变换域处理拉氏变换与Z变换ppt课件

1、第五章 变换域处置拉氏变换与Z变换赵明2022-1-30信号分析与处置-变换域处置2变换域处置的课程构成n拉普拉斯变换n延续时间信号nZ变换n离散时间信号n拉普拉斯变换、z变换以及傅立叶变换之间的关系2022-1-30信号分析与处置-变换域处置3拉普拉斯变换n何谓拉普拉斯变换n一个线性时不变系统对于复指数信号输入，输出是复指数信号的倍数，该倍数是一个由复指数决议的参数n拉普拉斯变换定义 ,ststy tH s eH sh t edt( )( )stX sx t edt2022-1-30信号分析与处置-变换域处置4拉普拉斯变换的讨论n拉普拉斯变换与傅立叶变换n拉普拉斯变换在s=j就是傅立叶变换

2、j tstXjx t edtX sx t edt2022-1-30信号分析与处置-变换域处置5拉普拉斯变换举例 atx teu t的拉普拉斯变换 0s a tstX sx t edsedtsj假设0a tj tXjeedt 1,Re X ssasa 当Res-a时，拉普拉斯变换收敛提示：当Res-1 1,Re 11Ltse u ts 21,Re 12Ltseu ts 2,Re 1LttX ssx teeu t 2022-1-30信号分析与处置-变换域处置18拉普拉斯变换的反变换 1,Re 212X ssss Im-2-1Re 11,Re 212X ssss 2ttx te uteut 1, 2

3、Re 112X ssss Im-2-1Re 11,Re 212X ssss 2ttx te uteu t 2022-1-30信号分析与处置-变换域处置19常用的拉普拉斯变换对 1,tROCS 11,Re 0( )u tROCssj 对比 11,Re 01 !nntu tROCsns 1,Re Reteu tROCss 11,Re Re1 !ntnteu tsans 022000220cos,ReResin,ReRetset u tsst u tss2022-1-30信号分析与处置-变换域处置20傅里叶变换的几何求值方法n拉普拉斯变换的决议要素n表达式n由零极点确定相对幅度n收敛域n依然由零极点

4、确定n几何求值n利用零极点确定傅里叶变换结果2022-1-30信号分析与处置-变换域处置21傅里叶变换的几何求值方法 11RiiPijsX sMs思索s=s1的拉普拉斯变换值简单看：该数值等于s=s1与各零点构成的向量的乘积除以该点与极点构成的向量的乘积几何求值2022-1-30信号分析与处置-变换域处置22傅里叶变换的几何求值方法 12121,Re X sss12221411()XjjX j讨论一下对于 1,Re 0X sss回想傅里叶变换的收敛性，P207几何求值法的用途往往在于用它察看系统的整体特性，如后面引见2022-1-30信号分析与处置-变换域处置23一阶系统)()()(txtyd

5、ttdy一阶系统微分方程通常表达为一阶系统频率呼应为：11)(jjH单位冲击呼应为：阶跃呼应为：)(1 )(*)()()(1)(tuetuthtstuethtt 为时间常数， 越小，冲击呼应衰减越快。 的拉氏变换为：)(th1-es ,11)(RssH1极点向量的模：随着 添加而单调下降 ：随着 添加单调从0下降 到)(jH22022-1-30信号分析与处置-变换域处置24二阶系统)()()(2)(2222txtydttdydttydnnn二阶系统线性常系数微分方程表达为系统频率呼应为：)( 1)(2)(1)(2122cjcjjjjHnnn 为阻尼系数， 称为无阻尼自然频率n 欠阻尼： ，单位

6、冲击呼应是衰减的振荡 过阻尼： ，单位冲击呼应缓慢接近最终值 临界阻尼：10其中112121nnnncc112022-1-30信号分析与处置-变换域处置25二阶系统的零极点几何分析nnn21n11012022-1-30信号分析与处置-变换域处置26全通系统全通系统：拉普拉斯变换在虚轴上恣意点的极点向量和零点向量的长度比值是常数，也就是说频率呼应的模是常数，与频率无关。称为全通系统全通系统的零极点关于虚轴对称n2022-1-30信号分析与处置-变换域处置27拉普拉斯变换性质n线性性质n假设干信号的线性组合的拉普拉斯变换等于各信号的拉普拉斯变换的线性组合n收敛域为至少包含各收敛域的交集n收敛域能够

