dsp-chap5-第五章FIR数字滤波器设计和实现_图文(精)

1、第五章FIR 数字滤波器设计和实现概述线性相位FIR DF约束条件和频率响应窗函数法频率取样法 FIR数字滤波器的实现结构概述:IIR和FIR比较 HR与FIR性能比较口HR数字滤波器幅频特性较好，但相频特性较差口FIR数字滤波器可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统可用 FFT 计算（计算两个有限长序列的线性卷积）4 但阶次比 IIR 滤波器要高得多概述:I1R和FIR比较:HR与FIR设计方法比较口IIRDF无限冲激响应，H（Z）* z1的有理分式，借助于模拟滤波器 的设计方法，阶数低（同样性能要求）其优异的幅频特性 是以非线性相位为代价的.缺点：只能设计待定类型的滤波器，不能逼近

2、任意的频响.口FIR DF有限冲激响应，系统曲数 117）是的多项式，采用直接逼 近要求的频率响应，设计灵活性强.缺点：设计方法复杂；延迟大；阶数高.（运算比较大，因而在实现上需要比较多的运算单元和存储单元）口FIRDF的技术要求通带频率“,阻带频率（叭及最大衰减叩，最小衰减叫很重要的一条是能够保证 HQ）具有线性相位概述：FIR DF设计方法 FIR数字滤波器口设计FIR滤波器的任务给定要求的频率特性，按一定的最佳逼近准则，选定|（）及 阶数 N 口三种设计方法窗函数加权法频率釆样法FIR DF 的 CAD -切比雪夫等波纹逼近法概述：FIR DF零极点 FIR系统定义：一个数字滤波器DF的

3、输出y(n),如果仅取决于 有限个过去的输入和现在的输入x(n), x(n-l),x(n-N+l),则称之 为FIR DF FIR滤波器的单位冲激响应：(“)，n= 0,1,2,N 1 FIR滤波器的I/O关系：、y(n) = h(r)x(n-r)r0FIR滤波器的系统传递函数：N-H(z) = 2h( (i) )zr=r0h(0)zN_1+h严 +h(N-l)严nEZ平面上有N 1个点；在原点处有一个( (Nd)阶极点.永远稳定.概述：FIR DF频率响应 FIR DF的频率响应为：N-1H(eJa) =为力() 皿=HS)e0“) )” 0Hr(u)：振幅响应，它是一个取值可正可负的实函数

4、。0( (o) = arg H(e)为数字滤波器的相位响应。FIR滤波器的最要特点是能实现线性相位。具有线性 相移特性的FIR滤波器是FIR滤波器中应用最广泛的 一种.概述：相位失真信号通过线性滤波器时，其幅度和相位可能会发生改变，滤波器幅频特性I H( (3) )|和相频特性9(0) )可能会随频率 的变化而改变。口如：输入正弦信号 Acostnwo)则：输出为 |H( (3o)| Acostntoo+O),其中相移 9=0( ()输出频率和输入频率相同，但幅度和相位都发生了变化输出信号比输入信号滞后的样点数 n (位移)可由下式求得：设：nu) )o+0=On =竺型一滤波器在数字频率 J

5、)处的相位延迟(位移)0 由于相位延迟 n 的不同，最终产生了相位失真.。确保不产生相位失真的办法：使不間频率的信号通过滤波器时有 相同的延迟n it7概述：相位失真对不同的频率有恒定的相移 6 不同的相位延迟n,会产 生相位失真.如：方波 y可以用无数奇次谐波的正弦波的叠加来得到：V( (t)= hin(Qt) + - sin(3Qt) + -sin(SQt) + - sin(7Qt) + -xin(9Qt)+)恒延时滤波器:Tp(O或T/3) )是不随co变化的常量，这时 滤波器具有线性相位特性.此，邙it相延群延时：9( (劲N7N7h(n) sincosno= /(/i)cosTOsi

6、nno) )0/i0N-l h(n)sin( (T( (D - no)= 0w0h(O)sin( (TD) )+ h( 1 )sin TOO + h(N-l )sin TCO-(N-1)( (O = 0|h()sin( (TG) )+h(N-1 )sin TCO-(N- 1 )coJ + h(l)sinT +h(N-2)sinTco(N-2)co + + |h(n)sin T( (o-nco + h(N-l -n)sin TCD(N-l-n)=V/I(H)sin fia) )costa? W 11it线性相移FIR DF约束条件：恒延时可以证明，当线性相移FIR DF约束条件：恒群延时只要求恒

7、群延时成立若只要求群延时(如为一常数.则相移特性为不过原点的宜线.Af-1NH(e)=/i(w)e 二工力(“)cosM-jsine 川故&( (0)= argl/(e7#)j= arctanNI-yh(n)sina) )n .Jsin( (9-tt)N-12且h(n) =(OSnVN-1)上式成立.此时耳) = I = 恒相延时和恒群延时同时成立时，线性相位 滤波器的必要条件是：不管 N 为偶数.还是 N 为奇数，系统 冲激响应 h(n)都关于中心点(N-l)/2 fl 对称.当 N 为奇数时对称中心轴位于整数 样点上；当 N 为偶数时对称中心轴位于非整 数样点上.0(0)=00一A

