椭圆离心率求法经典全面

1、离心率的五种求法椭圆的商心率0<0<1, 双曲线的商心率丘>1,抛物线的离心率e = .一、直接求出“、 J 求解4、 e 易求时，可利用率心率公式 0 =上来解决。a例1：已知双曲线Ay-y2 =1 (d>0)的一条港线与抛物线 y2 =-6x的准线重合,则该双曲线的离心率为 ()B. 2A?迺2 2X =解：抛物线y2 =-6x 的准线是 X = -, 即双曲线的右准线22c2 3c 2 = 0 > 解得 c = 2 , a = -x/3 ， e = = , 故选 r> a 3变式练习 1： 若椭圆通过原点，且核心为仟(1,0) 、竹 ( 3,0) ,则

2、其商心率为()A. -B. -C. -D4324解：由片(1,0)、F2(3,0)知 2c = 3 1, ? ? c =1，又 T 椭圆过原点，？a_c = l,a + c = 3 >? ? a = 2 , c = 1 ,所以离心率e = = ?故选C?a 2变式练习2:若是双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为()A. B. C. -D 22 2 2 c 3 解：由题设a = 2, 2 C = 69 则 c = 3, A =-=-, 因此选 Ca 2变式练习3:点P (-3, 1)在椭圆一+二=1 (a>b>0)的左准线上，过点P且方向a2 b2为 a =(

3、2,-5) 的光线，经直线$ = -2反射后通过椭圆的左核心，则这个椭圆的离心率为()B! Di 232解：由题意知，入射光线为y-l=-(x + 3 ) ,关于 y = 2 的反射光线(对称关系 )为 2尤“ c J35x-2y+ 5 = 0, 贝 ij< c解得 a = 39 c = 1, 则 e = =?故选A云+ 5 = 0"3二、构造 " 、。的齐次式，解出 f按照题设条件，借助、b、C之间的关系，构造"、e的关系（特别是齐二次式），进而 取得 关于0的一元方程，从而解得离心率2 2例2:已知片、化是双曲线二一匚=1 （o >00> 0

4、）的两核心，以线段片化为边作cr lr正三角形F “若边MR的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. 4 + 2A3 B. V3-1 C.解：如图，设MFJ的中点为P,则P的横坐标为-匕，E2用二-勺-c / c / 2 / 得 2;2 = 0,解得即 c = x 一 一"V 2 J 心 Ja）e = = + y3（1-JJ 舍去），故选 DaD. A3 + 1变式练习设双曲线乂一二=1 （0<a<b）的半焦距为c,直线公过（匕0） , （0,方）两crA. 2B. V3D.点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（）2V3解：由已知，直线公的方程为 bx +

5、ay-ab = 0,由点到直线的距离公式，得ab x/3又c2=a2+h :两边平方，得6a2（c2 -a 2）=3c4 9整理得3/12+16 = 0,42 L I L| Z得 e2 = 4 或 e2 = - 9 又 0 <b , ?/= 乂 ="=1 + A >2, A e2 = 4 93cr crcr.*?<? = 2，故选 A变式练习2:双曲线虚轴的一个端点为M,两个核心为林、F2, ZFMF = 120 °,则双曲线的离心率为（）A V3B总c总D匣17 /233.?> 2 U 1?: b = c" ci" f :.;

6、=9 :.2c2 -a 12三、采用离心率的概念和椭圆的概念求解解：如图所示，不妨设 M （0"） , F!（-c,O） , F2 （GO）,则|Mf ; | = |Mf ; | = Vc2+/72，又冏？=在站济2中，由余弦泄理，得"皿处四需需罟即，（:）+ ）（"）&2 （c2 +b）b2 +c2例3:设椭圆的两个核心别离为林、竹，过耳作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AFAF,为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 o解：-£ =兰二 2.#a =-=血一U 2d PF + PF 22 V2C + 2c、属 + 1四、按照圆锥曲线的统一概念求解例

7、4:设椭圆二一二=1 （&>0上>0）的右核心为人，右准线为，若过仟 crr且垂直于x轴的弦的长等于点林到公的距离，则椭圆的离心率是解：如图所示，A3 是过人且垂直于x轴的弦，-ADL公于D,为仟到准线公的厂_, _AFj aab1距离，按照椭圆的第二概念，A = FA7= -t-7T = T2变式练习：任给左椭圆中，过核心且垂直于长轴的弦长为、伍，核心到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为（）B ±2解：心|_、2运，则二次曲线FcotO - y? tan& = 1的离心率的取值范围为（五、构建关于e的不等式，求e的取值范围兰、4；1 A.- 21 V

