《等比数列的前n项和》课件（3）

1、问题提出问题提出1.1.等比数列的内涵特征是什么？等比数列的内涵特征是什么？ 如何用如何用递推公式描述？递推公式描述？从第从第2 2项起，每一项与它的前一项的比等项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数于同一个常数. .1(2)nnaq na或an1an1 an2(n2).2.2.等比数列的通项公式是什么？等比数列的通项公式是什么？mnpqaaaamnpqaaaa3.3.在等比数列在等比数列aan n 中中 的条件是什么？特别地，的条件是什么？特别地，a a1 1a an n可以等于可以等于什么？什么？mnpqaaaamn=pq mnpqaaaaa1ana2an1a3an21n1nnmnma

2、a qa qcq4.4.国际象棋起源于古代印度，据传，国国际象棋起源于古代印度，据传，国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：么要求，发明者说：“请在棋盘的第请在棋盘的第1 1个个格子里放上格子里放上1 1颗麦粒，在第颗麦粒，在第2 2个格子里放个格子里放上上2 2颗麦粒，在第颗麦粒，在第3 3个格子里放上个格子里放上4 4颗麦粒，颗麦粒，在第在第4 4个格子里放上个格子里放上8 8颗麦粒，依次类推，颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的里放的麦粒数的2 2倍，直到第倍，直到第6464

3、个格子个格子.”.”这是一个什么数学问题？国王能满足他这是一个什么数学问题？国王能满足他的要求吗？的要求吗？ 知识探究（一）：知识探究（一）：求和公式的推导求和公式的推导 思考思考1 1：设设S S6464=1+2+4+8+2=1+2+4+8+26363, ,那么那么2S2S6464的表达式如何？的表达式如何？ 636464224822S思考思考2 2：S S6464与与2S2S6464的表达式中有许多相同的表达式中有许多相同项，你有什么办法消去这些相同项？所项，你有什么办法消去这些相同项？所得结论如何？得结论如何？ 646421S思考思考3 3：上述算法实际上解决了求等比数上述算法实际上解决

4、了求等比数列列1 1，2 2，4 4，88，2 2n-1n-1，前前6464项的和，项的和，利用这个算法，利用这个算法，1 12 24 48 8 2 2n-1n-1等于什么？等于什么？21nnS思考思考4 4：上述算法叫做上述算法叫做错位相减法错位相减法 . .一般一般地，地，设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q,q,前前n n项和项和为为S Sn n，利用，利用错位相减法错位相减法如何求如何求S Sn n？所得？所得结果如何？结果如何？1(1)1nnaqSq211111nnSaa qa qa q211111nnnqSa qa qa qa q思考思考5 5： 就是等比数列就是等比

5、数列的前的前n n项和公式，项和公式，这个公式的使用条件这个公式的使用条件是什么是什么 ?1(1)1nnaqSq思考思考6 6：当当q q1 1时，如何求时，如何求S Sn n？ 11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqqq1q1知识探究（二）：知识探究（二）：求和公式的变通求和公式的变通 思考思考1 1：当当q q1 1和和q q1 1时，分别使用哪个公式更时，分别使用哪个公式更方便？方便？ 11(1)(1)11nnnaqa qSqq思考思考2 2：当公比当公比q1q1时，结合等比数列通时，结合等比数列通项公式，项公式，S Sn n可变形为什么？可变形为什么？ 11111nnnaaaa q

6、Sqq思考思考3 3：根据等比数列的定义，有，根据等比数列的定义，有，结合等比定理可以得到什么结论结合等比定理可以得到什么结论 ?2341231nnaaaaqaaaa思考思考4 4：等比数列的通项公式可变形为等比数列的通项公式可变形为 据此，据此， 等于什么？等于什么？ 11111(1)111nnnna qqa qa qaqqq12naaa思考思考5 5：等比数列有等比数列有5 5个相关量，即个相关量，即a a1 1，a an n，S Sn n，q q，n n，已知其中几个量的值就，已知其中几个量的值就可以确定其它量的值？可以确定其它量的值？ 理论迁移理论迁移 例例1 1 求下列等比数列的前求

