20),利息力与利率有如下关系：e&=1+i从而4

7、000X(1+i)5=4000Xe0.7=8055.01(元)(2)由(1+i尸e0.14,的年利率为：i=e°.141=0.15027(3)由(2.14a)式和(2.20)式，有(12)(1+J)2=1+i=e°1412i12=12X(e014/121)=o.14082【例2.9某人以每半年结算一次的年利率6%昔款50000元，两年后他还了30000元，又过了3年再还了20000元，求7年后的欠款额为多少？解：设他在7年后的欠款额为X,有X=5000OX1.031430000X1.031020000X1.034=12801.82(元)【例2.10】某人在1995年1月1日

8、存入银行8000元，两年后又存入6000元，2001年1月1日取出12000元。如果利率为5%,计算2004年1月1日其账户上的余额。解：依题意X=8000X1.059+6000X1.05712000X1.053=6961.73(元)【例2.11某人在1996年1月1日存款4000元，在2000年1月1日存款6000元，2003年1月1日存款5000元。如果年禾率为7%计算在2002年1月1日账户中的存款总额。解：X=400OX1.076+6000X1.072+5000X1.07(1)=17545.22(元)故在2002年1月1日，账户存款总额为17545.22元.【例2.12】某人1995年

9、1月1日在其银行账户上存款2000元，1998年1月1日存款3000元，如果之后没有存取项，年月日的账户余额为7100元，计算实际利率。解:2000(1+i)5+3000(1+i)2=7100由f(i)=2000(1+i)5+3000(1+i)27100=01171i=0.11+-xo.001=0.1115310.22(-11.71)【例2.13】某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的还款期是30年。假设贷款利率为5%如果从贷款第2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。解：设每年需要的还款额为X，根据题意，有由于贷款和还款在零时刻的现值是相等的，有200000=X1a30iX=2000

10、00i=13010.29（元）301v【例2.14】某人用2000元一次性购买了15年确定年金，假设年利率为6%第一次年金额领取从购买时开始，试计算每年可以领取的数额。解：XX=a = 2 0002000 2000d15ai51 v由于d=错误!=0.0566年中每月还款，利率为6%,求每月的还款额。解:月利率j为：(1+j)12=1.06j=0.004868在第8个月，有X的二50000(1+j)8X=1001.0921(元)设每月可以领取到的数额为x元，则有.300s2xat)根据名义贴现率的计算公式，可得:d(12)=121-(1+i)-1/12=0.02952242620a(融卡=15

11、181425914700.8012 15.11814259=81.0 3 (元)因而每月可以领取的年仅为81.03元。【例2.181某年金每年付款1次，连续付款10年，年利率为5%,年给付额为：第1年末支付100元，第2年末直至第9年末每次支付200元，第10年末支付100元，计算t=0时这些付款的现值。解：依题意，有现值=100a9+100a9xv二100a9(1+V)=1387.72(元)【例2.19若存入银行10万元，建立一项永续奖励基金，从第一年后开始支取年金，设利率为4%,求每年可以提取的最大数额。解：设每年可以提取的最大数额为x,则1 00000=xan=-X=4000（元）【例2

12、.20】某年金第1年末收付1000元，以后每隔一年收付额比前1年增加100元,共收付10年。若年利率为5%,求第10年末的年金总值。解：这一变额年金可以分解为每年900元的10年定额年金和100元的10年等差递增年金。因此，第10年末的年金终值为：9 00s®+100（后加10.=900x（1-i）1+100Xs-2°ii=17733.68（元）【例2.211我国城镇职工基本养老保险采取社会统筹与个人账户相结合的方式，个人账户以个人缴费工资的8%计入。如果某职工从20岁参加个人账户保险，当年工资为6000元，工资年增长为2%,个人账户的累积利率为4%。求在他60岁退休时，个