7、超越各收敛域的交集 ,Lx tX sROCR2022-1-30信号分析与处置-变换域处置28线性性质举例Im-2-1Re-2ReS ,21)2)(1(1)()()(-1ReS ,)2)(1(1)(-1ReS ,11)()()()(212121sssssXsXsXsSsXSsXtxtxtxIm-1ReIm-2Re2022-1-30信号分析与处置-变换域处置29拉普拉斯变换性质n时移性质nS域频移n 留意：零点和极点也出现挪动，加上向量n时域尺度变换 00,Lstx tteX sROCR 000,Re Ls te x tX ssROCRs0s1,LsRx atXROCaaa 2022-1-30信号

8、分析与处置-变换域处置30拉普拉斯变换性质n共轭变换n从而，假设 为实函数，那么 零极点对称出现n卷积性质n举例 121212*,Lx txtXs XsROCRR *,LxtXsROCR )(tx)(sX12121( ),Re 222( ),Re 11( )( )1,sX ssssXsssX s XsROC 为整个平面2022-1-30信号分析与处置-变换域处置31拉普拉斯变换性质n时域微分n s能够会抵消一个极点n举例nS域微分n举例 ,Ldx tsX sROCRdt ,LdX stx tROCRds ( ), ( )u tt 21( ),Re Ltx tteu tss 2022-1-30信

9、号分析与处置-变换域处置32拉普拉斯变换性质n时域积分n ROC包括n初值和终值定理：当n可用于协助验证拉氏变换的正确性，如u(t) tLX sxds 0limsxsX s 0limlimtsx tsX s0ResR 0 x t 在 时刻不含奇异函数时2022-1-30信号分析与处置-变换域处置33拉普拉斯变换和LTI系统n原理nLTI的冲激呼应可以独一表征该系统n信号和其拉普拉斯变换一一映射n冲激呼应的拉普拉斯变换可以表征该系统的一切行为n拉氏变换与傅氏变换nH(s)称为系统函数或者转移函数。n重点研讨以下性质n因果性n稳定性2022-1-30信号分析与处置-变换域处置34拉普拉斯变换表征L

10、TI系统的性质n因果性n任何因果系统的系统函数的ROC是某个右半平面n有理系统函数的系统ROC位于右半平面和因果性是等价的思索哪些时域信号对应有理系统函数n稳定性n当且仅当系统函数H(s)的收敛域包含虚轴时，LTI系统是稳定系统n因果稳定系统n收敛域必需是包含虚轴的右半平面2022-1-30信号分析与处置-变换域处置35拉普拉斯变换与系统因果性n系统因果性质举例 1,Re 11Lth te u tss 因果系统 11,Re 11stLeeu tH sss 以上给出了一个非因果系统，但是符合收敛域为右半平面，可见收敛域包含右半平面非充要条件，仅仅为必要条件1Re1 ,12)()(2sssHeth

11、t非因果系统以上阐明有理系统函数的因果性和ROC的右边性的一致2022-1-30信号分析与处置-变换域处置36拉普拉斯变换与系统因果性及稳定性举例 112sH sssRes2,因果，非稳定系统2Res-1,非因果，稳定系统Res-1，反因果，非稳定系统n上述例子中，留意时域可积性和ROC能否包含虚轴的关系。n非有理系统函数也能够是稳定的。n对有理系统函数，判别其因果稳定性可经过极点位置n一切极点都位于左半平面，一个有理分式系统函数H(S)决议的因果系统才是稳定的2022-1-30信号分析与处置-变换域处置37因果稳定系统举例回想前面的二阶系统线性系统频率呼应为：)()(212cjcjjHn 当

12、 时，能否为因果稳定系统？ 当 时，能否为因果稳定系统？0其中112121nnnncc)()(21tueeMthtctc0ImRe2022-1-30信号分析与处置-变换域处置38拉普拉斯变换、微分方程和LTI系统nLTI系统的微分方程表示n对微分方程两边做拉普拉斯变换n单位冲击相应的拉普拉斯变换 00kkNMkkkkkkd y td x tabdtdt 00NMkkkkkka sY sb sX s 00NkkkNkkkb sH sa s利用该式可以对原系统进展分析；微分方程并未限制收敛域2022-1-30信号分析与处置-变换域处置39拉普拉斯变换、微分方程和LTI系统 32,tttx teu

