圆周运动知识点及例题

1、匀速圆周运动知识点及例题二、匀速圆周运动的描述1线速度、角速度、周期和频率的概念（1） 线 速 度 v 是 描 述 质 点 沿 圆 周 运 动 快 慢 的 物 理 量 ， 是 矢 量 ， 其 大 小 为 v s 2 r ; tT 其方向沿轨迹切线，国际单位制中单位符号是 m/s；（2）角速度是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量，其大小为2 ；tT 在国际单位制中单位符号是 rad s；（3 ）周期 T 是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是 s ；（4）频率 f 是质点在单位时间内完成一个完整圆运动的次数，在国际单位制中单位符号是Hz ；（5）转速 n 是质点在单位时间内转

2、过的圈数，单位符号为 r s，以及 r min2、速度、角速度、周期和频率之间的关系 线速度、角速度、周期和频率各量从不同角度描述质点运动的快慢，它们之间有关系v r T 1f ，v 2 T ， 2 f 。由上可知，在角速度一定时，线速度大小与半径成正比；在线速度一定时，角速度大小与半径成反 比三、向心力和向心加速度1向心力 （1）向心力是改变物体运动方向，产生向心加速度的原因（2）向心力的方向指向圆心，总与物体运动方向垂直，所以向心力只改变速度的方向 2向心加速度（1）向心加速度由向心力产生，描述线速度方向变化的快慢，是矢量 （2）向心加速度方向与向心力方向恒一致，总沿半径指向圆心；向心加速

3、度的大小为公式：1. 线速度 Vs/t 2r/T2. 角速度 /t 2 /T 2 f3. 向心加速度 aV/r r （2 /T） r4. 向心力 F 心 mV2/r m2r mr（2/T） 2mv=F 合5. 周期与频率： T1/f6. 角速度与线速度的关系： Vr7. 角速度与转速的关系 2n（ 此处频率与转速意义相同 ）8. 主要物理量及单位：弧长 s: 米（m）；角度 ：弧度（ rad ）；频率 f：赫（ Hz）；周期 T：秒（ s）；转 速 n：r/s ；半径 r ：米（ m）；线速度 V：（m/s）；角速度 ：（rad/s ）；向心加速度：（m/s2）。二、向心力和加速度1、大小 F

4、 m r2）方向：总指向圆心，时刻变化3）物理意义：描向心加速度 a：（ 1）大小： a =2 f 2r述线速度方向改变的快慢。应用举例临界或动态分析问题）提供的向心力NN小球与半球球心连的v由此可得N绳GGFv 减小，内2、汽车过拱桥4、绳杆球1、火车转弯 离心运动 切线运动例：小球在半径为 R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图 线跟竖直方向的夹角）与线速度( mg0周期 T 的关系。mg随 v 的变化而变化。如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供 ,v 增加，外轨挤压，如果 轨挤压问题： 飞机转弯的向心力的来源需要的向心力 圆周运动 近心运动Fmg sin

5、= f 如果在最高点，那么此时汽车不平衡， mg N说明： Fmv2 / r 同样适用于变速圆周运动， F和 v 具有瞬时意义 补充 ：（抛体运动 ）3、圆锥问题，F这类问题的特点是 ：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最 小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重 力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨 论。弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有 即，否则不能通过最高点。弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有： ，否则车将离开桥面，做平抛运动。 弹力既可能向上又

6、可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠） 。这种情况下，速度大小 v 可以取任意 值。但可以进一步讨论：当时物体受到的弹力必然是向下的；当时物体受到的弹力必然是向上的； 当时物体受到的弹力恰好为零。当弹力大小 Fmg时， 向心力只有一解： F +mg；当弹力 F=mg时，向心力等于零。四、牛顿运动定律在圆周运动中的应用（圆周运动动力学问题）1向心力 （ 1）大小： （2）方向：总指向圆心，时刻变化2处理方法： 一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解， 其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向 力，只改

7、变速度的大小，不改变速度的方向。分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢， 切向加速度描述速度大小变化的快慢。做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：Fn=man在列方程时， 根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用等各 种形式）。【例 1】 如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负 电荷的小球从高 h的 A处静止开始下滑，沿轨道 ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到 电场力是其重力的 34，圆滑半径为 R，斜面倾角为 ，sBC=2R。若使小球在圆环内能作完整

8、的圆周运 动，h 至少为多少？ 解析：小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F，如图所示。可知 F，方向与竖直方向左偏下 37o，从图 6 中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过 D点，若恰好能通过 D 点，即达到 D 点时球与环的弹力恰好为零。由圆周运动知识得： 即： 由动能定理：联立、可求出此时的高度 h。 五、综合应用例析【例 2】如图所示， 用细绳一端系着的质量为 M=0.6kg 的物体 A 静止在水平转盘上， 细绳另一端通过转 盘中心的光滑小孔 O吊着质量为 m=0.3kg 的小球 B，A的重心到 O点的距离为 0.2m若 A与转盘间的最 大静摩擦力为 f =2

