平面与异面直线

1、第四讲平面与异面直线【知识要点】1.平面的表示方法(1) 平面概念的理解：几何中的平面是无限伸展的，用联系直线的无限伸展来理解，平面将整个空间分 成两部分；(2) 通常用一个平行四边形来表示平面；(平行四边形可以延展，也可以用其它图形(如三角形)表示)一个希腊字母(3)点是构成空间的最基本的元素直线、平面、几何体、球等都 识空间图形问题是数学发展的结果.这对于利用数形结合的思想深入 几何中许多符号的规定都出自将图形视为点集.例如，点 A a内，记作A a ；直线I在平面a内，记作I二a ；直线 相交于一点可记为 a n b二A.B 用对角顶点的字母表示 成的集合.从点集的角度认E是由点构入研究

2、数学是非常必要的.A在平面在a内，记作A a ;点A不在平面 a内，记作丨：二a ；直线与直线文字叙述付号语言图形语言作用公理1如果一条直线上的 两点在一个平面内， 那么这条直线上所 有的点都在这个平 面内；反映了平面与曲面的 区别，通过“直线”的“直”和“无限延伸” 揭示了平面的概念，它 是判断直线是否在平 面内的依据.公理2如果两个平面有一 个公共点，那么它们 有且只有一条通过 这个点的公共直线确定两平面相交于一 条直线的依据；可判定“点共线”或“线共点” 的问题.2.平面的基本性质4.A,B;C一条直3公理3.空间图形(作图与识图)(1)两相交平面常见图形的作图:只有一个平面，使 3一得

3、代B,C :经过线上的三点，有且只 有一个平面；不共线 ：有经过一条直线和这 条直线外一点，有且 只有一个平面；A 一丨=有且只有一个平 面, 使得确定平面及判断两平 面重合的依据：(存 在一个平面，只有一 个平面)，是证点、线 共面的依据，也是作截 面、辅助平面的依据.推论2经过两条相交直线， 有且只有一个平面；a b = P =有且只有一个平面0（,使得a, b c a推论3经过两条平行直线， 有且只有一个平面；a/b=有且只有一个平面a，使得a,b c a5.两条直线异面a和b是异面 直线 异面直线所成的角：平移； 异面直线的距离：公垂线段的长度（给出会求即可）；【典型例题】1题型一直观

4、图 例1 观察图形，说明图形中的不同之处.A题型二平面分空间问题 例2 （ 1） 一个平面将空间分成几个部分？（2）两个平面将空间分成几个部分?（3）三个平面将空间分成几个部分?1题型三“点共线”与“线共点” 例3已知正方体 ABCDABCiDi .（1）画出平面 ABC1D1与平面A1B1CD的交线；（2） E,F分别为CG,AA的中点，画出平面 BED1F与平面ABCD的交线；（3）设线段AC与平面ABC1D1交于Q,求证：B,Q,D1共线.（4）E为AB中点，F为AA,中点，求证：CE, D1F , DA三线共点.题型四异面直线例4 .如果两条异面直线称作“一组”，那么在正方体的十二条棱

5、中，共有（）对异面直线（A） 12 对（B） 24 对（C） 36 对（D） 48 对【课堂练习】1.若点Q在直线b上，b在平面1内，则Q,b之间的关系可记作（(A) Q b (B) Q b(C) Q b - I： (D) Q b -2. 在空间，下列命题正确的是()(A) 各边长相等的四边形是菱形(B) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形(C) 两对对角线相等的四边形是矩形(D) 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形3. 下列命题 两两相交的三条直线可以确定一个平面； 一条直线与另外两条直线分别相交，则这三条直线可以确定一个平面; 四边形的两条对角线必交于一点； 梯形是平面图形 已

6、知 a b,c d，且 a pd 二 A,b p|d 二 B, a flc 二 C，贝U a, b, c, d 四线共面; 两组对边相等的四边形是平行四边形;其中正确的命题个数是()(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个4空间五个点最多可以确定平面的个数为()(A ) 6 个(B) 7 个(C) 8 个(D) 4 个(D) 10 个5.平面| |平面二I, A, B三&C C - I，直线ABII =D，过代B,C三点确定平面，贝U平面一：，的交线必通过()(A )点 A( B )点 B(C)点C但不通过点D(D)点C和点D6. ABCD-ABQU是长方体，O是的中点，直线AC交平面AB!

7、于点M，则下列结论错误的 是()(A ) A , M , O三点共线(B) A,M,O,A四点共面(C) RM ,O,C四点共面(D) B,B,O,M四点共面7用一个平面去截一个正方体得到的多边形，其中边数最多的是()(A )四边形(B)五边形(C)六边形(D)七边形&如果a与b是异面直线，则称 a与b构成一对异面直线，过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有()A . 18 对B . 24 对C . 30 对D、36 对9相交于同一点的 3条直线最多能确定 个平面，4条直线呢？ n条直线呢？10.棱长为a的正方体ABCD -ABC1D1中，棱AB与棱BQ的中点分别是积是 11.如右图，在棱长为 1的正方体ABCD - ABiGDj中，O为正方形ABCD的中心，E、F分别为AB、BC的中点，则异面直线C1O与EF的距离为.E,F，则截面ACEF的面12如果用一个截面去截正方体，截面可能是什么图形，请画图示意.13在正方体 ABCD ABCQ!中，点 P,Q, R分别在棱 AAi,BB1,DD1 上.(1) 作出直线CP与平面ABiGDi的交点;(2) 画出经过C,Q,R三点的截面.14.如图，已知正方体ABCD A1