平面的基本性质(一)

1、平面的基本性质（一）平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据平 面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的， 通过这些内容的教学， 使学生初步了 解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维， 使学生的观念逐步从平面转向空间一、素质教育目标（一）知识教学点平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的1公理 1 说明了平面与曲面的本质区别通过直线的“直”来刻划平面的 “平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直 线在平面内，又是检验平面的方法2公理 2 揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定

2、两个平面交线的方 法3公理 3 及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定 平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件， 这个转化使得立体几何的问题得 以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决， 是立体几何中解决相当一部 分问题的主要的思想方法4“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯 一，“只有一个” 说明图形如果有顶多只有一个， 但不保证符合条件的图形存在， “有且只有一个” 既保证了图形的存在性， 又保证了图形的唯一性 在数学语言 的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义 词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在

3、性”和“唯一性”两方面 来论证5公理 3 的三个推论是以公理 3 为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑 关系的体现， 为使命题的叙述和论证简明、 准确，应将其证明过程用数学的符号 语言表述（二）能力训练点1通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力2通过由公理 3 导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力3将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平第1 页共10 页（三）德育渗透点 借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理及公理 3 的三个推论的学习， 逐步渗透事物间既有联系又有区别的观 点，更由于对三个推论的证明培养

4、言必有据， 一丝不苟的学习品质和公理法思想二、教学重点、难点、疑点及解决办法1教学重点（1）体现平面基本性质的三条公理及其作用（3）两条公理及公理 3 的三个推论中的“有且只有一个”的含义（3）用图形语言和符号语言表述三条公理及公理 3 的三个推论（4）理解用反证法和同一法证明命题的思路，并会证一些简单问题 2教学难点（1）对“有且只有一个”语句的理解（2）对公理 3 的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式（3）确定两相交平面的交线3解决办法（1）从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论间的直观 形象，加深对“有且只有一个”语句的理解（2）通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想

5、象，理解公理的实质和作 用三、课时安排2 课时四、学生活动设计第 2 页 共10 页區1-9准备好两块纸板，一块薄平的泡沫板，四根长 15c m左右的小竹针，其中三根一样 长，一根稍短针对三条公理设计不同的活动，对公理 1,可作如下示范：把直 尺的两端紧按在玻璃黑板上，完全密接；对公理2,可用两块硬纸板进行演示(如 图1-9);对公理3,使用图1- 10所示的模型进行演示.五、教学步骤(2)團 1-10(一) 明确目标(1 )理解井熟记平面基本性质的三条公理及公理 3的三个推论.(2) 掌握这三个公理和三个推论的文字语言、图形语言、符号语言间的互 译.(3) 理解“有且只有一个”的含义，在此基

6、础上，以公理3为主要依据， 推证其三个推论.(4) 能够用模型来说明有关平面划分空间的问题.(5) 理解并掌握证明命题的常用方法一一反证法和同一法.(二) 整体感知本课以平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又有学生初次接触的证明，因此以“设问一一实验一一归纳”法和讲解法相结合的方式进行教学.首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”， 无需证明，教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证其中公理 1应以直线的“直”和“无限延伸”来 刻划平面的“平”和“无限延展”；公理 2要抓住平面在空间的无限延展特征来 讲；

7、公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上” 通 过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语 句的理解对于公理3的三个推论的证明，学生是初次接触“存在性”和“唯一 性”的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物 模型的依赖，培养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师应进 行板书，使学生熟悉证明的书写格式和符号最后，无论定理还是推论，都要将 文字语言转化为图形语言和符号语言，并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意.三、教学重点、难点的学习与完成过程A 公理师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系人们经过长期的观察

8、和实践，把平 面的三条基本性质归纳成三条公理请同学们思考下列问题（用幻灯显示）.问题1：直线I上有一个点P在平面a内，直线I是否全部落在平面a内？问题2:直线I上有两个点P、Q在平面a内，直线I是否全部落在平面a内？（用竹针穿过纸板演示问题 1,用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题 2,学生思考回 答后教师归纳）这就是公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所 有的点都在这个平面内.这里的条件是什么？结论是什么？生：条件是直线（a）上有两点（A B）在平面（a）内，结论是：直线（a） 在平面（a）内.师：把条件表示为 A a， B b且A a， Ba，把结论表示为MJ所以结论也可以说

9、平面a经过直线配用图形表示为（图1-11)这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦 工用直的木条刮平地面上的水泥浆.在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围 呢？生：不是，因为平面是无限延展的.师：对，根据公理1,直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如 果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具 有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（演示图1 9（ 1）给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？生甲：只有一个公共点.生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.

