第十五章正交曲面坐标系ppt课件

1、数学物理方法定解问题分离变量法直角坐标系：一维线性 矩形 长方体圆柱球形正交曲面坐标系15.1 正交曲面坐标系直角坐标系下任意一点 (x, y, z) 2000 rzzyx sincos z 200 cossinsincossinrzryrx 球坐标柱坐标定义 曲面坐标系 q1, q2, q3 与直角坐标系的关系为雅可比行列式不为零 ),(),(),(321zyxqzyxqzyxq 其坐标面为三组曲面：q1 = 常数， q2 =常数， q3 =常数。 正交曲面坐标系),(3210qqqa 由通过该点的三个坐标面决定， q1 ，q2 ，q3 相互独立相互独立 0),(),(33322211132

2、1 zqyqxqzqyqxqzqyqxqzyxqqq若q1 ，q2 ，q3总是互相垂直，它就是正交曲面坐标系。 222 iiiiqzqyqxh 3 , 2 , 1, jijiijdqdqgds点 a0 与其邻点的弧长：其中， 是坐标轴的度规因子， 222dzdydxds jijiijdqdqhdqhdqhdqhds233222211)()()(假设 gij=giidij ，那么 (q1, q2, q3) 为正交曲面坐标系。 332211332211332211dqqzdqqzdqqzdzdqqydqqydqqydydqqxdqqxdqqxdx )(222jiqqzqqyqqxhjijijiij

3、 令 其中jijijijiijqqzqqyqqxgg 222断定 即 或233222211)()()(dqhdqhdqhds )(0jihij 判断柱坐标系 为正交曲面坐标系。 zzyx sincos23 , 2 , 123 , 2 , 123 , 2 , 1 iiiiiiiiidqqzdqqydqqx0, 1, 1)(3322211 jiijgggg 222)()cos(sin)sin(cosdzdddd 2222)()()(dzdd 22222222222)()(cossincos2)(sin)(sinsincos2)(cosdzdddddddd 例例题题解zqqq 321, 3 , 2

4、, 1,2jijiijdqdqgds可知，柱坐标系是正交曲面坐标系。 判断球坐标系 为正交曲面坐标系。 cossinsincossinrzryrx23 , 2 , 123 , 2 , 123 , 2 , 1 iiiiiiiiidqqzdqqydqqx222)sin(cos)cossinsincossin(sin)sinsincoscoscos(sin drdrdrdrdrdrdrdr 例例题题解 321,qqrq 3 , 2 , 1,2jijiijdqdqgds222222)(sin)()( drdrdr 0,sin, 1)(223322211 jiijgrgrgg 可知，球坐标系是正交曲面坐

5、标系。 2222222zyx 直角坐标系： 正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符： 22222222sin1sinsin11 rrrrrr22222211z 222211 柱坐标系： 球坐标系： 极坐标系： 补充原点处的有界条件： 有界15.2 圆形区域可采用分离变量法边界条件边界条件fuayxyuxuayx 2222222222, 0)(20,0, 011222 fuarurrurrrar 2020),(),( uururu采用平面极坐标系0),( rru 圆形区域中的稳定问题补充周期性条件：直角坐标下无法分离变量令 ，分离变量定解问题为：)()(),( rRru 20),(),(20),(00,

6、),(),(20,0, 01102020222 fruruarruruarruruarurrurrrarr有界，有界，011222 rRrRrrr 2211RrRrr两边同乘以 得Rr2任意任意2C21)(CC 为为任任意意值值、相相应应的的BAmmm3 , 2 , 1,2 )2()0()2()0( )1(0 RrRrrr )2(022 假设 l = 0 可知：周期性条件由周期性条件知：01212 CCCC 本征函数1)(0 02sin12cos12cos2sin 有非零解有非零解、BA cossin)(BA 假设 l 0 可知：由周期性条件知：02sin)12(cos2sin2cos0)12

7、(cos2sin2cos2sin BABAABABAB本征函数 mmmmcos)(,sin)(21 对方程1作变换：令 ，那么, 2 , 1 , 0,2 mm 因而，当 时，本征函数为rtln 本征值 l0 = 0 ，本征函数：方程1化为：dtddrdrdrrdt ,1022 RdtRd 定解问题的全部特解为：一般解： mmmmcos)(,sin)(21 rDCtDCrRln)(00000 本征值 lm = m2 ，本征函数：mmmmmtmmtmmrDrCeDeCrR )(rDCrRruln)()(),(00000 mrDrCrRrummmmmmmsin)()()(),(1111 mrDrCr

8、Rrummmmmmmcos)()()(),(2222 12211100cos)(sin)(ln),(mmmmmmmmmmmrDrCmrDrCrDCru 在 r = 0 处， 有界，lnr 和 项的系数为零，即将一般解代入周期性条件 ：), 0( u0, 0, 0210 mmDDD利用本征函数的正交性及mr )()cossin(),(1210 famCmCCaummmm 可知：再代入边界条件 ： 200)(21dfC,cos,sin202202 dmdm 1210)cossin(),(mmmmrmCmCCru 202201cos)(1sin)(1dmfaCdmfaCmmmm三维空间的稳恒振动问题

9、：15.3 亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量通常要求解的形式为：这样方程就化为了：02222 uatuakvkv , 022亥姆霍兹方程T(t) 为随时间衰减的因子为随时间衰减的因子tiervtru )(),(0)(222 titievaeiv 柱坐标系下，亥姆霍兹方程 的具体形式为：逐次分离变量，令代入方程022 vkv011222222 vkzvvrrvrrr )(),(),(zZrwzrv 011222222 wZkdzZdwwrZrwrrrZ 两边同除以 wZ 得：011111222222 kdzZdZwrwrwrrrw 22222211111dzZdZkwrwrwrrrw0)(11

10、2222 wkwrrwrrr 022 ZdzZd 再次分离变量，令代入方程)()(),( rRrw 0)(112222 wkwrrwrrr 0)(112222 RkddrRdrdRrdrdr得两边同乘以 得 Rr2 222221)(1ddkrdrdRrdrdrRr0122 RrkdrdRrdrdr 022 dd011222222 vkzvvrrvrrr 022 ZdzZd 022 dd0122 RrkdrdRrdrdr 022 vkv17章 柱函数两边同乘以 得15.4 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量球坐标系下，亥姆霍兹方程 的具体形式为：逐次分离变量，令代入方程022 vkv0sin1s

11、insin1122222222 vkvrvrrvrrr ),()(),( SrRzrv 0sin1sinsin1122222222 RSkSrRSrRdrdRrdrdrS 0sin1sinsin11222222222222 rkSrSrSrSrdrdRrdrdrRr RSr2 2222222sin1sinsin111SSSRkdrdRrdrdrRr)2(0sin1sinsin1)1(012222222 SSSRrkdrdRrdrdr 再次分离变量，令代入方程2）)()(),( S得0sin1sinsin1222 dddddd即0sinsin1sinsinsin1sin222222 dddddd两边同乘以 得 2sin 2221sinsin1sindddddd00sinsinsin1222 dddddd16章 球函数连带勒让德方程022 vkv0sin1sinsin1122222222 vkvrvrrvrrr 0sinsinsin12 dddd022 dd012222 RrkdrdRrdrdr 当整个定解问题再绕极轴转动任意角不变时，即 u = u (r, q) 而与 f 无关时，亥姆霍兹方程变为：两边同乘以 得即0sinsin1