13、ty teeu t系统冲激呼应和其他性质 11,Re3,Re1312X ssY sssss 312Y ssH sX sss由极点位置以及拉氏变换的卷积性质而推得系统函数的性质：因果稳定系统还可用微分方程方式来表达：)(3)()(2)(3)(2txdttdxtydttdydttyd2022-1-30信号分析与处置-变换域处置40拉普拉斯变换、微分方程和LTI系统n某LTI系统满足以下特征，确定系统函数？n系统是因果的n系统函数是有理分式，极点s=-2和s=4nx(t)=1,y(t)=0复指数信号的呼应n单位冲击呼应t=0+的值是4初值定理2022-1-30信号分析与处置-变换域处置41拉普拉斯变

14、换和LTI系统n一因果稳定系统，冲激呼应为h(t),系统函数为H(s)是有理分式，一个极点s=-2，原点处无零点，其他极点和零点位置未知。判别下述命题n1、F(h(t)e3t)收敛n2、h(t)的全时域积分为0n3、th(t)是一个因果稳定系统的单位冲激呼应n4、h(t)的微分的拉普拉斯变换至少有一个极点n5、h(t)是有限继续期的n6、H(s)=H(-s)n7、H(s)在正无穷的极限是-22022-1-30信号分析与处置-变换域处置42常见的一类LTI系统巴特沃兹滤波器预备知识n时域和频域的特性的一些引见。n傅里叶变换的模和相位表示n对于信号卷积n n线性与非线性相位n相移是 的线性函数，对

15、应被称作线性相位n群延时。n对线性相位，延时时移就是n非线性相位：)()()(jXjejXjX)()()(jHjXjY称为相移成为系统增益，)()(jHjH0()H jt 0tdjHd)()(2022-1-30信号分析与处置-变换域处置43常见的一类LTI系统巴特沃兹滤波器预备知识n非理想滤波器的时域和频域特性。n回想理想滤波器n通带边缘，通带起伏n阻带边缘，阻带起伏n过渡带。n过渡带和波纹的关系122022-1-30信号分析与处置-变换域处置44巴特沃兹滤波器nN阶低通butterworth滤波器频率呼应模平方。n 的极点n分析极点，分布在半径 的圆n极点永远不在虚轴上，N为奇数时，实数轴上

16、有极点。n相邻极点之间角度差是NcjjjB22)/(11)(cN)()(sBsBn B(s)的极点为左半圆上的极点，可用有理系统函数表达，也可用微分方程表达22) 12(Nks2022-1-30信号分析与处置-变换域处置45系统函数的代数属性与方框图nLTI系统的级联与并联n由微分方程和有理系统函数描画的因果LTI系统方框图。n 方框图表达方式n直接型n级联型n并联型 n例子23642)()2)(1(1)(32)( ,31)(22sssssHsssHsssHssH2022-1-30信号分析与处置-变换域处置46单边拉普拉斯变换引见n单边拉普拉斯变换特点n针对具有初值的非松弛系统n变换定义n单边

17、拉普拉斯变换和双边拉普拉斯变换的联络n任何一个t0,x(t)=0的信号单边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯变换结果一致n任何仅仅在t0时不一致的信号的单边拉普拉斯变换结果不具有可分性n单边拉普拉斯变换的收敛域一定在右半平面即s=-一定不在收敛域中 0stX sx t edt2022-1-30信号分析与处置-变换域处置47单边拉普拉斯变换举例 11 !nttx teu tn思索 的单边拉普拉斯变换该信号在t0时信号为0，因此其单边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯变换一致，于是： 11,Re1 !ntntx teu tsns UL2022-1-30信号分析与处置-变换域处置48单边拉普拉斯变换举例思索 双边变

18、换 单边变换该信号在t0时信号有部分不为0，因此其单边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯变换明显不一致 11,Re1stuLex teu tss aasetxaRes ,)(2022-1-30信号分析与处置-变换域处置49单边拉普拉斯反变换举例思索 如下单边拉普拉斯变换反变换：)2)(1(1)(sss反变换0 )()(2ttueetxtt23)(2sss思索 如下单边拉普拉斯变换21( )( )( )( ) 0tx ttu teu tt 2022-1-30信号分析与处置-变换域处置50单边拉普拉斯变换性质n单边拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的一个特例n双边拉普拉斯变换的性质均适用于单边拉普拉斯变换n单

19、边拉普变换是一个从0-开场的积分过程，因此涉及到积分和微分性质不同 0tuLXsxds 0uLdx tsXsxdt 000( )( )0stststdx tedtx t ex tedtdtsX sx2022-1-30信号分析与处置-变换域处置51单边拉普拉斯变换性质n单边拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的一个特例n收敛域：都是某右半个平面n卷积定理：只在t0时为0成立2022-1-30信号分析与处置-变换域处置52单边拉普拉斯变换运用n单边拉普拉斯变换对于求非0初始条件的微分方程很有用n n单边拉普变换如下：包含零形状呼应部分第三项和零输入呼应部分(第一、二项),()()0( ,)0()()(2

