板料冲压成形有限元反向分析中初始解确定方法的研究

1、板料冲压成形有限元反向分析中初始解确定方法的研究王昱皓徐国艳施法中（北京航空航天大学机械工程及自动化学院100083）摘 要 初始解的确定是板料冲压成形有限元反向分析中的一个重要环节，初始解的好坏会影响后续计算的收敛性以及分析计算的效率。本文介绍了板料冲压成形有限元反向分析的基本原理，对反向法计算中的初始解确定方法进行了研究，总结并分析了国内外关于初始解确定方法的研究概况，提出了一种高效实用的方法，最后给出了计算实例。关键词 板料成形 反向法 一步法 初始解1 前言近年来，随着计算机技术和有限元技术的飞速发展，金属板料冲压成形过程的有限元数值模拟分析技术已成为越来越广泛采用的先进制造技术之一。

2、该技术的采用可大大提高产品质量、降低产品成本、缩短新品开发周期、提高工业设计的可靠性和降低产品开发过程中人力物力的巨大浪费。板料冲压成形过程是一个复杂的变形过程，具有几何、材料、边界条件非线性。从目前的板料冲压成形过程的有限元数值模拟分析方法来看主要有两大方法，即基于增量理论的增量法和基于形变理论的反向法或叫一步法。一般在产品的初期设计阶段，总希望有一个快速有效的工具，能仅根据产品的信息来估计变形情况或预示其可成形性。以往解决这方面工作的工具主要是基于几何方面的2，上世纪80年代末90年代初有学者提出了基于形变理论的有限元反向法3。反向法是一种高效的板料冲压成形数值分析工具，它相对于增量法有限

3、元模拟工具，更能有效地应用到钣金件产品的早期设计阶段以及工艺参数的优化设计中，可以很好地满足上述要求而在板料冲压成形有限元分析中得到了广泛的研究和应用，而且成为国际冲压成形领域中研究的热点之一4。正如上面提及，金属板料冲压成形过程本身是一个高度非线性的过程，虽然在计算上反向法比起增量法来说做了很多的简化，但在最后得到的有限元方程仍是高度非线性的。而对非线性方程的求解，许多学者提出了许多的求解方法，但在众多求解方法中，Newton-Raphson迭代方法由于其高效、简单等特性而在反向法分析中被广泛应用5。众所周知，用Newton-Raphson方法时，一个好的初始解对保证求解的快速收敛以及求解的

4、稳定性是至关重要的。所以对板料冲压成形有限元反向分析中的初始解确定方法进行研究是非常有必要。本文正是处于对上述的考虑，给出了板料冲压成形有限元反向分析的基本原理，重点研究了反向法分析计算中初始解的确定方法，对作者之一徐国艳博士先前提出的投影均值法作了进一步的改进。 2 反向法的基本原理2，3，5，61反向法的基本思想是在满足一定边界条件的基础上，通过非线性有限元分析从零件形状推算出初始毛料的形状，由零件中的网格节点的分布去推知初始毛料中网格节点的分布，通过比较零件和毛料上网格变形得到零件的应变分布和厚度变化，达到初步预测零件变形情况的目的。反向法假定初始毛料在一个水平面上，毛料上所有节点有相同

5、的Z向坐标。反向法中初始构形和最终构形中已知量和未知量如图1和表1所示。图1 反向法计算示意图Fig.1 Description of the inverse approach表1 反向法计算中的已知量和未知量反向分析法将板料冲压成形过程简化为一个简单加载的变形过程，采用全量进行分析。计算中只考虑初始状态和变形终了状态，而忽略了中间状态和构形的变化。由于反向法中最终构形中节点坐标是已知的，初始构形中节点坐标是未知的，所以采用Euler法来描述其变形过程。将虚功原理应用于最终构形可得：其中，Wint为塑性变形能，Wext为外力所作的功。将上式表达成离散形式为：其中，e为单元序号，和分别为虚位移和

6、虚应变，为Cauchy应力，为外力。 在反向法中，假定材料沿着最小功路径变形，由于最终构形上节点坐标x已知，所以W为初始构形上节点坐标X的函数，而：其中，U为节点位移，所以W为U的函数。方程（2）等效于下列方程3：其中，为单元虚位移，U为节点位移向量。*为单元内力，为单元外力，R为节点内力和外力差。方程（4）相当于下列方程：方程（5）为一非线性方程组，采用Newton-Raphson法求解：这样，就得到了板料冲压成形有限元反向分析方程的Newton-Raphson的迭代格式：Newton-Raphson法是一个迭代求解的过程，开始计算时必须给定一个初始解。值得说明的是，上述方程是以节点位移为未

