三年级奥数盈亏问题

1、第 4 讲 盈 亏 问 题教学目标本讲主要学习三种类型的盈亏问题：1. 理解掌握条件转型盈亏问题：2. 理解掌握关系互换性盈亏问题 ;3. 理解掌握其他类型的盈亏问题，本节课要求老师首先上学生理解盈亏问题其本公式的含义，在通过例题让学生掌握解答应 困问题的其本技巧，培养学生的思维分析能力。经典精讲盈亏问题，故名思意有剩下就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产程 这种盈亏现象。盈亏问题的关键是专注两次分配时盈亏总量的变化。我们把盈亏问题分为 三类：“一盈一亏”、“两盈”“两亏”。1. “盈亏”型例如：学而思学校四年级基础班的同学分糖果，如果每人分4 粒就多 9 粒，如果每人分 5粒

2、则少 6 粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？【分析】由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种没人分 4 粒就多 9 粒，第二种每人分 5 粒则少 6 粒，两种不同方案一多一少差 9+6=15（粒），相差原理在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为 15 1 15 （位），糖果的粒数为：4 15 9 69 （粒）。2. “盈盈”型例如：老猴子给小猴子分桃，每只小猴 10 个桃，就多出 9 个桃，每只小猴分 11 个桃则多出 2 个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？分析：老猴子的第一种方案盈 9 个桃子，第二种方案盈 2 个，所以盈亏综合是 9-2=7

3、（个）， 两次分配之差是 11-10-1（个）有盈亏问题公式得，有小猴子：7 1 7（只），老猴子有 7 10 9 79（个）桃子。3. “亏亏”型例如：学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发 10 本，还差 9 本，每人 发 9 本，还差 9 本，第二次就只差 2 本了呢？因为两次分配数量不一样，第一次分配时每 人少发一本，也就是共有 7 1 7 （人）书有 7 10 9 61（本）。根据以上具体题目的分析，可以得出盈亏问题的基本关系式：(盈+亏）两次分得之差 =人数或单位数（盈 -盈）两次分得之差 =人数或单位数（亏-亏）两次分得之差 =人数或单位数条件转化型的盈亏问题这种类

4、型的题目不能直接计算，要将其中的一个条件转化，使之成为普通盈亏问题【例 1】 军队分配宿舍，如果每间住 3 人，则多出 20 人；如果每间住 6 人，余下 2 人可 以每人住一个房间，现在每间住 10 人，可以空出多少个房间？【分析】每间住 6 人，余下 2 人可以每人各住一个房间，说明多出两个房间，同时多出两 个人，也就是第二次分配少 6 2 2 10（人），那么两次分配方案人数相差 20+10=30（人）， 即可以空出 10-50 10 5 （间）房间。【铺垫】学校给一批新入学分配宿舍。如果每个房间住 12 人，则 34 人没有位置；如果每 个房间住 14 人，则空出 4 个房间。求学生宿

5、舍有多少间，住宿学生有多少人？【分析】把“每个房间住 14 人，则空出 4 个房间”转化为“每间住 14 人，则少 14 4 56 （人）”这样两种方案就可以比较了。第一种方案多出 34 人，第二种方案少 56 人，90 2 45（间），学生数为： 12 45 34 574 （人）例 2妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分 4 个，其余人每人分 2 个，则多出 4 个；如果其中一人分 6 人，其余人每人分 4 个，则缺少 12 个，妈妈买来橘子多少个？全加 共有多少人？【分析】由“其中两人分 4 个，其余每人分 2 个，则多出 4 个，”转化为全家每人都分 2 个， 这分 4 个的两人每

6、人都拿出 2 个，共拿出 4 个，结果就多了 4+4=8 个：由“一人分 6 个， 其余每人分 4 个，则缺少 12 个”转化为全家每人都分 4 个，分 6 个的人拿出 2 个。结果就少了 12-2=10 个，转变成了盈亏问题的一半类型 , 则：全家的人数：4 2 2 (12 2) (4 2) 18 2 9(人) 橘子的个数： 2 9 8 26 （个）【铺垫】实验小学的少先队员去植树。如果每人种 5 棵还有 3 棵每人种；如果其中 2 人各 种 4 棵。其余的人各种 6 棵，这些树苗正好种完， 问有多少少先队员参加植树， 一共 iozhong 多少课树苗？【分析】 这是一道较难的盈亏问题， 主