7、下列等比数列的前8 8项的和项的和 2 4 81 1 1（1） ， ；19（2）aa127,0243q8255256S8164081S 例例2 2 某商场今年销售计算机某商场今年销售计算机50005000台，台，如果平均每年的销售量比上一年的销售如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加量增加10%10%，那么从今年起，大约几年可，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到使总销售量达到30 00030 000台（结果保留到台（结果保留到个位）个位）? ? 年l g1. 60. 25l g1. 10. 041n小结作业小结作业1. 1. “错位相减法错位相减法”不仅可以推导等比数不仅可以推导等比数列

8、求和公式，而且可以用来求一类特殊列求和公式，而且可以用来求一类特殊数列的和数列的和. . 2. 2. 是等比数是等比数列前列前n n项和的两个基本公式项和的两个基本公式, ,应用时一般应用时一般用前一个公式用前一个公式. . 11(1)(1)11nnnaqaa qSqqq3.3.利用方程思想和等比数列前利用方程思想和等比数列前n n项和公式，项和公式，可以求等比数列的首项、公比和项数可以求等比数列的首项、公比和项数 . .2.5 2.5 等比数列的前等比数列的前n n项和项和问题提出问题提出1.1.等比数列的递推公式是什么？等比数列的递推公式是什么？1(2)nnaq na或an1an1 an2

9、(n2).2.2.等比数列的通项公式是什么？等比数列的通项公式是什么？ 3.3.等比数列前等比数列前n n项和的两个基本公式是什项和的两个基本公式是什么？么？1n1nnmmaa qa q11(1)(1)11nnnaqaa qSqqq4.4.根据等差数列的定义、通项公式及前根据等差数列的定义、通项公式及前n n项和公式，我们发掘出了等差数列的一项和公式，我们发掘出了等差数列的一系列性质，对于等比数列，我们也可以系列性质，对于等比数列，我们也可以作些相应探究作些相应探究 . .探究（一）：探究（一）：等比数列与前等比数列与前n n项和的关系项和的关系 思考思考1 1 ： 的一般形式为的一般形式为

10、，如果数列，如果数列aan n 的前的前n n项和项和 , , 那么数列那么数列aan n 是等比数列吗？是等比数列吗？ 1(1)(1)1nna qSqq(1)(0,1)nnSA qA qq(1)(0,1)nnSA qA qqaan n 是等比数列是等比数列 (1)(0,1)nnSA qA qq思考思考2 2： 的一般形式为的一般形式为 , ,如果数列如果数列aan n 的前的前n n和和 , ,那么那么数列数列aan n 是等比数列吗？是等比数列吗？ 1(1)1nna qaSqq(0,1)nnSA aB A BA(0,1)nnSA aB A BAaan n 是等比数列是等比数列 (0,1)n

11、nSA aB A BA思考思考3 3：设数列设数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，若，若数列数列SSn n 是公比不为是公比不为1 1的等比数列，那么的等比数列，那么数列数列aan n 是等比数列吗是等比数列吗 ? 不是不是 探究（二）：等比数列前探究（二）：等比数列前n n项和的性质项和的性质思考思考1 1：设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q q，那，那么么S Sn n1 1与与S Sn n之间有什么关系？之间有什么关系？ 思考思考2 2：将将S Sn n1 1S Sn na an n1 1代入上式可得代入上式可得什么结论？什么结论？ S Sn n1 1a

12、 a1 1qSqSn n 1111(1)(1)111nnnnaaaa qaqSqqqq思考思考3 3：在等比数列在等比数列aan n 中，中，S Sn n，S S2n2n，S S3n3n三者之间有什么关系？三者之间有什么关系？ (S(S2n2nS Sn n) )2 2(S(S3n3nS S2n2n) S) Sn n理论迁移理论迁移 例例1 1 已知数列已知数列aan n 的前的前n n项项 若数列若数列aan n 为等比数列，求实数为等比数列，求实数a a的值的值. . 例例2 2 已知数列已知数列aan n 满足满足S Sn n4a4an n2 2，求数列求数列aan n 的通项公式的通项公