7、知量的。但实际上可以通过最终产品构形上的节点坐标和位移，按照公式（3）将未知数变换成初始毛料上节点的位置坐标对应的毛料初始解就为。 ，这样，与我们知道在Newton-Raphson迭代计算中，如果初始解选定的不好或与真实解相差甚远，那么将严重影响后面的迭代求解，不仅增加求解时间，有时就根本无法收敛，所以初始解的确定是一个非常重要的问题。3 关于初始解确定方法的国内外研究概况针对板料冲压成形有限元反向分析中初始解的确定，国内外许多研究学者做了大量的研究，提出了许多方法，这些方法主要有垂直投影法、线性映射法（Linear mapping method）6,7、基于有限元模型的几何映射法、经验公式法

8、、球面投影法（Geometrical mapping method）33,118910、弧长投影法10、几何映射法11、径向长度展开法（Radial length development）以及正交长度展开法（Orthogonal length unfolding algorithm）11、投影均值法12、截面线法等。限于篇幅，关于这些方法的详细介绍和分析见文献13。就上述各方法的基本原理来看，大部分是通过几何的方法来获得初解的，而有些方法是通过几何的手段同时又考虑了变形的情况来求初始解，从各个文献所给的算例以及的结论不难得知，考虑变形的初始解确定方法比只通过几何的方法得到的初始解要更接近真实解

9、，这无疑就更有利于求解，非线性方程也就更易收敛。另外，从各方法的使用情况来看，都有自己的适用范围，或者说每种算法只能适用于有限的范围，而不具有通用性。4 本文对现有初始解确定方法的改进本文作者之一徐国艳博士对初始解的确定方法先前也做了研究，在她的博士论文12中提出了确定初始解的投影均值法。投影均值法是一个利用重几何的方法来解决初始解的问题，该方法在很大程度上克服了常用的垂直投影法的不足，只要平均次数达到一定数目，总能消除零面积单元或近似零面积单元，在大多数情况下是可以满足需要的。但当零件拉伸深度较深时，例如后面所举实例中的油底壳，可能就需要很多次的平均，而且在一些情况下还会出现单元的交叉，从而

10、影响计算的继续进行。另外，不管是垂直投影法还是投影均值法，所得到的初始解与真实解之间相差较大，所以需要的后续塑性变形计算时间就很长。本文在综合前人研究成果6,7,10,12的基础上，既利用了垂直投影法的简便性，又很好的避免了垂直投影的不足，同时考虑了单元的变形（基于弹性变形），对投影均值法作了进一步的改进，得到了如下的初始解确定方法：（1）首先把板料冲压成形的最终构形上的网格正投影到垂直冲压方向的某一平面上，得到初始猜测的毛料网格：式中，Xij为毛料上节点坐标，xij为零件上节点坐标，i为结点编号，j为结点坐标分量，n为节点总数。（2）为了避免上一步中出现零面积单元，采用下式平均节点坐标：式中

11、，k为与节点i同属于一个单元的节点编号， m为相邻节点总数。（3）由第（2）步得到的Xij按下式得到（4）由反向法的变形描述可以计算出应变0。（5）假定材料从上面得到的初始猜测毛料到最终构形发生弹性变形，求解线性平衡方程：式中，e为单元序号，E为单元总数，B为单元几何矩阵，D为弹性矩阵，Ve为单元体积，U为单元结点位移矢量，0为上面计算得到的单元应变。（6）更新节点位移：（7）计算步继续计算。（8）如果第7步中时，满足了精度要求，则取Newton-Raphson的迭代初始解为：，如果小于指定的某一个很小的数，则到下一步，否则转到第（5）至此就得到了迭代求解时的初始解。上述的初始解的确定方法，第