20、)(3)(22tutxyytxtydttdydttyd如)2)(1()2)(1()2)(1()3()(sssssssssY2022-1-30信号分析与处置-变换域处置53关于拉普拉斯变换的总结n拉普拉斯变换是傅立叶变换在整个复频域的推行n傅立叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例n拉普拉斯变换的收敛域性质n拉普拉斯变换与表征LTI系统因果性，稳定性n单边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯变换关系2022-1-30信号分析与处置-变换域处置54Z变换n拉普拉斯变换是延续时间傅立叶变换推行n离散时间傅立叶变换也该当有类似的推行和性质n离散时间LTI系统输入信号为zn，其输出序列为输入序列的倍数H(z)，该倍数仅

21、仅取决于hn和复指数znZ变换定义 nnX zx n z Zx nX z 2022-1-30信号分析与处置-变换域处置55Z变换nZ变换与傅立叶变换关系 jnnz reX zx n z jnjnnjnnnX rex n rex n re 离散时间傅立叶变换和Z变换的关系类似于延续时间傅立叶变换和拉氏变换的关系ImRe1jzeUnitary CircleZ变换和拉普拉斯变换一样，具有收敛域ROC问题，即 的傅里叶变换能否收敛可以看出，单位圆上能否收敛等效于傅立叶变换能否收敛 nx n r2022-1-30信号分析与处置-变换域处置56Z变换举例 nx na u n的Z变换 10nnnnnX za

22、 u n zazu n当|az-1|1时，X(z)收敛，于是： 1101,1nnX zazzaaz11Im1ImazazzazXnuanxnnn,11)(1)( 11012022-1-30信号分析与处置-变换域处置57Z变换 117632nnx nu nu n 11110011767611321132nnnnX zzzzz12z 1sin34nx nn u n 33114411121 31 3jjX zjezez31z2022-1-30信号分析与处置-变换域处置58Z变换收敛域nX(Z)的收敛域在Z平面内是以原点为中心的圆环n收敛性取决与 和 无关nROC内无任何极点n假设Xn是有限长序列，那

23、么收敛域为全平面，能够除了z=0和或z=n如累加上下限为N1, N2,当N10那么不含0和n如N1=0,含z=n如N2r0的有限z值都在收敛域中nxn是一个左边序列，假设|z|=ro在收敛域中，那么0|z|1，0b1/3,典型的右边序列 11243nnx nu nu n 1112,1/ 41/3111143X zzzzX(Z)的ROC在1/4|z|1/3,典型的双边序列 112143nnX zu nun 2022-1-30信号分析与处置-变换域处置67反Z变换的求取n幂级数方法nZ变换实践上是一个正幂级数和负幂级数的的和n一个单项的指数幂Zn0对应n+n0 21423,0X zzzz 4,22

24、,03,10,nnx nnotherwise 42231x nnnn2022-1-30信号分析与处置-变换域处置68反Z变换的求取aazzXz ,11)(1n对于变换式n可表达为幂级数n如n幂级数展开法对求取非有理反变换有用2211111zaazaz 1- , ,nuaaznuaaznn111( )log(1), 1( ) 1nnnnnX zazzaa zX znax nu nn 泰勒展开2022-1-30信号分析与处置-变换域处置69利用零极点图对傅立叶变换进展几何求值n延续时间傅立叶变换几何求值回想nS平面虚轴对应傅立叶变换n利用虚轴上的点对应零点向量和极点向量的幅度之比值为延续时间傅立叶

25、变换n离散时间傅立叶变换几何求值过程nZ平面单位圆对应离散时间傅立叶变换n利用单位圆上的点对应的零点向量和极点向量的幅度之比值为离散时间傅立叶变换2022-1-30信号分析与处置-变换域处置70离散时间傅立叶变换的几何求值 nh na u n一阶系统 的离散时间傅立叶变换 11,1zH zzaazza零点向量：je极点向量jeajjjeH eea 122112 cosH zrzr z二阶系统 的离散时间傅立叶变换sin) 1sin(nunrnhn12,jjzrezre2022-1-30信号分析与处置-变换域处置71Z变换性质1n线性性质n发生了零极点抵消，能够ROC会扩展。否那么ROC为两者相