8、-l(OH.V-l工 (“)COS OMI J于是h5)为fl对嫁.N为h(n)h(“) )为1A对线性相移FIRDF约束条件：恒群延时COS(p-T(D) )线性相移FIRDF约束条件：恒群延时当 N 为奇数时h(n) *0|宇16y/?(/QcosQ) )7tsin(y-to) = yA(n)sinoncos(TO)w=0N-1-故h2h(n)为N为研h(n)为对琢.N为偶敷线性相移FIR DF约束条件线性相位约束条件对于任意给定的值N,当FIR滤波器的h(n)相对其中心点(N-l)/2 是对称时.不管是偶对嫁还是奇对称，此时滤波器的相移转性是线性的. 且群延时都是T= (N-l)/2 偶

9、对称：班 3) )为过原点的，斜率为的一条直线4 = 0,-相时延和群时延同时成立= h(N 1 M)奇对称：0(3) )对所有的频率成分都有一个 90。相移.it线性相移FIR DF约束条件偶对称：0(为过原点的.斜率为 T 的一条直线奇对称：0(hS)对N为奇flth(n) )HWW. N为偶(h(n)奇对林N为itfk线性相移FIR DF约束条件it处，邙it20线性相移F1RDF频率响应：Typel h(n)偶对称，N为奇数(恒相时延、恒群时延此时，由于 h(n)序列的长度为奇数，因此滤波器的频率响应函数 可进行以下折分(前后对称部分、中心点)：对上式的第二和式作变量替换(n=N-l

10、m)后得到:1 I/(eA)= h(g + 方(”_1-心 5、小 2 小+/(1)广由对称条件h(n) = h(N 1 )则 H(eJa) )表示为：处，邙it3/(“)二工MVLi=士/i(n)ew+/ih(n)1 1 Ir| | N i | 6nh(n)为偶对專.N为奇敷A/(eJ)= 士令 =II则上式为.V-1产处，邙it20线性相移F1RDF频率响应：TypelF1+ 士砍“0+ 如)2线性相移F1RDF频率响应：Typel由此可以看出其线性相位特性所以幅度响应H,)对(尸0、ru 2亢也是偶对称.线性相移F1RDF频率响应：Type II h(n)偶对称，N为偶数(恒相时延、恒群

11、时延：由于 h(n)序列的长度为偶数，因此滤波器的频率响应函数可拆 分成如下两部分(前后对称部分，中心点处无值)：iV-i4V-1H( (/) )二力方(叹二 h(n)eh(n)eM=0#=o对上式的第二和式作变量替换(n=Vl m)后得到:其中振幅响应:IIr()为偶对线性相移FIR DF频率响应：Type II2(“)=乞h(n)e+ 0-川/冷I二0ei 2工方M-02- ）N令沪二亍,则上式为:H(严)=呼2/i(-n)cos(W-)wIHBI22-2cow(“ )w =Hr(CD)imi2对称.所以，Hr（W）对吩兀也是奇对称$ 以 W =0. 2TT为偶对称Afet线性相移F1RD

12、F频率响应：Type II（注韋从1开始.IP取段有定义）(2)由于 cos|(n-l/2)o| 对于( (j=?r 是奇线性相移FIR DF频率响应:Type III h(n)奇对称，N为奇数(恒群时延i h(n)长度为奇数，拆分成前后两部分：N- .iV-1JV-lH(eJ) = h(n)eh(n)eh(n)e =oIt= I对上式的第二和式作变量替换.并利用对称条件 h(n)-h(N.l-n),得:.V.1 曲! 111(厂)2+ 2h(N If*/、,性2*Z .AMt= f 2 *002/n)a = 2A()rin(二“ 2 2和( (N 22A(w)inl 线性相移FIR DF频率

13、响应:Type IIIh(n) |h5)为N为奇敷AN-l令沪二一-“，则上式为:其中(”)=2什 nIn= 1,2,(一1)/2振幅响应：W lHg)=c(“)win (w=ejHr(3?ff3iSFrrwquncy Untp26线性相移FIR DF频率响应:Type III注意：(1)在 3 = 0 和 n 处，有:jy-iHr(eJa)=(“)sin/g = Omtl与 c(n)或 h(n)的值无关，因此，这种类型的滤波器不适用于低通、带 阻或高通滤波器设计，而且,这说明 jH.Cw)是纯虚数，对于逼近理想 数字希尔伯待变换和微分器，它是很有用的理想的希尔伯待变换是一 个全通滤波器.它对

