必做的立体几何综合题

1、轮复习必做的立体几何综合题1、如图，在四棱锥P _ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱 PA _ 底面 ABCD, AB =、3 , BC = 1 , PA =2 ,E为PD的中点。(I)求直线 AC与PB所成角的余弦值；(H)在侧面PAB内找一点N，使NE _面PAC , 并求出点N到AB和AP的距离。解：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A,B,C,D,P,E 的坐标为 A(0,0,0)、B(3,0,0)、C(、. 3,1,0)、D(0,1,0)、1P(0,0, 2)、E(0, 2,1),fjl从而 AC =( .3,1,0),PB =( .3,0,-2).设AC与PB的夹角为. A

2、C PB cosI AC | 1 PB |二，则33.72、714 AC与PB所成角的余弦值为3.7。14故可设N点坐标为(H)由于 N点在侧面PAB内，NE =(-x,f,1 -z)，由 NE _ 面 PAC 可得,(x,0, z)，则NE AP =0,NE AC =0.(_x,l,1 -z) (0,0,2) =0,z_1 =0,2化简得1l:v 3x +(x,Z)(.3,1,0) =0.10.2、3(,0,1)，从而 N62、如图所示的多面体是由底面为ABCD即N点的坐标为1,f。的长方体被截面 AEC1F所截面而得到的，其中点到AB和AP的距离分别为AB =4,BC =2,CG =3,B

3、E =1。(I)求BF的长；(n)求点C到平面AEC1F的距离。由AF得吝0得 n aF =0,即4y +1 =0,2x +2 =0,x = 1,_ 1y4A(2,0,0), C(0,4,0), E(2,4,1),G(0,4,3)设 F(0,0, z)AEGF为平行四边形,由AEGF为平行四边形，得,(-2,0, z) =(-2,0,2),z 2. F (0,0,2).EF=(-2,42).于是|BF |=2/6,即BF的长为2-6(II )设ni为平面AEGF的法向量，显然ni不垂直于平面ADF，故可设ni =(x, y,1) 由 q 仝V°,得 0 x 4 y “0_2xx+0x

4、 y + 2=0，则4. 3333又CCi =(0,0,3),设CCi与ni的夹角为:- CCi ni3cos-ICCil mi 3 v i iV I6 C到平面AECiF的距离为4、334.33d =| CCi | cos - - 333 iiD是侧棱CG的中点，直线AD3、如图，已知正三棱柱 ABC AIBiCi的底面边长是2 与侧面BB,GC所成的角为45 .(I)求此正三棱柱的侧棱长；(n) 求二面角A - BD -C的大小；(川)求点C到平面ABD的距离.Ci解：(I)设正三棱柱 ABC AIBiCi的侧棱长为ABC是正三角形， AE BC .又底面ABC 侧面BB1CiC，且交线为

5、BC . -AE 侧面 BBGC .连ED，则直线AD与侧面BBGC所成的角为.ADE二45 .在 Rt. ：AED 中,.此正三棱柱的侧棱长为 2 2 注：也可用向量法求侧棱长.(H)解法1 ：过E作EF _ BD于F，连AF , - AE _侧面 BBQjC, AF _ BD . AFE为二面角A - BD -C的平面角.在 Rt. ：BEF 中，EF =BEsin. EBF，又BE =1,sin .EBF=CD ：-=23 ,. EF =二.BD22 +（72）233又 AE3,ae.在 Rt AEF 中，tan . AFE3 .EF故二面角 A - BD -C的大小为arctan3 .

6、解法2:（向量法，见后）（川）解法1 ：由（H）可知，BD _平面AEF ,.平面AEF _平面ABD ,且交线为 AF , .过E作EG _ AF于G，贝U EG _平面ABD .在 Rt AEF 中，EG 二 AE EF AF3010后733（闾2 （ ：）2/ E为BC中点，.点C到平面ABD的距离为2EG2 30,易得平面ABD -10 解法2:(思路)取AB中点H琏CH和DH，由(A C , DA DB平面CHD，且交线为 DH 过点C作Cl _ DH于I，则CI的长为点C到平面ABD的 距离.(思路)等体积变换：由VcbD (向量法，见后)、(川)的向量解法：-VA -BCD 可求

7、.解法3:解法4:题(n)(n)解法2:如图，建立空间直角坐标系o -xyz.则 A(0,0,、.,B(0, -1,0), C(0,1,0), D(= 2,1,0) . a、 设 n1 =(x, y,z)为平面ABD的法向量.I y= -逅z卜：2x - y 、3z = 0取 f =(- -6,- -3,1).X又平面BCD的一个法向量由n1 AB"，得AD 二 0cos : n 1, n2 二nr n2（丽2n2 = （0,0,1）.二（-6-' 3,1） （0,0,1）1（- 6）2（- 3）A1BoC7分 10y2 1210结合图形可知，二面角 A - BD - C的大

8、小为arccos10 .（川）解法 4:由（n）解法 2, q =（-/6,-、3,1）, CA = （0,-1,、. 3）.点C到平面ABD的距离d工cA nn1(0,-1, .3) (-.6,-.3,1).(-6)2 (- 3)22.301016. 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视 图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形 .（I）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；（n）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体 ABCD- ABiCD?如何组拼？试证明你的结论;侧视图（川）在（n）的情形下 ，设正方体 ABCAiBCD 的棱CC的中点为E,求平面ABE与平面ABC

9、所成二面 角的余弦值正视图解：（I）该几何体的直观图如图 1所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥其中底面ABCD是边长为6的 正方形，高为CC=6,故所求体积是V 6?6 = 723（n）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体,其拼法如图2 所示.证明：面ABCD面ABBA、面AADiD为全等的 正方形，于是Vc 1 4BCD1 ABB1 A| 二 Vc1 AA1D1D 故所拼图形成立（川）方法一：设 BE, BC的延长线交于点 G 连结GA在底面 ABC内作BHL AG 垂足为H,连结HB,则BH丄AQ 故/ B1HB为平面 ABE与平面ABC所成二面角或其补角的平面角 在 Rt ABG中 , AG = ¥180,贝UBH6 12180=¥，= JBH 2 +BB,518、5 'Hb22COSNBB =-,故平面ABE与平面ABC所成二面角的余弦值为土一 -HB1 33方法二：以C为原点，CD CB CC所在直线分别为 x、y、z轴建立直角坐标系（如图3）, 正方体棱长为 6,贝U E （0 , 0 , 3） , B （ 0 , 6 , 6）, A （6 , 6 , 0） B1设向量n= (x , y , z),满足n丄EB1