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1、第七章 弯曲变形7-2 图示外伸梁AC，承受均布载荷q作用。已知弯曲刚度EI为常数，试计算横截面C的挠度与转角，。题7-2图 解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分 支座A与B的支反力分别为 AB段（0x1a）：(a)(b) BC段（0x2a）：(c)(d) 2. 确定积分常数 梁的位移边界条件为(1)(2)连续条件为(3)(4) 由式（b）、条件（1）与（2），得， 由条件（4）、式（a）与（c），得由条件（3）、式（b）与（d），得 3. 计算截面C的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d），得CB段的转角与挠度方程分别为将x2=0代入上述二式，即得截面C的转角与挠度分别为7-3

2、图示各梁，弯曲刚度EI均为常数。试根据梁的弯矩图与约束条件画出挠曲轴的大致形状。题7-3图解：各梁的弯矩图及挠曲轴的大致形状示如图7-3。图7-37-6 图示简支梁，左、右端各作用一个力偶矩分别为M1与M2的力偶。如欲使挠曲轴的拐点位于离左端l/3处，则力偶矩M1与M2应保持何种关系。题7-6图解：梁的弯矩图如图7-6所示。依题意，拐点或M=0的截面，应在处，即要求由此得图7-67-7 在图示悬臂梁上，载荷F可沿梁轴移动。如欲使载荷在移动时始终保持相同的高度，则此梁应预弯成何种形状。设弯曲刚度EI为常数。题7-7图解：在位于截面x的载荷F作用下，该截面的挠度为因此，如果将梁预弯成的形状，则当载

3、荷F沿梁轴移动时，载荷始终保持同样高度。7-8 图示悬臂梁，弯曲刚度EI为常数。在外力作用下，梁的挠曲轴方程为式中，a为已知常数。试画梁的剪力与弯矩图，并确定梁所承受的载荷。题7-8图 解：1. 内力分析梁的剪力、弯矩图如图7-8所示。图7-8 2. 外力分析在区间AB内，由上式与剪力、弯矩图的连续性可知，在该区间内既无分布载荷，也无集中载荷。由剪力、弯矩图可知，截面B的剪力与弯矩分别为在梁端切取微段BB，并研究其平衡，得作用在截面B的集中力与集中力偶矩分别为 （i） （Q）7-9 图示各梁，弯曲刚度EI均为常数。试用奇异函数法计算截面B的转角与截面C的挠度。题7-9图 (a)解：1.求支反力

4、由梁的平衡方程和，得2建立挠曲轴近似微分方程并积分自向右取坐标，由题图可见，弯矩的通用方程为挠曲轴的通用近似微分方程为将其相继积分两次，得(a)(b)3确定积分常数梁的位移边界条件为：在处， (c)在处，(d)将条件(c)代入式(b)，得将条件(d)代入式(b)，得4建立挠曲轴方程将所得C与D值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为由此得段与段的挠曲轴方程分别为5计算和将代入上述或的表达式中，得截面的挠度为将以上所得值和代入式(a)，得截面的转角为(b)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得2建立挠曲轴近似微分方程并积分自向右取坐标，由题图可见，弯矩的通用方程为挠曲轴的通用近似微分方程为将其相继积分

5、两次，得(a)(b)3确定积分常数梁的位移边界条件为：(c)(d)将条件(c)与(d)分别代入式(b)，得4建立挠曲轴方程将所得C与D值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为由此得段与段的挠曲轴方程分别为5计算和将代入上述或的表达式中，得截面的挠度为将以上所得值和代入式（a），得截面的转角为(c)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得2建立挠曲轴近似微分方程并积分自向右取坐标，由题图可见，弯矩的通用方程为挠曲轴的通用近似微分方程为将其相继积分两次，得3确定积分常数该梁的位移边界条件为：(c)(d)将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得4建立挠曲轴方程将所得C与D值代入式(b)，得挠曲轴的通