13、式. . 132nnSa16a124( )33nna 例例3 3 在等比数列在等比数列aan n 中，已知中，已知S Sn n1010，S S2n2n3030，求，求S S3n3n的值的值. . 例例4 4 设等比数列设等比数列aan n 的各项都是正数的各项都是正数, ,比较比较S Sn nS Sn n2 2与与(S(Sn+1n+1) )2 2的大小的大小. .S3n70221()nnnS SS小结作业小结作业1.1.以等比数列前以等比数列前n n项和为背景可引发出某项和为背景可引发出某些性质，作为研究性学习，其结论不要些性质，作为研究性学习，其结论不要求记忆，但要了解探究这些性质的数学求记

14、忆，但要了解探究这些性质的数学思想、方法和技巧，并在解题中灵活运思想、方法和技巧，并在解题中灵活运用用 2.2.等比数列的定义、通项公式、求和公等比数列的定义、通项公式、求和公式是等比数列的基本知识点，适当了解式是等比数列的基本知识点，适当了解等比数列的一些基本性质，会给解题带等比数列的一些基本性质，会给解题带来一定的帮助来一定的帮助. .3.3.对于与等比数列前对于与等比数列前n n项和有关的问题，项和有关的问题，不一定要用求和公式进行运算或变形，不一定要用求和公式进行运算或变形，有时作非公式化处理更简单有时作非公式化处理更简单 知识探究（一）：知识探究（一）：特殊数列的求和方法特殊数列的求

15、和方法 思考思考2 2：上述求和方法叫做上述求和方法叫做分组求和法分组求和法，一般地，什么类型的数列可用分组求和一般地，什么类型的数列可用分组求和法求和？法求和？ 思考思考1 1：如何求数列如何求数列的各项之和？其和为多少？的各项之和？其和为多少？11111 ,4,7,(32)2482nn232122nnn 由几个等差、等比数列合成的数列由几个等差、等比数列合成的数列. 思考思考3 3：如何求数列如何求数列的各项之和？其和为多少？的各项之和？其和为多少？21 111, ,2 6 12nn1nn思考思考4 4：上述求和方法叫做上述求和方法叫做裂项求和法裂项求和法，一般地，什么类型的数列可用裂项求

16、和一般地，什么类型的数列可用裂项求和法求和？法求和？ 每一项都能拆分为两项的差，累加后能每一项都能拆分为两项的差，累加后能抵消若干项抵消若干项. 思考思考5 5：如何求数列如何求数列2 2，4a4a，6a6a2 2，2na2nan n1 1（a0a0） 的各项之和？其和为多的各项之和？其和为多少？少？思考思考6 6：上述求和方法叫做上述求和方法叫做错位相减法错位相减法，一般地，什么类型的数列可用错位相减一般地，什么类型的数列可用错位相减法求和？法求和？ 由一个等差数列与一个等比数列对应项由一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积组成的数列的乘积组成的数列. 当当a a1 1时，时， (1)nSn

17、 n当当a1a1时，时，212()11nnnanaSaa知识探究（二）：知识探究（二）：特殊数列的求和技巧特殊数列的求和技巧 思考思考2 2：如何求数列如何求数列1 12 2，2 22 2，3 32 2，n n2 2的各项之和？其和为多少？的各项之和？其和为多少？ 思考思考1 1：如何求数列如何求数列4 4，4444，444444， 的各项之和？其和为多少？的各项之和？其和为多少？4444n个14(10910)81nn(1)(21)6n nn 例例1 1 求数列求数列 的各项之和的各项之和. 理论迁移理论迁移1111,12 12312n21nn 例例2 2 求数列求数列1 1，3 3，5 5，7 7，( (1)1)n n(2n(2n1) 1) 的各项之和的各项之和. .