9、N，为使小球 B保持静止，求转盘绕中心 O旋转的角速度 的取值范围解析：要使 B静止，A 必须相对于转盘静止具有与转盘相同的角速度 A需要的向心力由绳拉力和 静摩擦力合成角速度取最大值时， A有离心趋势，静摩擦力指向圆心 O；角速度取最小值时， A 有向 心运动的趋势，静摩擦力背离圆心 O对于 B，T=mg对于 A，rad/s rad/s 所以 rad/s rad/s【例 3】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多） 在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点） A球的质量为 m1，B 球的质量为 m2它们沿环形 圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为

10、 v0设 A球运动到最低点时， B球恰好运动到最高点，若要 此时两球作用于圆管的合力为零，那么 m1、m2、R 与 v0 应满足的关系式是 解析：A球通过圆管最低点时，圆管对球的压力竖直向上，所以球对圆管的压力竖直向下若要此时两 球作用于圆管的合力为零， B 球对圆管的压力一定是竖直向上的， 所以圆管对 B 球的压力一定是竖直向下的最高点时根据牛顿运动定律 对于 A 球，对于 B球，又 N1=N2解得【例 5】如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的 A点由静止出发到 B点时撤去外力， 又沿竖 直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点 C，滑块脱离半圆形轨道后又 刚好落到原出发点

11、A，试求滑块在 AB段运动过程中的加速度 .解析：设圆周的半径为 R，则在 C点： mg=m 离开 C点，滑块做平抛运动，则 2Rgt 22 vCt sAB 22由 B到 C过程： mvC2/2+2 mgRmvB2/2 由 A到 B运动过程： vB22asAB 由式联立得到：a=5g4例 6 、如图所示， M 为悬挂在竖直平面内某一点的木质小球，悬线长为 V0射入球中而未射出，要使小球能在竖直平面内运动，且悬线不发生松驰， 条件。 分两种情况：(1) 若小球能做完整的圆周运动，则在最高点满足： 由机械能守定律得： 由以上各式解得： .(2) 若木球不能做完整的圆周运动，则上升的最大高度为 L

12、时满足： 解得： .所以，要使小球在竖直平面内做悬线不松驰的运动， V0应满足的条件是： 或1.图 42 11在观看双人花样滑冰表演时，观众有时会看到女运动员被男运动员拉着离开冰面在空中做水平方向的 匀速圆周运动已知通过目测估计拉住女运动员的男运动员的手臂和水平冰面的夹角约为45，重力加速度为 g10 m/s 2，若已知女运动员的体重为 35 kg ，据此可估算该女运动员 ( ) A受到的拉力约为 350 2 NB受到的拉力约为 350 NC向心加速度约为 10 m/s2D向心加速度约为 10 2 m/s 2解析：本题考查了匀速圆周运动的动力学分析以女运动员为研究对象，受力分析如图根据题意有

13、Gmg350 N；则由图易得女运动员受到的拉力约为 350 2 N ，A正确；向心加速度约为 10 m/s 2，C 正确答案： AC2.图 42 12 中央电视台今日说法栏目最近报道了一起发生在湖南长沙某区湘府路上的离奇交通事故 家住公路拐弯处的张先生和李先生家在三个月内连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八 次有辆卡车冲进李先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图 4212 所示交警根据图示作出以下判断，你认为正确的是 （ ） A由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动 B由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动C公路

14、在设计上可能内 （东）高外（西） 低D公路在设计上可能外 （西）高内（东） 低 解析：由题图可知发生事故时，卡车在做圆周运动，从图可以看出卡车冲入民宅时做离心运动，故选 项 A 正确，选项 B 错误；如果外侧高，卡车所受重力和支持力提供向心力，则卡车不会做离心运动， 也不会发生事故，故选项 C正确答案： AC3.图 42 13 （2010湖北部分重点中学联考 ） 如图 4213 所示，质量为 m的小球置于正方体的光滑盒子中， 盒子 的边长略大于球的直径某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为 R 的匀速圆周运动，已知重力加速 度为 g，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则（

15、）RRC盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于 D盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能大于A该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于 2B该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于 22mg2mg2mv解析：要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力， 则有 mg R ，解得该盒子做匀速圆周运动的速2 RR度 v gR，该盒子做匀速圆周运动的周期为 T v 2 g.选项 A错误， B正确；在最低点时，2 mv 盒子与小球之间的作用力和小球重力的合力提供小球运动的向心力，由Fmg R ，解得 F2mg，选项 C、 D错误答案：B4.图 42 14 如图 42 14 所示，半径为 r20 cm的