13、人账户的累积额。解：个人账户在20岁时的现值为：6000X0.08X（l+1.02v+l.O22v2+-+1.0239v"）140=480X1（1.02v）=13480.63（兀）1 1.02v13480.63X1.0440=64720.78（元）【例2.22在例2.21中，如果个人账户累积利率在刚参加个人账户的前10年内为4%,退休前的10年内为4%,退休前的10年内为2%,中间20年为3%,求这时个人账户在退休时的累积额。解：在职工20岁至29岁间，个人账户在20岁的现值为:10480X1（1.02/1.04）=4405.216554（元）11.02/1.0410/ 1 、X （

14、一二）=7217. 2 91.04在职工30岁至49岁间，个人账户在20岁的现值为:20480X1.0220x1（1.02/1.03）11.02/1.036894（元）0岁的现值为：在职工30岁至49岁间，个人账户在210）=32 5 2 .134 5 34 （元）2030480X1.02XI0X(1L.)x(1.031.04个人账户在60岁时的累积值为：（4405.216554+7217.296894+3252.134534）X1.0410X1.0320X1.0210=48475.95（元）【例2.23】一项永续年金，第1年末付1000元弟2年末付2000元，以后各年每年增加1000元，直到

15、年付15000元后，支付水平保持在每年15000元的水平上不变，并一直继续下去。在利率水平7.5%下，计算此年金的现值。解：这一年金可以分解为一个递增确定的年金和一个永续年金，年金现值为，PV=1000(15+错误！xv15=F(1,i)x1000(a15-15v2)+15000v15=126522.1(元)【例2.24】设A向B借款20000元，期限为5年，年实际利率为6%A在每年末以等额分期方式偿还贷款。试计算：(1)每年末应偿还的金额。(2)各年末的未偿还本金金额。(3)每年末偿还金额中利息和本金金额解:依公式(2.40),有r=b°=4747.93（元）am时期每年末偿还金额

16、支付利息偿还本金年末未偿还贷款余额020000.0014747.931200.003547.9316452.0724747.93987.123760.8012691.2734747.93761.483986.458704.8244747.93522.294225.644479.1854747.93268.754479.180【例2.25】某人用10年分期还款的方式偿还一笔50000元的贷款，假设他在10年内每半年还款一次，每半年结算的年利率为13%,从贷款6个月后开始第1次还款。求第6年末尚未还清的贷款余额。解：设未来每次还款额为P,10年内每半年一次的还款意味着20个半年的还款，半年结算的利

17、率为6.5%（13%/2=6.5%）由于贷款开始时刻的贷款额与还款额的现值相等，有5000。=Pa200,065所以P=4537.82（元）第6年末尚未还清的贷款余额等于最后8个半年内需要定期偿还的贷款的现值。P280.065=27629.75（元）【例2.27】某笔7000元的贷款用每年末偿还1000元及最后一次偿付剩余不足1000元的方式还款。假定年利率为10%,第一次付款再贷款一年后。计算第9次付款后剩余的本金。解：如果用未来计算，需要先计算出还款的期限和最后一次还款的数额。在10%利率下，未来12年每年1000元的年金现值为：1000220.1=6813.692（元）设第13次不足10

18、00元的还款额为x,有7000=6813.692+xv13X=643.1864（元）从而，第9次付款后剩余的本金为1000a30.1+643.186v4=2926.16（元）【例2.28】某人从银行获得一笔贷款，期限为10年，贷款利率为5%,他采用变额分期偿还法偿还贷款，其中每年末的偿还金额分别为20000元，19000元，18000元，试计算：（1）贷款原始本金。（2）第5年所偿还的本金和利息。解：（1）贷款本金等于分期偿还额的现值：B。=1o000Xam0.05+1o0o0X（Da）加.05=122782 .65（元）（2）按将来法，第4年末的未偿还本金余额为：B-10000Xa60.05

