圆轴扭转时的应力和强度条件

1、内蒙古农业大学职业技术学院材料力学讲义第9讲 教学方案圆轴扭转时的应力和强度条件基本内容教学目的重点难点 本节重点：圆轴扭转时的应力计算公式、推导过程和方法。 本节难点：圆轴扭转时的平面假设及其在公式推导中的应用。 1、掌握圆轴扭转时的应力计算公式、推导过程和方法。 2、理解圆轴扭转时的平面假设及其在公式推导中的应用。 3、掌握圆轴扭转时的强度条件，利用强度条件进行相关计算。 4、熟知圆轴和空心圆轴的极惯性矩和抗扭截面系数。 圆轴扭转时的应力计算、强度条件的建立与强度计算第 九 讲§4-4 圆轴扭转时的应力和强度条件1 平面假设及变形几何关系如图4-9a 所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，

2、如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律： (1 各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；(2 由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度，认为仍为直线；因而各小方格变形后成为菱形。平面假设：变形前横截面为圆形平面，变形后仍为圆形平面，只是各截面绕轴线相对“刚性地”转了一个角度。从图4-9a 取出图4-9b 所示微段dx , 其中两截面pp,qq 相对转动了扭转角d , 纵线ab 倾斜小角度而在半径(od 处的纵线cd 根据平面假设，转过d 后成为cd（其相应倾角为，成为ab，' 见图4-9c ）由于是小变形，从图

3、4-9c 可知：d d =r dx =d 。于是=d （a ） dx对于半径为R 的圆轴表面（见图4-9b ），则为=R d （b ） dx2 物理关系与受扭薄壁圆筒相同，在半径为处截出厚为d 的薄圆筒（图4-9b ），用一对相距dy 而相交于轴线的径向面取出内蒙古农业大学职业技术学院材料力学讲义小方块（正微六面体）如图4-9c 此为受纯剪切单元体。由剪切胡克定理和式（a ）得=G =G 这表明横截面上任意点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，即 d （c ） dx当=0, =0；当=R ，取最大值。由剪应力互等定理，则在径向截面和横截面上，沿半径剪应力的分布如图4-10。3静力平衡关系在图4-

4、11所示平衡对象的横截面内，有dA =2d ，扭矩T =条件m o =0，得 dA ，由力偶矩平衡AT =m = dA =2G A A d d =G dx dx A 2dA令 I p =A 2dA （4-9）此处d /dx为单位长度上的相对扭角，对同一横截面，它应为不变量。I p 为几何性质量，只与圆截面的尺寸有关，称为极惯性矩；单位为m 4或cm 4。则T =G（4-10）式代回（c ）式，得d T d = （4-10） I p 或 dx GI p dx第 九 讲=T （4-11） I p则在圆截面边缘上，为最大值R 时，得最大剪应力为max =TR T = （4-12） I p Wt（4-

5、13） 此处 W t =I pRW t 称为抗扭截面系数，单位为m 3或cm 3。由此得圆轴扭转强度条件max =T （4-14） W t它由危险剪应力o 除以安全系注意到此处许用剪应力不同于剪切件计算中的剪切许用应力。数n 得到，与拉伸时相类似：s /n s 塑性材料= =n b /n b 脆性材料os b 由相应材料的扭转破坏试验获得，大量试验数据表明，它与相同材料的拉伸强度指标有如下统计关系：塑性材料脆性材料 s =(0. 50. 6 s b =(0. 81. 0 b4. I p 、W t 计算对实心圆轴 dA =2d 内蒙古农业大学职业技术学院材料力学讲义D D 422I p =A d

6、A =02d =323 （4-15） I p D =W t =16对空心圆轴D D 4d 4D 422I p =dA =d 2d =(14 =A 3232 （4-16） 443I p D d D W t =(14, =d =D 216D 16(例4-2 AB 轴传递的功率为N =7. 5kW ，转速n =360r/min 。如图4-12所示，轴AC 段为实心圆截面，CB 段为空心圆截面。已知D =3cm ，d =2cm 。试计算AC 以及CB 段的最大与最小剪应力。解：（1）计算扭矩 轴所受的外力偶矩为 m =9550由截面法 N 7. 5=9550=199N m n 360T =m =199N m（2）计算极惯性矩 AC 段和CB 段轴横截面的极惯性矩分别为I P 1=I P 2=D 432=7. 95cm 4 4(D 32d 4=6. 38cm 4 （3）计算应力 AC 段轴在横截面边缘处的剪应力为AC AC max =外=AC min =0 T D =37. 5×106Pa =37. 5MPa I P 12第 CB 段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为 CB CB min= 内 = 九 讲