16、两圆柱体 A和 B，靠电动机带动按相同方向均以角速度 8 rad/s 转动，两圆柱体的转动轴互相平行且在同一平面内，转动方向已在图中标出，质量均匀的木棒 水平放置其上，重心在刚开始运动时恰在 B 的正上方，棒和圆柱间动摩擦因数 ，两圆柱体中心间 的距离 s1.6 m，棒长 l 2 m，重力加速度取 10 m/s2，求从棒开始运动到重心恰在 A 正上方需多长时 间？ 解析：棒开始与 A、B 两轮有相对滑动， 棒受向左摩擦力作用，做匀加速运动， 末速度 vr80.2 2 v 1 2m/s1.6 m/s，加速度 ag1.6 m/s2，时间 t 1 1 s，此时间内棒运动位移 s1 at 120.8

17、m此 a2后棒与 A、B无相对运动，棒以 vr做匀速运动，再运动 s2ABs10.8 m，重心到 A 正上方时间 t2sv s ，故所求时间 tt1t2 s.答案： s5图 42 15 在一次抗洪救灾工作中，一架直升机 A 用长 H50 m 的悬索(重力可忽略不计 )系住一质量 m50 kg 的被困人员 B，直升机 A和被困人员 B以 v010 m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，如图 4215 甲所示某时刻开始收悬索将人吊起，在 5 s 时间内， A、B之间的竖直距离以 l 50t 2(单位： m)的 规律变化，取 g10 m/s 2.(1) 求这段时间内悬索对被困人员 B 的拉力大小(2)

18、 求在 5 s 末被困人员 B 的速度大小及位移大小(3) 直升机在 t5 s 时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人员B尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，致使被困人员 B 在空中做圆周运动，如图乙 所示此时悬索与竖直方向成 37角，不计空气阻力，求被困人员 B 做圆周运动的线速度以及悬索对 被困人员 B的拉力 (sin 37 ， cos 37 解析： (1) 被困人员在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上被困人员的位移yHl50(50t 2) t 2，由此可知，被困人员在竖直方向上做初速度为零、加速度a2 m/s 2 的匀加速直线运动，由牛顿第二

19、定律可得 Fmgma，解得悬索的拉力 Fm(ga)600 N.(2) 被困人员 5 s 末在竖直方向上的速度为 vyat 10 m/s ，合速度 v v02vy210 2 m/s ，竖直方 1向上的位移 y 2at 25 m，水平方向的位移 xv0t 50 m，合位移 s x y 25 5 m.(3) t 5 s 时悬索的长度 l 50 y25 m，旋转半径 r l sin 37 ，由 mvr mgtan 37 ，解得 v 125 2 m/s. 此时被困人员 B 的受力情况如右图所示， 由图可知 Tcos 37 mg，解得 Tcos 37 625 N. 答案： (1)600 N (2)10 2

20、 m/s 25 5 m (3)625 N 6图 42 26 如图 4226 所示，小球从光滑的圆弧轨道下滑至水平轨道末端时， 光电装置被触动， 控制电路会使 转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来转筒的底面半径为R，已知轨道末端与转筒上部相平，与转筒的转轴距离为 L，且与转筒侧壁上的小孔的高度差为 h；开始时转筒静止，且小孔正对着轨道方 向现让一小球从圆弧轨道上的某处无初速滑下，若正好能钻入转筒的小孔( 小孔比小球略大， 小球视为质点，不计空气阻力，重力加速度为 g) ，求：(1) 小球从圆弧轨道上释放时的高度为 H；(2) 转筒转动的角速度 .12 解析： (1) 设小球离开轨道进入小孔的时间

21、为 t ，则由平抛运动规律得 h2gt2，LRv0t12小球在轨道上运动过程中机械能守恒，故有 mgH 12mv20联立解得： t2gh，H(L4hR) .所以(2) 在小球做平抛运动的时间内，圆筒必须恰好转整数转，小球才能钻进小孔， 即t 2n(n 1,2,3 ) ( LR) 2 答案： (1) 4h(2) n圆周运动的应用专题 知识简析 一、圆周运动的临界问题1. 圆周运动中的临界问题的分析方法 首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方 程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值2. 特例（ 1）如图所示，没有物体支撑的小

22、球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况： 注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用： mg=m2v/R v 临界=（可理解为恰好转过或恰好转不过的 速度） 注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作 为向心力，此时临界速度 V 临 能过最高点的条件： v，当 V时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力 不能过最高点的条件： VV临界 （实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）（2）如图（ a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况： 注意： 杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力 当 v0 时，N