19、+10000X（Da）60.05=69243.08（元）第5年偿还的利息为：15nB4=3462（元）第5年的偿还额为：R5=16000（元）故第5年偿还的本金额为：P5=r5-15=12538（元）【例2.29】一笔金额为10000元的贷款,年利率10%,期限为8年，每年末偿还一次，每次的偿还额以30%的速度递增，试计算前3年每年偿还的本金和利息各是多少？解:这里的偿还金额按几何级数增长，设第一年的偿还金额为R1,81（13）10000=RiX1=14.027Ri0.10.3Ri=712.90（元）由Ii=iB°=10000X0.1=1000（元）这时,应偿还的利息大于偿还的总金额

20、，偿还金额不足利息支付的部分为：P尸R-Ii=-287.10（元）这样，1年后的未偿还本金余额增加为：B=B0-P-10287.10（元）第2年的各项余额分别为：R2=926.77（元）12=1028.71（元）P2=-101.94（元）右2=10389.04（元）【例2.30】在例2.24中，假设A以等额偿债基金方式偿还贷款偿债基金利率也为6%,其他条件不变，试构造偿债基金表。解：本例中，i=j=0.06,A每期向偿债基金储蓄D，则D=&=3547.93（元）Snj此外,A还要向B支付当期利息I:I=iB°=20000X0.06=1200（元）所以每期支付金额合计为R=D+

21、I=4747.93（元）【例2.31】假设例2.28中的其他条件不变，贷款利率变为6%借款人通过利率为5%的偿债基金来偿还贷款，求贷款本金总额。解：以公式（2.51）,有B0=k=lRk(l+j) k=l1(i-j)anj=113982（元）【例2.32】一笔贷款的期限为4年,年实际利率为12%,借款人用偿债基金法偿还贷款，偿债基金利率为8%，借款人每年末支付的总金额依次为1000元，1000元,10000元，10000元,试计算贷款本金为多少？解：令原始贷款本金为B。,则每年应支付的利息金额为0.12B。，则各期向偿债基金储蓄的金额分别为1000-0.12B0,1000-0.12B0,100

22、000.12B。，10000-0.12B0。他们在还款期末的累计额正是初始的贷款额：Bo=（10O0-0.12Bo2。.+9000swo=15075（元）【例2.33债券的面值为1000元，年息票率为5%,期限为6年,到期按面值偿还，投资者要求的年收益率为5.5%,试计算债券购买价格。解：F=C=1000r=g=0.05i=0.055p=50a叩.055+1000/1.0556=975.02（元）【例2.34假设两种债券的面值都为1000元，而且期限相同，收益率都为5%。其中一种债券的价格为1136.78元，年息票率为2.5%,另一种债券的价格为P年息票率为1.25%,试计算P。解：由Make

23、ham公式，有P1=K+错误！X（1000-K尸1136.78（元）K=452.88（元）故P=K+错误！X（1000-K）=794.83（元）【例2.35某债券面值为1000元，名义年息率为9%半年支付一次，期限为10年，前5年每半年收益率为4%,后5年每半年收益率为5%，计算债券价值。解:依题意，有前5年的息票在零时刻的现值为：45a讨Y364.99（元）零时刻剩余10个息票的现值为：45a-00.05X1.0410=234.74（元）零食可赎回债券的现值为：1000（1.04）-1°（1.05）-10=414.73（元）债券价值为以上三者之和，即364.99+234.74+41

24、4.73=1014.46（元）【例2.36】试计算例2.33中第三个息票支付其的账面值增加额。解:B3B2=Cl+(g-i)ajC1+(g-l)a/=4.04(元)【例2.371某5年期债券面值为1000元，名义息票率8%,没半年支付一次，每半年结算的名义收益率为7.5%,计算支付第6次息票是账面价值的变化。解：支付第5次息票后的账面价值为：R=4050.0375+10O0X(1.0375)5=1011.21(元)支付第6次息票后的账面价值为：B6=4040.0375+1000X(1.0375)4=1009.13(元)故支付第6次息票是账面价值的变化为：B5-B6=2.08(元)【例2.381