10、师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的， 所以有一个公共点，必有无数个公共点.那 么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）.可见，这无数个公共点在一条直线上. 这说明，如果两个平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是 公理2,其条件和结论分别是什么？生：条件是两平面（a、B ）有一公共点（A），结论是：它们有且只有一条过这个点的直线.师：条件表示为 A a ， A B，结论表示为：a A a， A a，图形表示为 图 1 9（ 2）或图 1 12.公理2是判定两平面相交的依

11、据，提供了确定相交平面的交线的方法.下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：问题1:经过空间一个已知点A可能有几个平面?问题2:经过空间两个已知点A B可能有几个平面?问题3:经过空间三个已知点A B C可能有几个平面?（教师演示图1 10给学生看，学生思考后回答，教师归纳）这说明， 经 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即公理 3,其条件、结论分别是 什么？生：条件是：不在同一直线上的三点（ A、B、C）,结论是：过这三点（A B、C） 有且只有一个平面（a）.刚条件表示为8直线AB,结论袤示划存在唯-的平面，使A a， B a， C a，图形表示为图1 13，公理3是确定平面位置的

12、依 据之一.图 1-13以上三个公理是平面的基本性质其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一；“只有一个”是 说明“唯一”，但不保证图形存在也就是说，如果有顶多只有一个因此，在 证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证明两个方面一一存在性和唯一性.B.推论师：确定一个平面的依据，除公理 3夕卜，还有它的三个推论.推论1:经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.说出推论1的条件和结论.生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个 平面.师（板书）I己短直线扳A曲.求证：经过a和A有且只有一个平面.证明

13、：“存在性”即存在过 A、a的平面，在直线a上任取两点B、C.S1 1-14A i aT BE 鬲 C a, A、B、C三点不在同一直线上.过A、B、C三点有且只有一个平面 a （公理3）.- B a , C a .ac Cl （公理 1）.即过直线a和点A有一个平面a .“唯一性”，假设过直线 a和点A还有一个平面B .匚 BE a, C 舫- B B , C B .过不共线三点 A、B、C有两个平面a、B，这与公理3矛盾.假设不成立，即过直线 a和点A不可能还有另一个平面B，而只能有一个平 面a .这里证明“唯一性”时用了反证法.推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.其条件、结论分别

14、是什么？生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面. 师（板书）：已知：直线 aG直线b= A.求证：经过a、b有且只有一个平面.证明：“存在性”.在a、b上分别取不同于点A的点B、C,得不在同一直线上的三点 A B、C, 则过A、B、C三点有且只有一个平面a （公理3）./ A a, B a, A a , B a ,AABcafiPacQ （公理 1）同gbc a,平面a是经过相交直线 a、b的一个平面.“唯一性”.设过直线a和b还有另一个平面B ,则A、B C三点也一定都在平面B内.过不共线三点 A、B、C就有两个平面a和B .平面a与平面3重合.过直线a、b的平面只

15、有一个.这里证明唯一性时，用的是“同一法”.推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面. （证明作为思考题）c .练习1. 下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，a、3表示平面）A. V A a,B a, ABa .B. v a a,a 3, a G3 =a.C/AE a, ac 1.:虽年 Q.D, T A e a , ac ci f /. A a*其中命题和叙述方法都正确的是. 2. 下列推断中，错误的是 A. aEl aE Q, bEi, BE aicciB. AE a, aE & BE a, BE B naflB =abc. u a, aEuazD. A B、Ca, A B C B ,且 A B C不共 线= Q郛重合.图 1-16两个平面把空间最多分成部分，三3. 个平面把空间分成 E分,个平面把空间最多分成部分.4. 确定经过A、B、C三点的平面与已知平面a、B的交线.（图1 16）四、总结、扩展本课主要的学习内容是平面的基本性质，有三条公理及公理3的三推论.其中公理1用于判定直线是否在平面内，公理 2用于判定两平面相交，公理3及三个推论 是确定平面的依据