MATLAB 一对同号点电荷电场的研究

1、一对同号点电荷电场的研究湖南大学 XX院系 XX 专业 XX年级姓名 学号问题(1)两个同号点电荷带电量分别为Q1和Q2，相距为2a，画出二维电场线和等势线。 (2)画出两个等量同号点电荷的电场强度的两个分量Ex和Ey关于坐标x和y的曲面，当y或x一定时，画出Ex和Ey的随x或y变化的曲线簇。数学模型(1)如图1所示，等量同号点电荷在场点P(x,y)产生的电势为kQkQU=1+2， (1)r1r2其中r1=(2a) r2= (2b)电场强度可根据电势梯度计算E = -U， (3)其中，劈形算符为图1=在xy平面上，场强只有两个分量i+j+k。 (4) xyzU， (5a) xEx=-Ey=-M

2、ATLAB有计算梯度的指令，可直接计算梯度。为了便于数值计算，电势可化为U。 (5b) yU=U0*， (1*)其中，x* = x/a，y* = y/a，U0 = kQ1/a，q* = Q2/Q1。U0是Q1在原点产生的电势，q*是电荷比。场强可表示为U0U*U， Ex=-=-xa(x/a)U*即 Ex=-E0， (5a*) *x其中，E0 = U0/a，U* = U/U0。同理可得U*Ey=-E0*， (5b*) y电场强度可通过约化电势计算。电场线可根据电场强度绘制。电场线从正电荷发出，当电场线的起点离电荷很近时，可认为起点绕电荷是均匀分布的。程序P1.m如下。%同号点电荷对的电场线和等势

3、线clear %清除变量q=1; %电量比xm=2.5; %横坐标范围ym=2; %横坐标范围x=linspace(-xm,xm); %横坐标向量y=linspace(-ym,ym); %纵坐标向量X,Y=meshgrid(x,y); %设置坐标网点R1=sqrt(X+1).2+Y.2); %第一个正电荷到场点的距离R2=sqrt(X-1).2+Y.2); %第二个正电荷到场点的距离U=1./R1+q./R2; %计算电势u=1:0.5:4; %等势线的电势向量figure %创建图形窗口contour(X,Y,U,u) %画等势线grid on %加网格legend(num2str(u

4、9;) %图例hold on %保持图像plot(-xm;xm,0;0) %画水平线plot(0;0,-ym;ym) %画竖直线plot(-1,0,'o','MarkerSize',12) %画第一个正电荷plot(1,0,'o','MarkerSize',12) %画第二个正电荷Ex,Ey=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1);%用电势梯度求场强的两个分量dth1=20; %左边电场线角度间隔th1=(dth1:dth1:180-dth1)*pi/180; %电场线的起始角度r0=0.1; %电场线起点

5、半径x1=r0*cos(th1)-1; %电场线的起点横坐标y1=r0*sin(th1); %电场线的起点纵坐标streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1) %画左上电场线streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x1,-y1) %画左下电场线dth2=dth1/q; %右边电场线角度间隔th2=(180-dth2:-dth2:dth2)*pi/180; %电场线的起始角度x2=r0*cos(th2)+1; %电场线的起点横坐标y2=r0*sin(th2); %电场线的起点纵坐标streamline(X,Y,Ex,Ey,x2,y2) %画右上电场线streamline(X,-Y,

6、Ex,-Ey,x2,-y2) %画右下电场线axis equal tight %使坐标刻度相等title('同号点电荷的电场线和等势线','fontsize',20)%显示标题xlabel('itx/a','fontsize',16) %显示横坐标ylabel('ity/a','fontsize',16) %显示纵坐标text(-xm,ym-0.5,'电势单位:itkQrm_1/ita','fontsize',16)%显示电势单位txt='电荷比:itQrm_

7、2/itQrm_1=' num2str(q);%电荷比文本text(-xm,-ym+0.5,txt,'fontsize',16) %显示电荷比图解(1)如图2所示，电场线从正电荷出发，终止在无穷远处。电场线与等势线垂直，任何两条电场线都不相交。(2)电势较高的等势线分别包围着电荷，电势较低等势线包围着两个电荷。电场强度大的地方，电场线较密，等势线也较密。(3)当两个电荷的电量相等时，电场线和等势线对中垂线是对称的。当两个电荷的电量不相等时，电场线和等势线对中垂线都不对称，如图3所示，但是电场线与等势线仍然垂直。图2 图3数学模型(2)设两个点电荷的电量为Q，场点P(x,