6、用方程为由此得段、段和段的挠曲轴方程依次为5计算wC和将代入上述或的表达式中，得截面的挠度为将以上所得值和代入式(a)，得截面的转角为(d)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得2建立挠曲轴近似微分方程并积分自向右取坐标，由题图可见，弯矩的通用方程为挠曲轴的通用近似微分方程为将其相继积分两次，得(a)(b)3确定积分常数梁的位移边界条件为：在处， (c)在处， (d)将条件(c)代入式(b)，得将条件(d)代入式(b)，得4建立挠曲轴方程将所得C与D值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为由此得段与段的挠曲轴方程分别为5计算和将代入上述的表达式中，得截面的挠度为将以上所得值和代入式(a)，得截面的转

7、角为7-10 图示各梁，弯曲刚度EI均为常数。试用叠加法计算截面B的转角与截面C的挠度。题7-10图 (a)解：由产生的位移为由产生的位移为应用叠加法，得截面的转角及截面的挠度分别为(b)解：梁段及梁段的受力情况示如图7-10b(1)和(2)。图7-10b由图(1)可得截面的转角为由图(1)和图(2)，应用叠加法得截面的挠度为(c)解：梁段及梁段的受力情况示如图7-10c(1)和(2)。图7-10c由图(1)可得截面的转角为由图(1)和图(2)，应用叠加法得截面的挠度为(d)解：求时可以书中附录E的7号梁为基础，以x代替a，以q(x)dx代替F，写出B端截面的微转角 (a)式中，q(x)为截面

8、x处的载荷集度，其值为 (b)将式(b)代入式(a)后两边积分，即得截面B的转角为求wC可以教材附录E中8号梁为基础，所求截面的挠度为表中所列的一半，即7-12 图示外伸梁，两端承受载荷F作用，弯曲刚度EI为常数。试问：(a) 当x / l为何值时，梁跨度中点的挠度与自由端的挠度数值相等；(b) 当x / l为何值时，梁跨度中点的挠度最大。题7-12图解：在端点力偶矩Me作用下，跨度为a的简支梁的中点挠度为将梁端载荷F简化到截面D与G，得简支梁DG的受力如图b所示,梁端各作用一附加力偶矩Fx。根据上述公式，简支梁DG中点的挠度为(a)在上述二力偶矩作用下，截面D的转角为 （Q）所以，外伸梁端点

9、A的挠度为(b)为使梁跨度中点C与梁端A的挠度数值相等，即使得为使梁跨度中点C的挠度最大，由式（a），并令得7-14 图示各刚架，各截面的弯曲刚度与扭转刚度分别为EI与GIt，试用叠加法计算自由端形心C的水平与铅垂位移。题7-14图(a)解：由图7-14a可以看出，在力偶矩作用下,杆段AB的截面B产生水平位移DBx与转角，其值分别为由此得截面C的水平与铅垂位移分别为图7-14(b)解：由图7-14b可以看出，杆段AB处于弯扭受力状态，截面B的铅垂位移与转角分别为由此得截面C的水平与铅垂位移分别为7-16 试用叠加法计算图示各阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩I2 = 2I1 。题7-16图 (a)解

10、：容易判断，最大挠度发生在截面处（见下图）。如图7-16a(1)所示，梁段在F和Fa作用下，有和图7-16a由图(2)可得最后，应用叠加法求得最大挠度为(a)(b)解：不难判断，最大挠度发生在中间截面处。图7-16b如图7-16b(1)所示，由于左右对称，截面的转角必然为零。由此可将图(1)求的问题转化为图(2)所示悬臂梁求挠度的问题，并可利用本题(a)中所得的结果，只需将式(a)中的更换为即可。最后求得的最大挠度为(b)7-17 图示悬臂梁，承受均布载荷q与集中载荷ql作用。材料的弹性模量为E，试计算梁端的挠度及其方向。题7-17图解： 梁端的总挠度为其方向示如图7-17，由图可知，图7-1