25、3年期债券面值1000元，名义息票率6%没半年支付一次，每半年结算的名义收益率为8%试计算：(1)支付第2次息票时，账面价值中包含的利息是都少？(2)支付第3次息票是，账面价值变是多少？(3)建立债券分期付款计划表。解：(1)F=C=1000r=0.03i=0.04支付第2次息票后的账面价值为：B2=30a40.04+1000X（1.04）-4=963.70（元）利息为：B2X0.04=38.55（元）（2）账面价值的改变是第2次，第3次账面价值之差，为：B3B2=8.55（元）【例2.39】某5年期的债券面值为1000元，每半年支付1次的息票为60元,每半年结算的名义收益率为8%。如果在购买

26、2年2个月后,债券以其当时账面几个卖出，试用理论法计算账面价值。解：F=1000n=10Fr=60i=4%k=4t=错误！第2年末的账面价值是：B4=Frai+Cvn-k=1104.84（元）2年2月后，用理论法计算账面价值得：Bk-i+t=Bk-i（1+1）t=1119.38仇）【例2.40】设债券面值为2000元，年息票率为8%,投资者要求的年收益为12%,期限为3年，到期按面值偿还，试计算债券在各季度末的价格和账面值。解：根据公式，有Po=B0=C1+(g-i)an=1807.85(元)Po.25=Po(1+i)0.25=1859.81(元)按理论法：Bo.25=Po(1+i)"

27、;5-错误！X(1+i)0.25-1=1821.49(元)按半理论法：Bo25=P。(1+i)025-0.25Fr=1819.81(元)按实践方法：B0.25=P。(1+0.25i)0.25Fr=1822.09(元)第五章【例5.1某人在40岁时投保了3年期10000元定期寿险，保险金在死亡年年末赔付。以中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)(男女混合)和利率5%，计算建缴净保费。解:建缴净保费为：_12310000A，0:3=10000(vxq40+vxP40xq41+vx2P4°xq42)(10.001650)(10.001812)0.001993=31.05=49.28

28、(元)【例5.2】张某在50岁时投保了一份保额100000元的30年定期寿险。假设ix=1000(1-F(x,105)，预定利率为0.08,求该保单的建缴净保费解:该生命表的最大年龄是105岁，所以t的取值范围是0到55,所求的赔付现值是:1100000 A50：3q29(t1)100000t01.08tP50q50t其中t p50l 50 t55 tl 50155t(54t)1q50tp50t55t55t故，该保单的建缴净保费是:1100000 A5q：3q29100000 1.08t 0(t 1)55 t55155 t=20468.70(元)【例5.3假设例5.2中张某50岁时购买的是保额

29、为100000元的终身寿险。已知I1000(1),预定利率为0.08,求该保单的建lx105缴净保费。解：55(t1)100000A501000001。1.08tp50q501561(,)_1000001'1.08551.08111.08=22421.91(元)【例5.4】某人在40岁时买了保险额为20000元的终身寿险，假设他的生存函数可以表示为s(x) 1105，死亡赔付在死亡年年末，i=10%,求这一保单的精算现值。解:由s(x) 1x105tP40s(40s(40)t)q40 t1 P40 t65 t65165 t保单精算现值为:1120000 A40 20000 v tt 0

30、 tPxqx由生存函数可以看出tP40 0 t >65因此6420000A40 20000 (t 011.165 t 16565 t=3 0 70.6 5 (元)【例5.5】在例5.2中，假设5 0岁的张某购买的是一份30年的两全保险，死亡年年末给付，保额为10 0 000元，求该保单的强缴净保费。解:100000A50:30 100000A50:30 100000A50：3030=20468.70 100000 (1.08)30 P50=2 4 9 85. 8 5 (元)【例5.6某人在4 0岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔付。如果在40岁到6 5岁之间死亡，保险公司赔付 50 0

