高等数学第07章(微分方程习题)

1、 8 * 、微分方程 y ln xdx = x ln ydy 满足初始条件 y (A ln 2 x + ln 2 y = 0 (C ln 2 x = ln 2 y (B ln 2 x + ln 2 y = 1 (D ln 2 x = ln 2 y + 1 x =1 = 1 的特解是（ ） 三、求下列方程的通解或特解： 1、 dy = e x+ y dx 2、 x 2 dy = (y 2 - xy + x 2 )dx 4、 dy + y = e -x dx x x æ ö æ xö y ÷ ç 1- ÷ 3、 1 + 2e d

2、x + 2e y ç ç ÷dy = 0 ç ÷ y è ø è ø 5、 x dy - 2y = 2x dx 6、 dy 1 = 2 dx x + y 2 7、 y ¢¢ - y ¢ - 2 y = 0 y ¢¢ - 2 y ¢ + 5 y = e x sin 2 x 9、 8、 y ¢¢ + 5 y ¢ + 6 y = 2e - x 10、 y ¢¢ - 8 y ¢ + 16 y =

3、 e 4 x , y (0) = 0, y ¢(0) = 1 11、 y ¢¢ - 3 y ¢ - 4 y = 0, y (0) = 0, y ¢(0) = -5 （1）f ¢( x = f ¢¢( x ； （2）f (0 = 1, f ¢(0 = 2 ， 四、 已知函数 f (x )(- ¥ < x < ¥ ) 满足 求 f (x ) 。 五、求方程 y ¢¢ - y = 0 的积分曲线，使其在点 (0,0 处与直线 y = x 相切。 已知某曲线经过

4、点 (1,1 ， 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横 六*、 坐标，求它的方程。 答案 习题一 一、1、3 y = cx 4 2、0 3、 y ¢ - y = 0 4、 y ¢ + 2 y = 2 x 5、 6、 y = 2e x - 1 二、1、 y = e 3、 e y = tan x 2 7、3 8、 y ¢ = - x y 2、 (1 + e x )sec y = 2 2 1 2x e +1 2 2 - ( ) 4、 cos x - 2 cos y = 0 2、 arcsin y = arcsin x + c 5、 y + y 2 - x 2 = cx 2

5、 3、 y = e cx 6、 y = xe cx +1 三、1、 1 + y = ce 1 a 1 b 1 x 4、 e ax + e -by = c 四、特解 y = 2 x - e x 习题二 一、1、 Y (x ) + y * (x ) 2、 p(x ) = xe - x - x, y = e x + c exp(x + e - x ) 3、 u = , y du dx y = , ln = cx + 1 x u (ln u - 1) x x 1 dx æ 1 1 ö 1 4、 + ç - ÷ x = - , x = cye y - y 2 &#

6、231; ÷ dy è y yø y 二、1、 e = c(1 + e y2 x 2 ) 2、 y = x arcsin(cx ) 1 3 3 2 x2 + y2 3、 =1 x+ y 三、1、 y = x(cos x + c ) 3、 y = (x + c )e - sin x 四、 y = 2(e x - x - 1) 2、 y = x 2 + x + 2 + 、 4、 5 x + 2 y 3 = c y c x 习题三 一、1、 y = c1 sin x + c 2 cos x 3、 y = (c1 + c2 x )e -2 x 5、 y ¢

7、62; - 2 y ¢ + 5 y = 0 7、 (a + bx )e x 9、 p = 2, q = 2, f (x ) = x + 1 二、1、 y = c1e x + c2 e -2 x 3、 y = (c1 + c 2 x )e 5、 y = c1 + c2 e 4 x 三、 1、y = c1e - x + c 2 e -4 x + 3、 y = c1 + c 2 e 5 - x 2 2x 2、 y = e 2 (c1 cos 7 x + c 2 sin 7 x ) 1 x 4、 y = c1e x + c 2 e 6 x 6、 y = c1e 3 x + c 2 e 4 x

8、 8、 y = c1 (e x - x ) + c 2 (e - x - x ) + x 10、 y1 (x ) + y 2 (x ) 2、 y = c1 cos x + c 2 sin x 4、 y = c1 + c 2 e x 2 6、 y = e -3 x (c1 cos 2 x + c 2 sin 2 x ) 11 1 - x 8 2 2、y = c1 + c 2 xe 3 x + x x2 æ 1 ö 3x ç x + 1÷ e 2 è3 ø 1 3 7 + x3 - x2 + x 3 5 25 4、 y = c1e 2 +

9、 c2 e - x + e x 四、1、 y = 4e x + 2e 3 x 3、 y = cos 5 x + sin 5 x 五、1、 y = e x - e - x + xe x (x - 1) 2、 y = -5e x + e 2 x + 1 3 7 2 5 2 1 3 2、 y = 3e -2 x sin 5 x 4、 y = (2 + x )e - x 2 3、 y = - cos x - sin x + sin 2 x 习题四 一、1、 y = c1e x + c 2 e 2 x 4、 xy ¢ - 2 y = 0 二、1、D 8、C 2、C 2、 e -2 x (a c

10、os x + b sin x ) 5、 sin 3、A y = cx x 3、 3 6、 tan y = ln cx x 4、A 5、A 6、C 7、B 三、1、 e x + e - y = c 3、 x + 2 ye + c 5、 y = cx 2 - 2 x 7、 y = c1e 2 x + c2 e x 1 4 x y 2、 (x - y ) ln cx = x 4、 y = e - x ( x + c ) 6、 x = (e y - cy + 1) 2 8、 y = c1e -2 x + c 2 e -3 x + e - x 9、 y = e x (c1 cos 2 x + c 2 sin 2 x ) - xe x cos