7、要难在对第二个已知条件的理解上： 如果其中 2 人 各种 4 棵，其余的人各种 6 棵，就恰好种完，这组条件中包含着两种种树的情况 2 人 各种 4 棵，其余的人各种 6 棵。如果我们把他们统一成一种情况，让每人种六棵，那么， 就可以多种树（ 6-4） 24 （棵）。因此，原问题就转化为：如果每人各种 5 棵树苗，还 有 3 棵没人种 ; 如果每人种 6 棵数树苗，还缺 4 棵。问有多少少先队员，一共种多少树苗？人数： 3+（6-4） 2（6 5） 7（人），棵树： 5 7 3 38（棵）或 6 7 4 38 （棵）【小结】盈亏问题必须是将一定数量的物体平均分给固定对象，而本题中两次分橘子均不

8、 是每人分别的橘子数相同。碰到此类似情况时，不需将其调整成两次都是平均分，然后解 答。【例 2】 学校规定上午 8 时到校，小明去上学，如果每分钟走 60 米，可提早 10 分钟到校； 如果每分钟走 50 米，可提早 8 分钟到校，求小明几时几分离家刚好 8 时到校？ 由家到学校的路程是多少？分析】小明每分钟走 60 米，可提早 10 分钟到校，即到校后还可多走 60 10 600 米，如果每分钟走 50 米，可提早 8 分钟到校，即到校后还可多走 50 8=400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走 60-50=10（米），就可以夺走 600-400=200（米），从 而可以求出小明由家

9、道校所需时间。1）10 分钟走多少米？ 60 10 600（米），2）8 分钟走多少米？ 50 8 400（米）3）需要时间：（600-400）（60 50） 20（分钟），所以小明 7 时 40 分离家刚好 8 时到 校。4）由家到校的路程：60 （20 10） 600（米）或50 （20 8） 600（米） .铺垫】童童从家到学校， 如果每分钟走 50 米，上课就要迟到 3 分钟；如果每分钟 60 米， 就可以比上课时间提前 2 分钟夺走 60-50=10（米），就可以夺走 150+120=270（米）， 童 童从 家到 学校所用 时间 是： 270 10 27（ 分钟 ），加到学 校的

10、距离 是： 50（27 3） 5030 1500（米）。例 4 】（第二届“华杯赛”试题）有一个半同学去划船。他们计算以下，如果增加一条船， 正好每条船作 6 人；跑如果减少一条船，正好每条船坐 6 人。如果减少一条船，正 好每条船坐 9人。问：这个班共有多少学生分析】先增加一条船，那么正好每条船坐 6 人。然后去掉两条船， 就会余下 6 2 12（名） 同学。改为每条船 9 人，也就是说，每条船增加 9-6=3（人），正好可以把余下的 12 名同学全部安排上去， 所以现在还有 12 3 4（条）船，而全班同学的人数是 9 4 36人）巩固】增加两条船，正好每条船坐 6 人，然后去掉四条船，就

11、会余下 6 4 24（人），改为每只船 9 人 ，即每条船增加 9-6=3（人），正好可以把余下的 24 人全部安排上去， 所以现在船数为 24 3 8 （条），这个班的人数为 9 8 72（人）。【小结】这部分的题目不能直接运用公式计算，首先需要将一定的条件转化，使之成为跟 第一步分相似的题型，在运用公式计算。关系互换型的盈亏问题这种题型中会出现两种物品，一半两者之间还存在数量关系，如和差关系、倍数关系等， 我们应该先利用数量关系将已知条件转化为一种物品的盈亏关系，再根据盈亏问题 的 解法计算。【例 5】（2004“走进美妙的数学花园”数学邀请赛）幼儿园老师把一袋糖果分给下朋友。如果分给打扮

12、的小朋友，每人 5 粒就缺 6 粒。如果分 给小班的小朋友，每人 4 粒。已知大班比小班少 2 个小朋友这袋糖果共有多少粒？【分析】如果大班增加 2 个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每人 5 粒缺 16 粒，每 人 4粒多 4 粒”的盈亏问题。小班有（16 4） （5 4） 20（人）。这袋糖果有 4 20 4 84 （粒） 。【拓展】（2007 年湖北省“创新杯”决赛）四（2）班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱取买糖果。如果买芒果13 千克，还差 4 元; 如果买奶糖 15 千克，则还剩 2 元。已知每千克芒果比奶糖贵 2 元，那么， 辅导员老师带了 _ 元钱 . 分析这笔钱

