第四章无穷级数习题课ppt课件

1、第四章第四章 无穷级数无穷级数习习 题题 课课 主要内容 典型例题一、主要内容一、主要内容1 1、常数项级数、常数项级数 nnnuuuuu3211级数是一个表达式级数是一个表达式)(lim21nnuuu 含含义义级数收敛时，可表示一个数级数收敛时，可表示一个数 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) ). . 收敛级数的基本性质：收敛级数的基本性质：线性；线性； 有限项不影响级数的敛散性；有限项不影响级数的敛散性；收敛级数加括弧后仍然收敛于原来的和）收敛级数加括弧后仍然收敛于原来的和）. . 0lim nnu级数收敛的必要条件级数收敛的必要条

2、件:级数的和。级数的和。常数项级数审敛法常数项级数审敛法1 1正项级数正项级数收敛的本质收敛的本质. 0 足足够够快快nu比较审敛法；比较审敛法；正项级数审敛法的一般选择顺序：正项级数审敛法的一般选择顺序：比值或根值审敛法比值或根值审敛法; ; 极限审敛法极限审敛法; ; 性质或定义。性质或定义。2 2交错级数审敛的一般选择顺序：交错级数审敛的一般选择顺序：莱布尼茨定理。莱布尼茨定理。 3 3任意项级数审敛的一般选择顺序：任意项级数审敛的一般选择顺序：绝对收敛用正项级数审敛法）绝对收敛用正项级数审敛法）必要条件；必要条件；必要条件；必要条件；必要条件；必要条件；（用比值或根值判定的非绝对收敛级

3、数一定发散）；（用比值或根值判定的非绝对收敛级数一定发散）；莱布尼茨定理莱布尼茨定理; ; 性质或定义。性质或定义。2 2、函数项级数、函数项级数 一般函数项级数的审敛求收敛域与发散域归一般函数项级数的审敛求收敛域与发散域归为数项级数的审敛。为数项级数的审敛。3 3、幂级数、幂级数1 1幂级数收敛域的特征幂级数收敛域的特征关键：求收敛半径注意缺项的情况）。关键：求收敛半径注意缺项的情况）。2)2)幂级数的运算性质：幂级数的运算性质：a. a. 代数运算性质；代数运算性质； b. b. 分析运算性质分析运算性质. .3)3)幂级数的求和。幂级数的求和。AbelAbel定理。定理。3 3、函数的展

4、开式、函数的展开式幂级数展开式幂级数展开式幂级数展开式的唯一性；幂级数展开式的唯一性；泰勒展开式；泰勒展开式； 麦克劳林展开式。麦克劳林展开式。函数可幂级数展开的充要条件。函数可幂级数展开的充要条件。间接法。间接法。二、典型例题二、典型例题;)1()1(:11 nnnnnnn判判断断级级数数敛敛散散性性例例1 1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 e nnn1lim; 1, 01lim nnu原级数发散原级数发散;23cos)2(12 nnnn解解,223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnn

5、nn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收敛收敛 nnn原级数收敛原级数收敛 1).0()1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim nnna)2ln(lim1 nnnea)2ln(lnlim1 xxxea)2ln(lnlim1 aea110 ,1100时时即即当当 aa原级数收敛；原级数收敛；,1110时时即即当当 aa原级数发散；原级数发散；,1时时当当 a,)11()2ln(1 nnnn原级数为原级数为 nnnn)11 ()2ln(lim原级数也发散原级数也发散, 收收敛敛还还是是绝绝对对收收敛敛？敛敛？如如果果收收敛敛，是是条

6、条件件是是否否收收判判断断 1ln)1(nnnn例例解解nnnn1ln)1( 原级数非绝对收敛原级数非绝对收敛级级数数是是交交错错 1ln)1(nnnn（考虑用莱布尼茨审敛法）。（考虑用莱布尼茨审敛法）。,ln)( xxxf 令令),1(011)( xxxf则则,), 1()( 上上单单增增在在 xf,1ln1时时单单减减当当故故 nnn0ln11limln1lim nnnnnnn又又原级数是条件收敛原级数是条件收敛.)1)(1(0敛敛域域及及和和函函数数收收求求 nnxn例例解解, 1 R易知易知, 111 x收收敛敛域域为为. 20 x即即).(xs设设和和函函数数为为两边逐项积分两边逐项

