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文档简介
1、不等式的平面区域问题和基本不等式【知识精讲】理解不等式所表示的区域,并能做出不等式组表示的区域,同时要学习会求线性规划的最优解。掌握基本不等式的成立条件,运用其求最值问题。【基础梳理】二元一次不等式1、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是的不等式2、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组3、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对,所有这样的有序数对构成的集合4、在平面直角坐标系中,已知直线,坐标平面内的点若,则点在直线的上方若,则点在直线的下方5、在平面直角坐标系中,已知直线若,则表示直线上方的区域;表示直线下方的区域若,则表示直线下
2、方的区域;表示直线上方的区域6、线性约束条件:由,的不等式(或方程)组成的不等式组,是,的线性约束条件目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量,的解析式线性目标函数:目标函数为,的一次解析式线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解:满足线性约束条件的解可行域:所有可行解组成的集合最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解7.几个重要不等式(1)(2)(当仅当a=b时取等号)(3)如果a,b都是正数,那么 (当仅当a=b时取等号)极值定理:若则:如果P是定值, 那么当x=y时,S的值最小; 如果S是定值, 那么当x=y时,P的值最大. 利用极值定理求最值的必要条
3、件: 一正、二定、三相等. (当仅当a=b=c时取等号)(当仅当a=b时取等号)(7)4.几个著名不等式 (1)平均不等式: 如果a,b都是正数,那么 (当仅当a=b时取等号)即:平方平均算术平均几何平均调和平均(a、b为正数):特别地,(当a = b时,)幂平均不等式:注:例如:.【要点解读】要点三 线性区域问题【例3】设变量x,y满足约束条件则目标函数z=4x+2y的最大值为(A)12 (B)10 (C)8 (D)2【命题立意】本题主要考查目标函数最值的求法,属于容易题【标准解析】做出可行域,如图由图可知,当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点(2,1)时z取得最大值10.【误区警示】【
4、答案】B【变式训练】设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )A B4 C D2【标准解析】由题意知,所求的的最小值,即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的平面区域,如图所示,可看出点(1,1)到直线的距离最小,故的最小值为,所以选B。【技巧点拨】作图要求准确,这样就可以借助于图像得到结果。【答案】B要点四 基本不等式的运用【例4】已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是A. 3 B. 4 C. D. 【命题立意】考察均值不等式的运用【标准解析】先根据已知表达式,把所
5、求的化为关于变量的不等式【误区警示】【答案】C,整理得 即,又,【变式训练】设,则的最小值是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4w_w w. k#s5_u.c o*m【标准解析】【原创题探讨】【原创精典1】(2010上海文)15.满足线性约束条件的目标函数的最大值是 ( )(A)1. (B). (C)2. (D)3.【答案】 C【解析】:当直线过点B(1,1)时,z最大值为2【原创精典2】(2010浙江理)(7)若实数,满足不等式组且的最大值为9,则实数(A) (B) (C)1 (D)2【答案】 C【解析】:将最大值转化为y轴上的截距,将m等价为斜率的倒数,数形结合可知答案选C,本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题【原创精典3】(2010重庆理数)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是A. 3 B. 4 C. D. 【答案】 B【解析】:考察均值不等式,整理得 即,又,【原创精典4】(2010四川理)设,则的最小值是(A)2 (B)4 (C) (D)5新动向前瞻【样题1】若对任意,恒成立,则的取值范围是_【答案】【解析】因为,所以(当且仅当时取等号),所以有,即的最大值为,故。【样题2】已知,则函数的最小值为_【答案】-2【解析】,当且仅当时,.【样题4
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