13、买了 13 千克芒果还差 4 元, 若把 13 千克芒果换成奶糖就会多出 13 2 26 元， 所以这笔钱买 13 千克奶糖会多出 26-4=22 元。而这笔钱埋 15 千克奶糖会多出 2 元， 所以每千克奶糖的价格为：（22-2）（15 13） 10（元）。辅导老师共带了 10 15 2 152 （元）【例 6】（2004 南京市少年数学智力冬令营）甲、 乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信封与相同数量的信封，甲每封信用 2 张信纸信纸，乙每封信用 3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩 20 张信封， 乙用完所有信纸还剩下 10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？【分析】 由

14、题意， 如果乙用完所有的信封， 那么缺 30 张信纸。这是盈亏问题， 盈亏总额为（20+30）张信纸，两次分配的差为 （3-2 ）张信纸，所有的信封（ 20+30）（3 2） 50（个）， 有信纸 250 20 120）（张）【巩固】甲、乙两人的信纸一样多，信封也一样多，甲写一封信用一张信纸，乙写一封信用 3 张信纸。结果甲的信封用完时还剩 50 张信纸，乙的信纸用完时还剩 50 个信封，原来 他们 各自有信封多少个？信纸多少张？【分析】乙要想用完剩余的 50 个信封，还需再多 50 3=150 张信纸，也就是要用完同样多 的信封，甲多 50 张信纸，乙少 150 张信纸。信封的个数：（50

15、3 50） （3 1） 100（个）信纸的张数： 100+50=150（张）小结】不同的人，相同的物品，假设都用完同样多的信封，这就是“盈亏”的关联点，问题便于解决了 【例 7】体育中心将一些乒乓球分给若干人，每人 5 个还多余 10 个乒乓球，如果人数增加到 3 倍，那么每人分 2 个乒乓球还缺少 8 个，问有乒乓球多少个？【分析】考虑人数增加 3 倍后，相当于按原人数每人给 2 3 6 （个），每人给 5 个与给 6 个，总数相差 10+8=1（8 个），所以原有人数 18（6 5） 18（人），乒乓球总数是 5 18 10 100 （个）【拓展】卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大

16、熊猫，每只大熊猫分5 个还多余10 棵竹子，如果大熊猫数增加到 3 倍还少 5 只大熊猫，那么每只大熊猫分 2 个还缺 8 棵竹 子，问有大熊猫多少只，竹子多少课？【注意】以上题型中会出现两种物品，一般两者之间还存在数量关系，如和差关系、倍数 关系等，我们应该先利用数量关系将已知条件转化为一种物品的盈亏关系，再根据普通盈 亏问题的解法计算。【例 8】幼儿园阿姨拿来水果糖和奶糖分给小朋友，且水果糖的个数是奶糖的2 倍。如果每个小朋友分 2 个奶糖，就多余 4 个奶糖；如果每个小朋友分 5 个水果糖，则少 2 个水果 糖。阿姨拿来了水果糖和奶糖个多少个？【分析】水果糖和奶糖的个数不相等，不能将两者

17、直接比较，如果本题中水果糖和奶糖一 样多就好了。所以，我们可以假设水果糖和奶糖一样多，也就是假设奶糖是实际数量的 2 倍，那么，分给同样多的小朋友后， 每个小朋友可以分到 2 2=4 个，而多余的奶糖是 4 2 8 （个）、分到太奶糖和水果糖相差 8+2=10 个，原因是每个小朋友多分了 5-4=1 个，这样就 可以求出小朋友的人数，然后根据太烫和水果糖的实际分配情况，分别求出奶糖和水果糖 的个数，然后根据奶糖和水果糖的实际分配情况，分别求出奶糖和水果糖的个数，即：（4 2 2） （5 2 2） 10 1 10（个）小朋友的人数10 2 4 24（ 个） 奶糖的个数10 5 2 48 （个）水

18、果糖的个数 【注意】本题的解题关键在于通过假设，使两种糖的个数变得同样多在解答。其他类型的盈亏问题盈亏问题有的题型不想普通的盈亏问题那么标准，它是经过普通盈亏问题的变形和拓展， 解答这类问题也要利用其本盈亏问题解答方法，根据不同的题型作出相应的应对。【例 9】幼儿园老师给小朋友分糖果。若每人分 8 快，还剩 10 快；若没人分 9 块，左后一 人分不到 9 块，但至少可分到一块。那么糖果最多有多少块？【分析】最后一人分不到 9 块，那么最多可以分到 8 块，即若每人分 9 块，还差 1 块。根 据盈亏计算公式，人数有（ 1+10） （9-8 ）=11 （人），糖果最多有 9 11 1 98（块