23、mg（N为支持力） 当 0vN0，N为支持力 当 v=时， N0当 v时，N为拉力，N随 v的增大而增大（此时 N为拉力，方向指向圆心）注意：管壁支撑情况与杆子一样若是图（ b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动因为轨道对小球不能产生拉力注意： 如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的 合力等于向心力，此时临界速度 。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。水流星模型 （ 竖直平面内的圆周运动 ） 竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。 （ 圆周 运动实例 ） 火车转弯 汽车过拱桥、凹桥 3飞机做

24、俯冲运动时，飞行员对座位的压力。物体在水平面内的圆周运动 （汽车在水平公路转弯， 水平转盘上的物体， 绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端 旋转）和物体在竖直平面内的圆周运动（翻滚过山车、水流星、杂技节目中的飞车走壁等） 。万有引力卫星的运动、 库仑力电子绕核旋转、 洛仑兹力带电粒子在匀强磁场中的偏转、 重力与弹力的 合力锥摆、（ 关健要搞清楚向心力怎样提供的）1）火车转弯 ：设火车弯道处内外轨高度差为 h，内外轨间距 L，转弯半径 R。由于外轨略高于内轨，使得火车所受重力和支持力的合力 F合 提供向心力。 当火车行驶速率 V等于 V0时， F合=F向，内外轨道对轮缘都没有侧压力 当火车行驶

25、V大于 V0时， F合F向，外轨道对轮缘有侧压力， F合+N=mv2/R当火车行驶速率 V小于 V0时， F合F向，内轨道对轮缘有侧压力， F合-N=mv 2/R即当火车转弯时行驶速率不等于 V0时，其向心力的变化可由内外轨道对轮缘侧压力自行调节，但调节程度不宜过大，以免损坏轨道 （2） 无支承 的小球，在竖直平面内作圆周运动过最高点情况： 临界条件：由 mg+T=m2v/L 知，小球速度越小，绳拉力或环压力 T越小， 但 T的最小值只能为零， 此时小球以重力为向心力， 恰能通过最高点。 即mg=mv临2/R 结论：绳子和轨道对小球没有力的作用（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度），只有重力作

26、向心力，临界速度临= 能过最高点条件： V V临（当 V V临时，绳、轨道对球分别产生拉力、压力） 不能过最高点条件： VV临（ 实际上球还未到最高点就脱离了轨道）最高点状态 : mg+T1=mv高2/L （ 临界条件 T1=0, 临界速度 V临=, V V临才能通过 ）2 2 2最低点状态 : T2- mg = mv 低2/L高到低过程机械能守恒 : 1/2mv低2= 1/2mv高2+ mghT2- T 1=6mg（g可看为等效加速度 ）半圆： mgR=1/2m2v T-mg=mv 2/R（3） 有支承 的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点情况：临界条件：杆和环对小球有支持力的作用当V=0时

27、， N=mg（可理解为T=3mg小球恰好转过或恰好转不过最高点）2 恰好过最高点时，此时从高到低过程 mg2R=1/2m2v 低点： T-mg=m2v/R T=5mg 注意物理圆与几何圆的最高点、最低点的区别 （以上规律适用于物理圆 , 不过最高点 , 最低点, g 都应看成等效的 ）2解决匀速圆周运动问题的一般方法1）明确研究对象，必要时将它从转动系统中隔离出来。2）找出物体圆周运动的轨道平面，从中找出圆心和半径。3）分析物体受力情况，千万别臆想出一个向心力来。4）建立直角坐标系（以指向圆心方向为 x 轴正方向）将力正交分解5） 3. 离心现象离心运动概念 ：做匀速圆周运动的物体，在所受合力

28、突然消失或者不足于提供圆周运动的所需的向 离心心力的运情动况下的，条就做件逐渐:远离提圆供心给的物运体动做，圆这周种运运动动的称向作心为力离不心足运或动消失。（ 离心运动两种现象 ） 当 F 合 = 0 时，物体沿切线方向飞出。22v 当 F 合m2r 或 F 合m 时，物体逐渐远离圆心。r离心现象的本质 物体惯性的表现 “远离” 不能理解为沿半径方向 “背离心现的实例 : 用提供的力与需要的向心力的关系角度解释离心现象应用: 雨伞、链球、洗衣机脱水筒脱水、离心分离器、离心干燥器、离心测速计等离心运动的应用和防止措施 :应用:增大线速度 v 或角速度；减小提供的向心力 F供防止 : 减小线速度 v、角速度或转速；增加