高考数学专题复习讲练测——专题七 直线与平面 专题复习讲练 3 三垂线定理

1、§3三垂线定理一、复习要点1三垂线定理及其逆定理是解决垂直问题的重要工具.运用三垂线定理及其逆定理的规律为：确定平面作出垂线找到斜线联成射影查面内线；其关键是确定平面及平面的垂线2本节的重点是三垂线定理的应用用于： 立体几何的计算问题，如求空间的一点到平面内的某一直线的距离，求不在同一平面内的两条平行直线间的距离，求两条异面直线所成的角等； 立体几何的证明问题，如线线垂直、线面垂直、面面垂直等； 二面角问题，主要是构作二面角的平面角 3结合基础复习讲练测第九章的“三垂线定理”一节，体会对于“非标准”位置运用定理的灵活性 二、例题讲解 例1如图7-20，在四棱锥P-ABCD中，底面AB

2、CD是正方形，边长AB=a，且PD=a,PA=PC=a. 图7-20（1）求证：PD平面ABCD；（2）求异面直线PB与AC所成角的大小；（3）求二面角APBD的大小讲解：欲证PD平面ABCD，只需证PD垂直于平面ABCD内的两条相交直线而题设中的已知量都是线段的长，故可考虑用勾股定理的逆定理求异面直线PB与AC所成的角，我们应首先考虑它们是否具有特殊关系垂直欲求二面角APBD的大小，首先作出它的平面角，当然也可以利用面积射影定理计算（1）证明略（2）连结BD.ABCD是正方形，BDAC，又PD平面ABCD，BD是PB在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得PBAC，故异面直线PB与AC所成的角

3、为90°（3）设AC交BD于O.ACBD，ACPD，AC平面PBD.作OEPB于E，连结AE，则由三垂线定理知AEPBAEO为二面角A-PB-D的平面角，容易求得AEO60° 例2如图7-21，在矩形ABCD中，已知1，PA平面，且1图7-21（1）在BC边上是否存在点Q，使得PQ？并说明理由； （2）若BC边上有且仅有一个点Q，使，试求与平面所成角的正弦 讲解：本例第（1）问是一道“是否存在型”探索性问题首先假设存在点，使得，然后根据这个假设进行正确的推理和验证若能找出点Q在BC上的位置，说明存在，否则就不存在 第（2）小题，可结合（1）中的结论找出线面角，通过解三角形求

4、得其值 （1）假设存在点，使得 平面ABCD， 设BQ，则 由，得 1（）1，即10 其判别式为4 当2时，0，方程有一解，即存在一个点Q，使； 当2时，0，方程有两解，即存在两个点Q，使得； 当02时，0，方程无实根，即不存在点Q，使得 （2）当BC边上仅有一个点Q，使得时，可知2，为BC的中点 ， 平面平面A 过A作，垂足为E，则平面， 故为AD和平面所成的角 在中，·（1·）（3） 在AED中，（）（6） 将点的存在性问题转化为方程根的讨论问题来处理，思路显得自然、流畅，方法独特而简捷 例3如图7-22，在斜三棱柱-中，已知侧面为矩形，侧棱与底面成30°角，

5、底面三角形ABC的面积是截面的面积的2倍，求二面角-的大小图7-22讲解：从为矩形入手，由于，从而BC，这不仅为应用三垂线定理创设了条件，也为作出二面角的平面角奠定了基础解题的关键在于过作平面ABC，其他的已知条件便可以顺理成章地加以应用 是矩形， 又，作平面，垂足为O，连AO交BC于D，根据三垂线定理的逆定理可得连A，再根据三垂线定理可得是所求二面角的平面角，且是侧棱与底面所成的角，30°又2，（12）·2·（12）·，2在中，（30°）（），可得1 90°，60°故二面角-为60° 三、专题训练 1表示一个平面

6、，表示一条直线，则内至少有一条直线与（）互相平行互相垂直 相交但不垂直是异面直线2BC是的斜边，AP平面ABC，连结PB、PC，作PDBC，垂足为D，连结AD，则图7-23中共有直角三角形（）图7-234个B6个 C7个D8个 3在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三个面（） 至多只能有一个直角三角形 至多只能有两个直角三角形 可能都是直角三角形 一定都不是直角三角形 4平面内有一个半径为a的圆O，OP且OP=a,PA为的一条斜线，PA=2a（A），B为圆O上的任意一点，则PA在内的射影与AB所成角中的最大角的正弦值为（） A（12）B（3）C（2）D（2）5如图7-24，

7、在直四棱柱ABCD-ABCD中，当底面ABCD满足条件_时，有ACBD图7-246O是正ABC的中心，PO平面ABC.若POa,则PA与平面ABC所成的角为_；P到直线BC的距离为_ 7如图7-25，S是四边形ABCD所在平面外一点，为了推出，还需要从下述条件中选出一些条件来图7-25平面； ； ； 平面SAB； BC； 平面； 平面； 比如，选为条件，有；又如选，为条件，有现要求推理至少用到两条定理，推理的格式为：_（写出两个正确的推理过程） 8如图7-26，在梯形ABCD中，ADBC，ABC（2），ABa,AD3a,并且ADCarcsin（5）,又PA平面ABCD，PA=a，求二面角P-的正切值图7-269如图7-27，圆柱的轴截面是正方形ABCD，底