19、）； 最后一人分不到 9 块，但至少可分到一块，即最少是最后一人差 8 块，根据盈亏计算公式， 人数有（ 8+10）（9 8） 18（人），糖果最多有 9 18 8 154（块）；所以，这批糖果最多 有 154 块。【拓展】有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多。把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一 盒，每人均至少可得 7 张，但若都分 8 张则缺少 5 张。现在把所有卡片都分完，每人都分 到 60 张，而且还多出 4 张。问共有小朋友多少人？【分析】60 7 &-4,60 8 74，说明卡片的盒数是 8 盒，“若都分 8 张则还缺少 5 张”即如果我们每盒中加 5 张（8 盒共加 40 张

20、），每人就可以得到 8 8 64（张），现在时机每 人得到 60 张，即每人需要退 4 张，其中要有 4 张式每人 60 张后多下来的，还有 40 张我们 一开始借来的要还出去，即要退出 44 张， 44 4 11（人），说明有 11 人。【例 10 】妈妈给了红红一些钱去买贺年卡，有甲、乙、丙三种贺年卡， ，甲种卡每张 1 元， 丙种卡片每张 2 元。用完这些钱买甲种卡要比乙种卡多买 8 张，买乙种卡要比买丙种卡多 买 6 张。妈妈给了红红多少钱？乙种卡每张多少钱？【分析】“用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买 8 张，买乙种要比买丙种卡多买 6 张”所以 盈亏总额是： 1 8 2 6 20（元

21、），单价相加 2-1=1（元），所以工可以买衣种卡 20 1 20 （张），妈妈给红红的钱数是：（20+8）1=28（元），乙种卡每张： 28 20=1 元 4 角。【拓展】乐乐有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中 2 分币比 5 分币多 22 个;按钱数算， 5 分币比 2 分币多 4 角；另外，还有 36 个 1 分币。乐乐共花了多少钱？【分析】假设去掉 22 个 2 分币，那么按钱数算， 5 分币比 2 分币多 8 角 4 分，一个 5 分币 比一个二分币多 3 分，所以 5 分币有： 84 （5-2）=28 个2 分币有： 28+22=50（个）所以乐乐共存钱： 5 28 2 50 1

22、36 140 100 36 276（分）。巩固精炼1. 小明读一本书，如果每天读 6 页，还剩 20 页没有读完，如果每天读 10 也，书还少 24页，这本书共有多少页，小明打算几天读完？分析】在两种方法中，数的页数和打算读的天数没有改变，而第一种读法，书没读完， 还剩 20页；第二种读法，不仅可将余下的 29 页读完，如果书还有 24 页也能恰好读完。两 种不同读法总页数相差 20+24=44 页，造成这个差异的原因就是每天多读天了 10-6=4 页。 每天多读 4 页就要多读 44 页，因此打算毒的天数是 44 4 11 天，即：20+24）（10-6 ）=44 4=11（天）6 114

23、20 86 （页）2. 阳光小学学生乘汽车到香山春游。如果每车坐 65 人，则有 5 人不能乘上车；如果没车 多坐 5人，恰好多于一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生 ? 分析 每车多坐 5 人，实际是每车可坐 5+65=70（人），恰好多余一辆车，也就是还差一辆 汽车的人，即 70 人，因而原因问题转化为：如果没车坐 65 人，则多出 5 人无人乘坐；如 果每车坐 70人，还少 70 人，求有多少人和多少辆车？车数是（ 5+5+65） 5 15（辆）人 数是 65 15 5 980（人）或（ 5+65）（15 1） 980（人）3. 王老师由家里到学校，如果骑车每分钟每分钟 500 米，上课

24、就要迟到 3 分钟；如果骑车 每分钟 600 米，就可以比上课时间提前 2 分钟到校。王老师家到学校的路程是多少米？【分析】迟到 3 分钟转化成米数： 500 3=1500（米），提前两分钟到校转化成米数：600 2=1200（米），（1500+1200） （600-500 ）=27（分钟） 500（27 3） 15000（米）4. 王阿姨去买水果。如果买 5 千克橙子，就差 10 元钱；如果买 6 千克葡萄，则余 2 元钱。 已知每千克橙子比每千克葡萄贵 4 元，每千克橙子和每千克葡萄个多少元？分析】本题涉及到两种水果，较难入手。但题中告诉我们每千克橙子比每千克葡萄贵 元，所以可以设法把两种水果转化为一种水果。因为每千克橙子比每千克葡萄贵 4 元，所以将买 5 千克橙子换成买 5 千克葡萄，就要少用4 5=20（元），于是，“买 5 千克