31、 00元；在65岁到75岁之间死亡，受益人可领取100000元的保险金；在75岁之后死亡，保险金为30000元。利用转换函数写出保单精算的表达式。解：这份保单可以分解成一份50000元的25年定期寿险、一份100000元的延期25年的10年定期寿险与一份30000元延期35年的终身寿险的组合。这样，这份保单的精算现值可以表示为：50000（M40M6）100000M65M7J30000M75D40化简得：50000M4050000M6570000M75D40【例5.71对（x）的一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概率如下表所示：Kb-qk+103000000.0213500000.04

32、24000000.06假设预定利率为6%，计算这一保单的精算现值解：依题意，这一保单的精算现值为：23300000Vqx350000vpxqx1400000v2Pxqx2=36829（元）【例5.8某人在30岁投保，假设生存函数在0到100间均匀分布,1一Z为死亡赔付现值随机变量，已知利息力为0.05,求A3。行和A30。解：（1）由于生存函数在0到100间均匀分布，但x= 3 0时,剩余寿命在0, 7 0 间均匀分布，概率密度1100.05tA3o：ioE(Z) 0 e-700.05tA30 E(Z) 0 edt 70dt70f=错误！，故0.51e0.11240.05 700.05 701

33、 ee 0.27710.05 70【例5.91某人在30岁时投保了50000元的30年两全保险，设预定利率为6%,以中国人寿保险业经验生命表(1990-1 993)(男女混合),求这一保单的强缴净保费。解：在死亡均匀分布假设下，强缴净保费为:50000 A30:3050000A30:狗A30：30l0.06 M 30 M 6050000MM 50000ln1.06 D309467.26D 60D30【例5 . 1 0】在例5.9中，如果契约规定在投保的前1 0年死亡赔付5 0 000元，后20年死亡赔付300 0 0元,满期存货给付20000元，求这一保单的强缴净保费。解:这是一个变额保险，可

34、以分解为三部分，强缴净保费为115000030000E 20000 EA30:10A40:20 1 0303 0300.0650000 (M 30 M 40) 30000 (M 40 M 60)20000D60ln1.064270.52D30D30【例5.11已知a°=0.8663,i=0.06,求a012)。解:由-12.(12)(1i)1i1.0612可算得:i(12)=0.058411再由(5.38)式,得：A012)4)A0.8899i【例2.12假设某人41岁时投保了1单位元的终身寿险，死亡年末赔付。已知i=0.05,p40=0.9972,A*A。0.00822，求A*。1

35、v0.952381i2v0.90703q401P400.0028由公式AxvqxvPxAx1有A41A40A41(vq40vp40A41)A41(1VP40)4000822A410.21654第六章【例6.1】李明今年20岁,如果他能活到60岁，它将能从保险公司得到1000元的一次性给付。设年利率为6%,试写出这笔给付在李明20岁时的现值。解:李明从20岁活到60岁的概率是p，从20岁到60岁死亡的概4020率为(140P20)，如果活到60岁，他可以获得1000元给付，死亡则没有给付。因此，他获得给付的期望值为100040P200(140P20)100040P20【例6.2设n>t,证

36、明并解释下面两个式子：（1）nE(2)x t 1tE nEEx n tEx1证明：n Ex11EnvnPxtn tV t px v n t px 1 t Ex n t E x t将nEx tEntExt两边同乘以nExtE nE1n tExt，得:1ntExt【例6.3】张华今年30岁，从今年起，只要他存活，可以在每年年初获得1000元的生存给付，假设年利率为9%。计算这一年金的精算现值。解:这是一个每年给付1000元的终身生存年金，每一次给付经过折现后在30岁时的价值总和合即为这笔年金在30岁时的精算现值。因此,给付的现值是：1210001000p301.0910002p301.09.k10