8、y)的场强的x分量为Ex=场强的y分量为 kQkQcos+cos2， 122r1r2Ey=利用三角关系得 kQkQsin+sin2。 122r1r2Ex=kQ(x+a)kQ(x-a)+， (6a) 223/2223/2(x+a)+y(x-a)+yEy=kQykQy。 (6b) +223/2223/2(x+a)+y(x-a)+y可见：Ex是x的奇函数，是y的偶函数；Ey是x的偶函数，是y的奇函数。Ex和Ey的空间分布比较复杂，需要通过曲面和曲线显示其分布规律。取E0 = kQ/a2为电场强度单位，则电场强度的分量可表示为x*+1x*-1Ex=E0+， (6a*) (x*+1)2+y*23/2(x

9、*-1)2+y*23/2Ey*y*y=E0(x*+1)2+y*23/2+(x*-1)2+y*23/2。程序P2.m如下。%等量同号点电荷对的电场强度分量的曲面和电场强度分量的曲线簇clear %清除变量r13='(x+1).2+y.2).(3/2)' %场点到左边端点的距离的三次方字符串 r23='(x-1).2+y.2).(3/2)' %场点到右边端点的距离的三次方字符串 Ex=inline('(x+1)./' r13 '+(x-1)./' r23);%场强的x分量内线函数 Ey=inline('y./' r13

10、 '+y./' r23); %场强的y分量内线函数fs=16; %字体大小xm=3; %横坐标范围ym=2.5; %纵坐标范围x=linspace(-xm,xm,50); %横坐标向量y=linspace(-ym,ym,40); %纵坐标向量(绕过奇点)X,Y=meshgrid(x,y); %设置坐标网点figure %创建图形窗口surf(x,y,Ex(X,Y) %画曲面box on %加框title('等量同号点电荷场强itxrm分量曲面','fontsize',fs)%显示标题 xlabel('itx/a','fon

11、tsize',fs) %显示横坐标ylabel('ity/a','fontsize',fs) %显示纵坐标zlabel('itE_x/kQarm-2','fontsize',fs)%显示高坐标axis tight %紧贴轴figure %创建图形窗口surf(x,y,Ey(X,Y) %画曲面box on %加框title('等量同号点电荷场强ityrm分量曲面','fontsize',fs)%显示标题 xlabel('itx/a','fontsize',fs)

12、 %显示横坐标ylabel('ity/a','fontsize',fs) %显示纵坐标zlabel('itE_y/kQarm-2','fontsize',fs)%显示高坐标axis tight %紧贴轴x=linspace(0,xm,500); %较密的横坐标向量(绕过奇点) y=linspace(0,ym,400); %较密的纵坐标向量4 (6b*)X,Y=meshgrid(x,y); %设置坐标网点Exxmax,iExxmax=max(Ex(X,Y),2); %求横向(各行)极大值和下标(为了画峰值线)Exxmin,iExxm

13、in=min(Ex(X,Y),2); %求横向(各行)极小值和下标(为了画峰值线)Eyym,iEyy=max(Ey(X,Y); %求纵向(各列)极大值和下标(为了画峰值线)Eyxm,iEyx=max(Ey(X,Y),2); %求横向(各行)极大值和下标(为了画峰值线) yy=0:1/3:2; %较稀的纵坐标向量作参数X,Y=meshgrid(x,yy+sqrt(eps); %设置坐标网点n=length(yy); %纵坐标的个数figure %创建图形窗口plot(x,Ex(X,Y) %画曲线簇legend(repmat('ity/arm=',n,1) strtrim(rats

14、(yy')%图例grid on %加网格title('等量同号点电荷场强itxrm分量与横坐标的关系','fontsize',fs)%显示标题 xlabel('itx/a','fontsize',fs) %显示横坐标ylabel('itE_x/kQarm-2','fontsize',fs)%显示纵坐标axis(0,xm,-4,4) %坐标范围hold on %保持图像plot(x(iExxmax),Exxmax,'r-.') %画极大值曲线Exxmax,iExxmax=max