11、77-19 试求图示各梁的支反力。设弯曲刚度EI为常数。题7-19图 (a)解：此为三度静不定问题，但有反对称条件可以利用。此题以解除多余内约束较为方便。在作用面处假想将梁切开，并在其左、右面各施加一，在切开截面仅有反对称内力存在，示如图7-19a。图7-19a变形协调条件为(a)截面的挠度之所以为零，这是由反对称条件决定的。利用叠加法，得(b)将式(b)代入式(a)，于是得方向如图所示。据此可求得其它支反力为(b)解：此为两度静不定问题。可在梁间铰处解除多余约束，得该静不定结构的相当系统如图7-19b所示。图7-19b变形协调条件为(d)物理关系为(e)将式(e)代入式(d)，得由相当系统的

12、平衡条件，求得其它支反力为7-21 题7-20所示传动轴，由于加工误差，轴承C处的位置偏离轴线= 0.25mm，试计算安装后轴内的最大弯曲正应力。已知轴的弹性模量E = 200GPa。解：此为一度静不定问题。传动轴的相当系统示如图7-21。变形协调条件为(a)图7-21在多余支反力作用下，截面的挠度为(b)将式(b)代入式(a)，得由此得由图可知，梁内的最大弯矩发生在截面，其值为由此得梁内的最大弯曲正应力为7-22图示结构，梁AB与DG用No18工字钢制成，BC为圆截面钢杆，直径d = 20 mm，梁与杆的弹性模量均为E = 200 GPa。若载荷F = 30 kN，试计算梁与杆内的最大正应力

13、，以及横截面C的挠度。题7-22图解：设杆BC受拉，轴力为FN。在载荷F与轴力FN作用下，梁DG中点C的铅垂位移为梁杆结构ABC的下端截面C的铅垂位移则为根据变形协调条件，得 (a)对于No18工字钢，杆BC的横截面面积为代入式（a），得而梁AB与DG的最大弯矩则分别为根据上述分析，得杆BC横截面上的正应力为梁内的最大弯曲正应力为而截面C的挠度则为7-23图a所示结构，由梁AB与杆CB组成，并承受铅垂载荷F作用。梁各截面的弯曲刚度均为EI，杆各截面的拉压刚度均为EA，且I=Al2/2，试计算梁的最大弯矩与杆的轴力。题7-23图解：本问题属于一度静不定。在载荷F作用下，杆BC轴向受拉，轴力用FN

14、表示，梁的受力如图b所示。设杆的轴向变形为Dl，梁截面B的挠度为d，则变形协调条件为(a) 梁截面B的挠度为杆的轴向变形为将上述二式代入式（a），得补充方程为由此得杆BC的轴力为而梁的最大弯矩则为7-24 图示刚架，弯曲刚度EI为常数，试画刚架的弯矩图。题7-24图解：图a与b所示结构均为一度静不定问题。解除端的多余约束，代之以多余约束反力，由变形协调条件解得此二刚架的多余约束反力依次为此二刚架的弯矩图分别如图7-24a和b所示。图7-24 7-25 图a所示梁，弯曲刚度EI为常数。若欲使梁端支座A旋转q，则需在A端施加多大的力偶矩MA，并求相应的支反力。题7-25图解：取相当系统如图b所示，

15、在FAy与MA作用下，截面A的挠度与转角分别为由上述二式，并分别令即经联立求解，于是得， 并从而有， 7-26 如图a所示，一长度为l、弯曲刚度为EI、重量为W的细长直梁，放置在水平刚性平台上。设在梁端施加铅垂载荷F=W/3后，部分梁段离开台面，试求分离段的长度a、梁端的挠度与梁内的最大弯矩。题7-26图 解：梁段BC与水平刚性平台紧贴，各截面的挠度、转角与曲率均为零，即当不考虑剪力对梁变形的影响时，弯矩与梁轴曲率成正比，所以，梁段BC各截面的弯矩均为零，横截面B的弯矩也为零。 根据上述分析，梁段AB可简化为悬臂梁（图b），但截面B处的支反力偶矩为零，即由此得(a) 利用叠加法，得截面A的挠度

