例谈数形结合的应用

1、例谈数形结合的应用内容摘要: 1、构造几何图形解决代数问题2、用代数与三角解决几何问题关键词: 数学思想方法，数形结合数学研究的对象是空间形式和数量关系。形与数是数学的两大支柱，它们是对立的，又是统一的，辩证地以数表形和以形示数，是探索和解决数学问题的重要途径，勿视形与数的任何一个方面，都将使数学变得残缺不全，正如我国数学家华罗庚所述：数缺形时少直观，形缺数时难入微。数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学思想、数学方法是密不可分，对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思

2、想的技术手段。中学数学中出现的数学观点和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。 在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想；数形结合的思想，变换与转化的思想，整体思想，函数与方程的思想，抽样统计思想，极限思想等等。中学数学教学中处处渗透着基本数学思想。如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的教学课程。本文对数形结合思想在数学教学中的应用谈谈一些自己的看法。数

3、形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维结合相结合。可使复杂的问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合有两种基本形式，一是“形”的问题转化为用数量关系去解决，运用代数、三角知识进行讨论，它往往把技巧性极强的推理论证转化可具体操作的代数运算，很好在起化难为易的作用。在解析几何中就常常利用数量关系去解决图形问题。二是“数”的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点。数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域和最值问题中，在求复数和三角函数问题中都有体现，运用数形结合思想解题，不仅直观

4、易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，这在选择、填空题解答中更显优越。下面就数形结合思想在学习中的应用做一个简单的分析。一、构造几何图形解决代数问题1. 构造数轴解决某些问题 例1：已知：a、b均为负数，c为正数，且|b|>|a|>|c|，化简。 解：依题意，画数轴、标出各数。 得b<a<0<c, 且b+c<0 , a-c<0,  b-a<0, 说明：通过构造数轴，将表示a、b、c的点标在数轴上后，便能直观地看出b+c<0 , a-c<0,b-a<0，再来化简代数式就不易出错了。 2、构造三角形去

5、解决问题 例2:已知x,y,z,r均为正数,且x2+y2=z2, z 求证: rz=xy 分析:由x2+y2=z2 ，自然联想到勾股定理，由z，可以联想到射影定理，从而可以作出符合题设条件的图形。对照图形，结论的正确性则一目了然。B 图2 C A D说明：仔细观察，善于联想是构造几何图形解决代数问题的关键。 二、用代数与三角方法解决几何问题 例3:如图，在ABC中，ABAC，CF,BE分别是AB及AC边上的高。试证：AB+CFAC+BE证明：因为 A（当A900时取等号） E F A B C 说明：采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。数形结合思想贯穿于整个中学阶段，最重要、最常用的数学思想方法之一，是中学数学的精髓。然而数学思想方法教学并不是一个单一的过程，各种思想方法是相互联系，相互渗透，往往几种数学思想、方法交织在一起。数学思想方法的教学是循环往复、螺旋上升的过程。在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法，效果可能更好些。有关数学思想和数学方法，尚是一个崭新的研究课题。以上认识只是本人