7、积分 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 01)1(nnx)1(11 xx,21xx 求导，得求导，得两边再对两边再对 x)21()( xxxs.)2(12x .1lnarctan)(2展成麦氏级数展成麦氏级数将将xxxxf 例例4 4解解,32)1ln(32 xxxx,) 1(32)1ln( 216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnnndxx020)1()11( x 11212)1(nnnnx)11( x 1210222)1(2112)1(1lnarctan nnnnnnnxnxxxx故故.)22)(12()1(022 nnnnnx)1

8、1( x一、一、 选择题选择题: :1 1、下列级数中、下列级数中, ,收敛的是收敛的是( ).( ). (A) (A) 11nn； (B) (B) 11nnn； (C) (C) 1321nn； (D) (D) 1)1(nn. .2 2、下列级数中、下列级数中, ,收敛的是收敛的是( ).( ). (A) (A) 11)45( nn; ;(B)(B)11)54( nn; ; (C) (C)111)45()1( nnn;(;(D)D) 11)5445(nn测测 验验 题题3 3、下下列列级级数数中中, ,收收敛敛的的是是( ( ) ) ( (A A) ) 122nnne; ;( (B B) )

9、1!3nnnnn; ; ( (C C) ) 22sin1nnn; ; ( (D D) ) 1)2(1nnnn4 4、部部分分和和数数列列 ns有有界界是是正正项项级级数数 1nnu收收敛敛的的 ( ( ) )( (A A) )充充分分条条件件； ( (B B) )必必要要条条件件； ( (C C) )充充要要条条件件； ( (D D) )既既非非充充分分又又非非必必要要条条件件 . .5 5、设设a为为非非零零常常数数, ,则则当当( ( ) )时时, , 1nnra收收敛敛 . . ( (A A) )1 r； ( (B B) )1 r； ( (C C) )ar ； ( (D D) )1 r。

10、6 6、 11)1()1(nnnnx的的收收敛敛域域是是( ( ) ). . ( (A A) ) )2 , 0(； ( (B B) ) )2 , 0； ( (C C) ) 2 , 0(； ( (D D) ) 2 , 0. .7 7、若若 0nnnxa的的收收敛敛半半径径 10R; ; 0nnnxb的的收收敛敛半半径径 20R, ,则则 0)(nnnnxba的的收收敛敛半半径径至至少少为为( ( ) ) ( (A A) )21RR ; ; ( (B B) )21RR ; ; ( (C C) ) 21,maxRR; ; ( (D D) ) 21,minRR . . 8 8、当当0 k时时, , 2

11、1)1(nnknn 是是( ( ) ) ( (A A) )条条件件收收敛敛; ;( (B B) )绝绝对对收收敛敛; ; ( (C C) )发发散散; ;( (D D) )敛敛散散性性与与 k 值值无无关关. . 9 9、0lim nnu是是级级数数 1nnu收收敛敛的的( ( ) ) ( (A A) )充充分分条条件件； ( (B B) )必必要要条条件件； ( (C C) )充充要要条条件件； ( (D D) )既既非非充充分分又又非非必必要要条条件件 . .1 10 0、幂幂级级数数 1)1(nnxnn的的收收敛敛区区间间是是( ( ) ) ( (A A) ) )1,1( ； ( (B B) ) 1,1( ； ( (C C) ) )1,1 ； ( (D D) ) 1,1 . .二、二、 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性: : 1 1、 1222) !(nnn； 2 2、 1223cosnnnn . .发发收收三、判别三、判别 11ln)1(nnnn的敛散性的敛散性 . . 四、求四、求)2(842lim312719131nnn . . 五、五、 求收敛区间求收敛区间: 1: 1、 153nnnnxn；