14、输入信号产生90 度的相移，它频繁用于通信系统 中的调制。微分器广泛用于模拟和数字系统中对信号求导.由于 sin(nw)对于厲=0、兀.2 兀都是奇对称.所以.何)以 =0、 九、2 兀为奇对称.线性相移FIRDF频率响应：Type IV h(n)奇对称，N为偶数(恒群时延N(e) = e2 2J(/i)sin(/i - - =eJHr(a)I2其中d(n) = 2ltN-l2h(n)|1:1,1理卜n0)h(,)为奇对称.N为偶徽it30线性相移FIRDF频率响应：Type IV(2)由于sin(n.l/2)w在E=K处偶对称， 在0、In是奇对称， 所以.Hr(w)以=n偶对称.0.2rr

15、为奇对称线性相移FIRDF频率响应：小结一般形式：/(川)=“3/,力)(Hr(w)为 3 的实函数)偶对称：、N 16()=- 3注意：(1)在3=0处.有：与d(n)或h(n)的取值无关，因此传* 输函数H(z)在z = 1处为零点.显xe&3Irmjwcy102030(一个此，邙it(两个恒时足条件类线性相位FIR滤波器第一类FIR系统是cosen的线性组合，在Q=0时，H(护) 易取得最大值，I大1此这一类滤波器易体现低通特性，且是偶函 数。通过频率移位，又可体现高通、带通、带阻特性。所以， 经典的低通、高通、带通和带阻滤波器的h(n)都是偶对称的。 第三、四类FIR系统是si

16、nen的线性组合，在ry=O时，H(eH的值为零，且是奇函数。这一类滤波器都是作为特殊形 式的滤波器，如Hilbert变换器、差分器等。请使用时注意。N故好取为奇数.以便以中心点为对称。邙 (N -n0令：m=N-l-n iV-1LV-IIH=/S)z4) )=土(加)z*：=ZF) )H(Zm|nvOI于是：-H(z) = rg)H)/如果Zj是H(z)的零点，即H(Zj) = 0则H(z-i) =0,即屮亦为H(z)的零点。处，邙t Af33线性相移FIR DF零极点分布上面提到召肯定是共觇的，故斗*亦必为其零点 于是零点有：(2)r=l,单位BS上的零点：=严Zj=e(共匏对)(3)位于

17、实轴上的实敷：b, 1/b(实轴上的倒数对).总结：(1)(1)一般情况込=几严(4)厶=土1：单事点z;* = +2 cos2v)e_J幅度特性函数为：Hg(y) = (2.1+18cos9 无限长，且非因果设计的 FIR 数字滤波 88N-111（6） = 11（11） T h（n）有限长，且因果-0=%（“）響-川（）要求：线性相位尽可能降低逼近误差处，邙t AfIt37冒口法：基本原理设所要求的DF的频率响应是儿（），禰要注意：它可能 是低通、高通、带通和带阻FIR DF,没有特指某种类型 的数字滤波器不管是何种FIR I）F,它的频率响应是频域中的周期函数,周期为2打，所以它可以展开

18、为傅氏级数形式:Q0=8式中九）是傅里叶系数，也是单位取样响应序列。 由傅里叶级数理论可得：FIRDF口法（傅里叶级数法）每（）=40因此，所要求的DF的系统函数便可求得：H 八切=乞為()z一 8口显然,Hd(z)是非因果的.且 h/n)的持续时间为+8.物理 上不可实现.我们可以采用遇近叫(曲)的方法首先把(II)先截短为有限项，把 h/n) ft 为 2M+1 项，得：8M/=Soorw H仗)=2hd(n)z-n丹=一00/! MAfIt39然后把截短后的hd(n)右移，使之变成因果性的序列。 令H(Z) )等于H(Z) )乘以Z M得：M2MH(Z)= ZWH1(Z)=另你(咖“=2

19、(一M)z “ if - .1/i0O令h(n)= hd(n-M), n=0,1, 2,f2M,则2MH(Z) = 02()Z7/I=0频率响应z=e2MH(eja) = h(n)e-jna口法：口法：40w=0显然I H(i)是物理耳实现的 其冲激响应h(n)的持续时 间也是有限的 选择h/n) hd(N-l-n),保证II具有域性相位. |H(dw)|对|H科)|的逼近对 hd(n)的截短必然产生误差，即以|H()|近似|Hd(eiw)| 定义逼近误差为均方误差：云=亠|巧2加)一(严)1，血2兀Jr而 Hd(eiw)可以展开为+ 工CO(Q)+工hnsin(na) )2 M-lB-l4aQ=2hd(0); an=hd(n)+hd(-n)化可為(A 為( (F) )lit因为 I H(eJ) |是对 hd(n)截短而产生的，假定：4 MWH08) )= 21+&COSOKD)+B“ sin(mo)即当 |n|M 时，An= 0zBn=0.所以把上述两式代入 il 近误差中，利用三角函数的正交性可得：云=(%；人)+ 士(件一AJ+士(化-J +；(你+bNy/mi“1AM利由于上式中每一项都是正的，所以，只有当J如=A“ = B“ =12,M时口法：性能分析口法：Hd(e)=工hd(n)e =H641处，