26、交部分。n时移性质n能够会在ROC上引入或消除原点或无穷远点 111222,ZZx nXzROCRxnXzROCR 121212,Zax nbxnaXzbXzROCRR 00,Znx nnzX zROCR2022-1-30信号分析与处置-变换域处置72Z变换性质2nz域尺度变换n特例：当n变换为： ，表示在Z平面内的旋转n实践就是频移性质。普通情况下还要思索幅度变化。n时间翻转1,1/xnXROCRz00jez )(0zeXjRzzXnxzZn000zROC ),(2022-1-30信号分析与处置-变换域处置73Z变换性质3n时间扩展n时间扩展是内插入0值而获得的。n共轭n实序列零极点也共轭对

27、称出现 1/,ZkkkxnX zROCRRROC ),(*zXnx2022-1-30信号分析与处置-变换域处置74Z变换性质4卷积性质一种解释：两个Z变换的乘积，其多项式系数就是其各自系数的卷积。Z域微分 121212*,Zx nxnXz XzROCRR ,ZdX znx nzROCRdz2022-1-30信号分析与处置-变换域处置75Z变换性质4举例n求如下Z变换的反变换n 察看有：aazzXz ),1log()(1 1)(1 1)(1)(111nuannxnuaaazazdzzdXznnn求如下Z变换的反变换n有：aazazzXz ,)1 ()(211aazazazdzdznunanz ,

28、)1 ()11(21112022-1-30信号分析与处置-变换域处置76Z变换n初值定理 n对于一个序列假设xn=xnunn推证：思索级数的每一项的极限值。n推论：对因果序列，如x0是有限值，那么X(z)即有限。如X(z)的分子多项式阶数不能高于分母多项式。 0limzxX z2022-1-30信号分析与处置-变换域处置77利用Z变换分析和表征LTI系统n系统冲激呼应、输入信号和输出信号的Z变换关系n系统行为由冲激呼应独一确定和标志n系统函数和冲激呼应构成一一映射n系统函数可以确定系统行为和性质n系统行为可以由零极点和收敛域确认n根据零极点和收敛域也可以确认部分系统行为和性质 Y zX z H

29、 z2022-1-30信号分析与处置-变换域处置78系统函数和系统性质n系统因果性n因果系统冲激呼应hn=hnunn一个离散时间LTI系统当且仅当系统函数的收敛域在某个圆的外部，而且收敛域包含无穷n一个有理分式表达的系统函数H(z)是因果系统的充分必要条件n1、RoC位于最外层极点外边的某一个圆的外边n右边序列n2、H(z)的分母分子表示为多项式时，分子的阶次必需小于等于分母的阶次n收敛域包含无穷2022-1-30信号分析与处置-变换域处置79系统函数和系统性质 1111,211 212H zzzzROC位于最外层极点决议的圆外，容易知道是一个右边序列 1221155222251111 222

30、zzzH zzzzzH(z)分子分母写成z的多项式，分子的多项式次数不大于分母的多项式次数，因此收敛域包含无穷H(z)所代表的系统是因果的2022-1-30信号分析与处置-变换域处置80系统函数和系统性质n系统稳定性n单位冲激呼应绝对可和n单位冲激呼应的傅立叶变换收敛n系统函数n系统函数H(z)在单位圆上的结果就是离散傅立叶变换n系统稳定的充分必要条件：收敛域ROC包含单位圆|Z|=1 1111_,211 212H zzzz收敛域不包含单位圆，因此系统属于不稳定系统2022-1-30信号分析与处置-变换域处置81系统函数和系统性质举例n系统稳定性 1111_,211 212H zzzz收敛域不

31、包含单位圆，因此系统属于不稳定系统。假设： 那么，非因果，但是稳定。假设： 那么，非因果，也不稳定。221 z21z2022-1-30信号分析与处置-变换域处置82系统函数和系统性质nLTI系统的因果稳定性nH(z)的极点全部位于单位圆内n即全部极点的模均小于1时，系统是因果稳定的 111H zaz当|a|1时系统是因果稳定的 122112 cosH zrzr z12,jjzrezreImRer1r1ImRe2022-1-30信号分析与处置-变换域处置83线性常系数差分方程和系统函数nLTI系统的差分方程时域表达nLTI系统的系统函数表达00NMkkkka y nkb x nk 00MkkkNkkkb zY zH zX za z 00NMkkkkkka z Y zb zX z2022-1-30信号分析与处置-变换域处置84系统函数和系统性质举例一个系统输入是x1(n),输出是y1(n),分别是： 11111/6,10,23nnnx nu ny nau n aR当输入x2(n)=(-1)n,输出是y2(n)=7/4