16、为将式（a）代入上式，得 梁段AB的弯矩方程为而在梁段BC内，各截面的弯矩均为零，于是得梁的弯矩图如图c所示，最大弯矩为7-27 如图所示，梁左端A固定在具有圆弧形表面的刚性平台上，自由端B承受载荷F作用。试计算截面B的挠度及梁内的最大弯曲正应力。平台圆弧表面AC的曲率半径R、梁的尺寸l，b与以及材料的弹性模量E均为已知。题7-27图解：1.计算截面的挠度设在作用下梁段与圆弧形表面贴合，并设段的长度为，则由图7-27a得由此得(a)图7-27由于贴合段梁的曲率为常值，可知此段的弯矩也是常值。据此可画出梁的弯矩图，示如图b。根据梁的约束条件及图b，可进一步推知其受力情况，示如图c。由图c得截面的

17、挠度为(b)再将式(a)代入式(b)，化简后得到2计算梁内的最大弯曲正应力由图b可知，梁内的最大弯矩（绝对值）为由此得最大弯曲正应力为7-28 图示匀质梁，放置在水平的刚性平台上，若伸出台外部分AB的长度为a，试计算台内梁上拱部分BC的长度b。设弯曲刚度EI为常数，梁单位长度的重量为q。题7-28图解：由于此梁在截面以右的部分曲率处处为零，因此截面处的曲率、转角及弯矩也都为零，即假想此梁从截面处切开，并取梁段为研究对象，可将其画成图7-28所示的外伸梁。图7-28由以上分析可知，在均布载荷（梁自重）作用下，有由此得到 顺便指出，这种解法是初等的，未考虑剪切变形的影响，致使分离面C处出现集中力形

18、式的支承反力。7-29 图示匀质梁，放置在水平刚性平台上。若在横截面A作用一铅垂向上的载荷F，试建立该截面的挠度与载荷F的关系。设弯曲刚度EI为常数，梁单位长度的重量为q。题7-29图解：可从该匀质梁的上拱部分提取力学模型，如图7-29所示。图7-29与上题相同的理由，这里有简支梁两端截面的转角和弯矩均为零。由图可知，截面的挠度为(a)该梁左端截面的转角为(b)由于故有或写成(c)将式(c)代入式(a)，得到7-30 图示梁AB与CD，B端、C端与刚性圆柱体相连，其上作用一矩为Me的集中力偶。试画梁的剪力、弯矩图。设二梁各截面的弯曲刚度均为EI，长度均为l，圆柱体的直径为d，且d = l/2。

19、题7-30图解：此为三度静不定结构，有反对称条件可以利用。该结构相当系统的一部分如图7-30a所示。图7-30静力学方面，由刚性圆柱体的力矩平衡可得(a)几何方面，考虑梁，其截面的挠度与转角之间应满足协调关系(请读者自己画出结构变形图以帮助理解）(b)物理方面，有(c)将式(c)代入式(b)，得补充方程注意到，由上式得(d)将式(d)与式(a)联解，得求出和后，画梁的剪力与弯矩图分别如图b与c所示。梁的剪力图与图b左右对称，其弯矩图与图c反对称，这里未画出。7-31 图示静不定梁AB，承受集度为q的均布载荷作用。已知抗弯截面系数为W，许用应力为s。(1) 试求载荷的许用值q；(2) 为提高梁的承载能力，可将支座B提高少许，试求提高量的最佳值及载荷q的相应许用值q' 。题7-31图解：(1) 求时的此为一度静不定问题。解除端的多余约束，代之以多余反力，将截面的挠度(a)代入变形协调条件可得(b)自端向左取坐标，弯矩方程为(c)由条件得取极值的位置为(d)将式(d)代入式(c)，得极值弯矩为固定端截面的弯矩为二者比较（请读者自己画出M图以帮助理解），