8、2 B.C.D. (2,例6:如图，已知梯形ABCW, |4冲二2|CD|,点E分有向线段犹所成的比为八 双曲线过C、D E三点，且以A、B为核心.当时，求双曲线禽心率e的取值范围。解：以AB的垂直平分线为y轴，直线人3为x轴，成立如图所示的直角坐标系另：ill a 2 cot 0 v2 tan = 10 e 0.,得/厂=cot。.I 4 J=工厂 = tan0 + cot。.:（厂=- cCtan £ +cot。 ,= - = 1+cor 0 landV<9e 0,- L ?cot2&>l,? ./>2,:? e> 迈，故选 D 4;由双曲线xoy

9、,则CQy轴？因为双曲线通过点 C、D,且以A、3为核心,的对称性知C、£关于y轴对称.依题意，记A （一c,0）其中c = 11ABi为双曲线的半焦距，力是梯形的高=1,则离心率八=-,由点C、E在双曲线上，所以,线方程得上二佯二14cr lr将点C的坐标代入双曲cr将点E的坐标代入双曲线方程得上1百?1十几Jh2b2 kl +A由立比分点坐标公式得儿）再将e =、得匚一佯=1,.? " a 4 rCH'l_U-2k2（1 +几） y（）=一，设双曲线的方程为1 + 2*>211二1将式代入式，整理得务（4-4心+ 2 ？?？ 一-是，由题设令兄§

10、得解得IS 55屈,所以双曲线的离心率的取值范围为“ /血配套练习1-设双曲线务译"（">0E>0 ） 的离心率为且它的一条准线与抛物线y1 2 3 = 4x 的准线重合, 则此双曲线的方程为（A尸24 B i_%=1V D.2. 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍 , 则椭圆的离心率等于（1C.23. 已知双曲线汁汁吩条渐近线方程为尸亍, 则双曲线的离心率为（）d|4. 在给左椭圆中 . 过核心且垂直于长轴的眩长为、耳核心到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为 A 逅5. 在给左双曲线中，过核心垂直于实轴的弦长为核心到相应准线的距离为F 则该1A. 3双曲

11、线的离心率为(C V2 D 2、伍r- v*6.如图，仟和属别离是双曲线一 =1 ( ">0,b»)的两个核心，A和B是以O则双为圆心，以|0斥|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且公F2AB是等边三角形,曲线的离心率为()ABC A D、>EE +1V2v2(c为7?设片、竹别离是椭圆一+ yv = l (a>b> 0)的左、右核心，P是K右准线上纵坐 标为岳半焦距)的点，且FF2=F2P,则椭圆的离心率是 ()V3-128?设尺、化别离是双曲线乂 -二二1的左.右核心，若双曲线上存在点 A,使a Zr=90 ；且仍用二31A劭 则双曲线离心率为

12、()哼 溟9.已知双曲线乂 一二二1 (o >0上>0)的右核心为F,若过点F且倾斜角为60°的cr 直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A 1,2B (1,2)C 2,+oc)D (2,RD)2 210 ?椭圆二十二二1 (a>b> 0)的核心为片、F"两条准线与兀轴的交点别离为M、 cr ZrN ,若MN<2FiF2,则该椭圆离心率的取值范用是()00B.C.隙寸D.答案：1?由-=八一=1可得a = A.b = *,c = 3?故选Da cr行2?已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，？?？ a = 2b.椭圆的

13、11心率6A =-=一，选D。 a 2h 4c x/32 + 423?双曲线核心在x轴，由渐近线方程可得一二三，可得e =-= 亍故选A a 3a 3322ci 22hz4?不妨设椭圆方程为一+=1(" >b>0则fj = A/2.1 L - c = l,据此求出e=cr b"ac25?不妨设双曲线方程为* 一？ =1 ( ">0, b>0)，有一二V2Kc- = 1,据此解得c cr r a c 2 =迥, 选 cX2 r26?解析：如图，F 和化别离是双曲线=一= l(aAO,bAO) 的两个核心， A 和 3 是以 0cr /?-为圆