37、00kp301.09k0【例6.4】某人今年45岁，花费10000元购买了一份年金产品，保单承诺从下一年开始，每年可以领到等额的给付，已知利率i=5%,一句附表中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，试计算每年可以领取的金额。解:这是一个期末负终身年金的例子，题目中已经给出了这份年金购买时的现值，要求计算年金每次的给付额。设每次的给付额为p,有Pa4510000而a45N615.128D45故P=661.03（元）【例6.5J王明在40随时购买了一份年金产品，承诺在未来20年内,如果他存活，则可以在每年年初领取1000元的给付，一旦死亡，则给付立即停止。20年期满，保

38、单自动中止，无论20年后是否存活，不再继续给付。以附表中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，假设预定利率为1=6%,使计算这笔年金的精算现值。解：其精算现值为：1000a40：因1000N0N0D40=11882.82（元）【例6.6】某人在30随时购买了一份年金，约定的给付为：从51岁起，如果被保险人生存，每年可以得到5000元的给付，直到被保险人死亡为止。设年利率为6%,存活函数为lxl0（1叁），试计算这笔年金x在购买时的精算现值。解：由存活函数可得生存概率：130k70kkp30/o又因为k20a30在gvkp30k21k21因而这笔年金的精算现值为:500

39、0 20 a3070 k7050001.06k21=12358.09（元）【例6.7】对于（30）的从60岁起每年年初6000元的生存年金，预定利率为6%,以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合）的资料，求保单的强缴净现值。解：有公式（6.13）,保单的强缴净保费为:600030a306000a6030E3o=10787.38（元）【例6.8】某人在35随时购买了一份年金产品，这份年金将从他60岁退休起的25年内,每年年初给付5000元生存年金。给定利率为6%,根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合），计算这一年金的精算现值。解：其精算现值为:5000

40、25a35：255000N60N85D35=11683（元）【例6.9某30岁的人投保养老保险，保险契约规定，如果被保险人存活的60岁，则确定给付10年年金，若被保险人在6069岁间死亡，由其指定的受益人继续领取，知道领取满十年为止。如果被保险人在70岁仍然存活，则从70岁起以生存为条件得到年金。如果年仅每年年初支付一次，一次支付6000元，预定利率为6%,以中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)(男女混合)资料，计算保单建缴净保费。解：强缴净保费为：.6000(a而10a60)30E30106000(-v-N70)D0iD60D3010790.86【例6.10如果一个x岁的人获得了一

41、份每年1单位元的连续年金，试用随机变量y表示给付变量的现值。(1)用(x)的余寿随机变量T的函数表示y(2)利用y是T的函数这一条件计算年金的精算现值/ax(3)死亡给付1单位元终身寿险的精算现值的随机变量是Z,给付Y也Z之间的关系。(4)利用(3)中的关系，用Ax表水axT.一1解:yaT1T(2)axE(Y)E()(3)因为所以(4)ax E(Y)1 E(Z) 1 A【例6.1 1 J已知某人的生命具有常数死亡力0.04，设利息力0.06,试计算:axa们超过ax的概率.解：（1）已知死亡力，则tPxaxte 0t0 vx Sdt Pxdtte10(2)Pr(aT! ax)0.06T PF

42、)ln 0.4Pr(T就ln0.4 dtT0.060.54【例6 .1 2】在例6. 7中，若年金每月支付一次，求建缴额。11 一 )24 3030解:建缴净保费为:(12).600030a306000(30|a3。116000N3024D60D3010357.08【例6.131某保单提供从60岁起每月500元的生存年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死亡年末给付10000元。设预定利率为6%,如果某人30岁时购买了这种保单，根据中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)(男女混合)的资料，求这一年金的精算现值。解:这一保单包括年金与寿险两种保险形式，其精算现值是两种保险精算值之和，其中年金精算现值与例6.12相同。(12)1""10000A30:和60003