12、（1）步和第（2）步其实就是文献12的投影均值法，这也是我们自行开发的具有我国自主知识产权的反向法冲压成形有限元分析原型软件SheetForm-OneStep以前所采用的方法。本文通过后面的6步对投影均值法的结果进行了进一步的修正，取得了较好的效果，具体见后面的计算实例分析。5 计算实例将上述的初始解确定方法在我们的反向法软件SheetForm-OneStep中实现，并通过几个典型实例进行验证和分析。5.1 盒形件图2所示为一盒形件的光照图和网格图。 该盒形件的材料性能参数如下：材料初始厚度=1mm；弹性模量准则，取=200GPa；伯松比0.3；采用Barlat的应变率塑性势函数来描述材料的屈

13、服，MPa，MPa，；材料的本沟关系为：。图2 盒形件的光照图和网格图Fig.2 Lighting and mesh of a box图3所示是通过垂直投影法和取不同平均次数的投影均值法得到的初始解。为了比较，分别取1/4组合在一起显示。图3 投影法得到的初始解：（a）垂直投影法得到的初始解；（b）（c）（d）是投影均值法分别平均10次、50次和100次得到的初始解。Fig.3 Initial solutions obtained by projection methods从图3可以看出，用垂直投影法时会出现很多的零面积单元，为了消除这些零面积单元，采用了投影均值法，当平均一定次数如50次后，

14、发现已经没有零面积单元了，如图3（c）所示。但从图中不难发现，无论是垂直投影法还是平均不同次数的投影均值法，得到的毛料初始解其外边界都是相同的，而且都是最终产品构形的轮廓边界，与实际毛料相差的较远。为此，在上述计算结果的基础可用本文的方法对其进行修正。图4所示为用本文改进后的方法得到的毛料初始解与用反向法最终计算得到的毛料形状以及DynaForm®计算的毛料形状的比较。图4 改进后方法的计算结果与反向法最终结果以及DynaForm计算结果的比较（a）本文计算的毛料初始解；（b）反向法计算得到的最终结果；（c）DynaForm估算的毛料形状Fig.4 Comparisons of In

15、itial solutions and convergent results obtained by differentmethods从图4不难看出，本文计算得到的毛料初始解与最终计算的结果较接近，这就有利于反向法后续塑性变形计算的收敛。另外从总的计算时间来看：如按改进后方法得到的初始解进行计算，只需1分47秒就得到收敛的解，但如用图3（c）作为初始解，则需要2分55秒的时间。5.2 油底壳图5所示为一油底壳零件的光照图和网格图。计算时所用参数同盒形件的所给参数。图5 油底壳的光照图和网格图Fig.5 Lighting and mesh of an oil box图6所示是用本文改进后的初步解

16、确定方法计算得到的毛料初始解。图6 本文方法计算得到的毛料初始解Fig.6 Initial solution obtained by the optimized method以图6所示的毛料作为初始解，在反向法的后续迭代计算时就发现能很快的收敛，而整个迭代计算只用了7分35秒的时间，但改进前总的计算时间为13分多。图7所示为以图6的结果作为初始解计算得到的最终毛料形状。图7 反向法计算得到的最终毛料形状Fig.7 Calculated blank shape with plastic deformation6 结束语有限元反向法是一种高效的板料冲压成形数值分析工具，它相对于增量法，更能有效地应

17、用到钣金件产品的早期设计阶段以及工艺参数的优化设计中。本文研究了反向法计算的一个主要内容，即迭代计算时初始解的确定方法，通过改进作者之一徐国艳博士提出的投影均值法，使得文中所给的方法更具实用性,而且成功的应用于我们自主开发的反向法模拟软件SheetForm-OneStep中，取得较好的效果。参考文献1陈中奎、施法中，板料冲压成形过程的一种数值模拟方法，北京航空航天大学学报，2001，27（3）：3402 徐国艳、施法中，有限元反向法计算盒形件毛料形状，中国机械工程，2003，14（9）：788-7913 Y.Q. Guo, J.L. Batoz, et al. Finite Element P

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21、大学，199810 兰箭，钣料成形的有限元逆算法研究，博士学位论文，武汉：华中科技大学，200111 Y.Q. Guo, H. Naceur, et al. Initial solution estimation to speed up inverse approach in stamping modeling, Engineering Computations, 2003, Vol. 20 No. 7, 810-83312 徐国艳，板料冲压成形一步法有限元分析系统研究与实现，博士学位论文，北京：北京航空航天大学，200313 王昱皓、施法中，板料冲压成形有限元反向分析中初始解确定方法的研究进展，待投Research on initial