14、心，以。百|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点 .且HF?AEM等边三角形，连接AFi ， ZAF2F1=30°, lAFjhc, IAF 2l=V3c, /. 2d = (JJ-l)c, 双曲线的离心率为 1 + J5,7.由已知P （V3c ）,所以2C=八'（八-C）2+（A-）2化简得2_2 2=00 = a 2A,使 ZF|AF2=90。，cr2 2&设Fi, F?别离是双曲线一二=1的左、右核心。若双曲线上存在点2a=AFx- AF 21= 2 ,且 IAFil=3IAF 2I ,设 IAF 2I=1 , IAFil=3 , 双曲线2c = j AF、口+

15、IA 竹口 =顶,.？.离心率 e =，选 B。 229?双曲线二一？ 二1（ >0小>0）的右核心为F,若过点F且倾斜角为6（T的直线与双曲线 CTb二的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率-> Aa a2 2 12氐离心率 c?A="I M4, ? C$2选 C CT CT2 210 ?椭圆2+匚=1>">0）的核心为斤，F”两条准线与X轴的交点别曾为 M, M cr Zr 若 IMNI=2 IF 迟 l=2c, |MV|W2 也 I， 则 2c , 该椭圆离心率心耳，选D椭圆离心率-£的求法a221?

16、椭圆方程C: 2 + L = 1（"M>O ）的右核心为F,过F的直线/与椭圆C相交于A3两cr少点，直线/的倾斜角为60。，AF = 2FB,求椭圆的离心率？（焦半径公式PF=a + ex x.PF2 =a-ex 2的应 用左加右减， 弦长公式 d = yl+k 2x -x2k 为直线的斜率）2 22?椭圆方程C:二十二=1（? >b>0）的右核心为F,其右71线与x轴的交点为A ?在椭圆上cr Z?存在点p知足线段qp的垂直平分线过点F,则椭圆的离心率的范用？（焦准距的应用）C3 .若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是？（关于“，

17、酌二元二次方 程川 / +HUC+P4 C=0 解法）4 .已知F是椭圆C的一个核心，B是短轴上的一个端点，线段的延长线交C于D.且 丽=2而，则 C 的离心率为？ （相似三角形性质：对应边成比例的应用）2 24 212 ?已知椭圆C: ? + ? = l>b>0）的左右核心别离为斥迟，若椭圆上存在点P使5?过椭圆C:4+二=>方> 0）的左核心F,右极点为A点B在椭圆上，且BF，兀轴,cr Zr直线AB交>，轴于点P若AP = 2PB,则椭圆的离心率为？（相似三角形性质的应用）2 26 ?过椭圆C:二十二=1 （?>b>0）的左核心片作x轴的垂线交椭

18、圆于点 P,只为右核心.cr b若Zf; PF,=60°,则椭圆的离心率为？（椭圆焦三角形面积 S才tan- （a = Z7APf;）7 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，贝 IJ 椭圆的离心率？ （椭圆大体性质/ =b2+c2 的应用）8 .椭圆A-2 +4于=I的离心率为？（椭圆大体性质a2 =b2+c2的应用）2 29 ?椭圆C:二+二=1>>0）的核心为 、F两条准线与x轴的交点为 M N，若 cr lrMN<2FF2, 则该椭圆的离心率的取值范囤是？ （椭圆大体性质a2=b2+c2 的应用）2 210?设5、F、别离是椭圆C:二+二=1 >/7

19、>0）的左.右核心，若在其右准线上存在点P ,cr? 2使线段PF,的中垂线过点F,则椭圆的离心率的取值范围是？（焦准丽-:垂直平分线性c质：垂直平分线上的点到线段两头距离相等：三角形性质：两边之和大于第三边应用）11?在给左椭圆中，过核心且垂直于长轴的弦长为、迈，核心到相应准线的距离为 1， 则该椭圆的离心率为？ （通 径匹， 焦准 距乞）acsin PFXF2 sin PFaF、则该椭圆的离心率的取值范用是？ （正弦圮理 - = = - =2R, 第一概念 斥 | + |P 用 =2a ）sin A siii B sin C13?在平面直角坐标系中，A,A2,BpB2为椭圆的四个极点，F为其右核心，宜线与直 线妨尸相交于点 线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为？（宜线方程交点坐标）714?在 AABC 中， AB = BC,cosB = ?若以人 3为核心的椭圆通过点 C ,则该椭圆的离18心率为？ （余弦定理a2=b2+c2-217ccosA, 第一概念）15 .已知正方形ABCD则以A,3为核心，且过两点 C,D的椭圆的离心率为？（通径巴）16 .已知椭圆的焦距为2c,以点0为圆心，a为半径作圆Mo若过点P 一,0作圆M的 I c J两条切线彼此垂直，则该椭圆的离心率为？ （大体性质）17