15、(Ex(X,Y),2); %求横向(各行)极大值和下标stem(x(iExxmax),Exxmax,'-') %画极大值杆图plot(x(iExxmin),Exxmin,'r-.') %画极小值曲线Exxmin,iExxmin=min(Ex(X,Y),2); %求横向(各行)极小值和下标stem(x(iExxmin),Exxmin,'-') %画极小值杆图figure %创建图形窗口plot(x,Ey(X,Y) %画曲线簇legend(repmat('ity/arm=',n,1) strtrim(rats(yy')%图例g

16、rid on %加网格title('等量同号点电荷场强ityrm分量与横坐标的关系','fontsize',fs)%显示标题 xlabel('itx/a','fontsize',fs) %显示横坐标ylabel('itE_y/kQarm-2','fontsize',fs)%显示纵坐标axis tight %贴轴hold on %保持图像plot(x(iEyx),Eyxm,'r-.') %画极大值曲线Eyxm,iEyx=max(Ey(X,Y),2); %求横向(各行)极大值和下标ste

17、m(x(iEyx),Eyxm,'-') %画极大值杆图xx=0:1/3:2; %较稀的横坐标向量作参数X,Y=meshgrid(xx,y+sqrt(eps); %设置坐标网点n=length(xx); %横坐标的个数figure %创建图形窗口plot(y,Ex(X,Y) %画曲线簇legend(repmat('itx/arm=',n,1) strtrim(rats(xx')%图例grid on %加网格title('等量同号点电荷场强itxrm分量与纵坐标的关系','fontsize',fs)%显示标题 5xlabel(

18、'ity/a','fontsize',fs) %显示横坐标ylabel('itE_x/kQarm-2','fontsize',fs)%显示纵坐标figure %创建图形窗口plot(y,Ey(X,Y) %画曲线簇legend(repmat('itx/arm=',n,1) strtrim(rats(xx')%图例grid on %加网格title('等量同号点电荷场强ityrm分量与纵坐标的关系','fontsize',fs)%显示标题 xlabel('ity/a

19、9;,'fontsize',fs) %显示横坐标ylabel('itE_y/kQarm-2','fontsize',fs)%显示纵坐标axis(0,ym,0,4) %坐标范围hold on %保持图像plot(y(iEyy),Eyym,'r-.') %画极大值曲线Eyym,iEyy=max(Ey(X,Y); %求纵向(各列)极大值和下标 stem(y(iEyy),Eyym,'-') %画极大值杆图图解(1)如图4所示，点电荷场强的分量Ex在电荷附近特别大。在点电荷附近的右侧，Ex的方向沿x轴正向，在点电荷附近的左侧

20、，Ex的方向沿x轴负向，因此在点电荷的右侧形成高峰，左侧形成深谷。(2)如图5所示，点电荷场强的分量Ey在电荷附近也特别大。在点电荷附近的前方，Ey的方向沿y轴正向，在点电荷附近的后方，Ey的方向沿y轴负向，因此在点电荷的前方形成高峰，后方形成深谷。图4 图5(3)取纵坐标y为参数，电场强度的分量Ex随横坐标x的变化如图6所示。Ex是x的奇函数，当x = 0时，Ex = 0，因此只需要讨论x > 0的情况。当y = 0时，场点在x轴上，如果x < a，则Ex随x增加而反方向增加，当xa 0时，Ex-；当xa + 0时， Ex+，如果x > a，则Ex随x增加而单调减小。当y

21、> 0且x < a时，如果y比较大(例如y = 5a/3)，则Ex随x增加而正方向增加；如果y比较小(例如y = a/3)，则Ex反方向增加再减小，然后正方向增加。Ex反方向增加有一个谷值(反方向的峰值)，谷值随参数y增加而减小，谷值的横坐标也随参数y增加而减小，直至为零。当y > 0且x > a时，Ex随x增加先增加再减小，其峰值随参数y增加而减小，峰值的横坐标则随参数y增加。(4)取纵坐标y为参数，电场强度的分量Ey随横坐标x的变化如图7所示。Ey是x的偶函数，当x = 0时，Ey在中垂线上取极值，极值随参数y先增加后减小0。当y = 0时，Ey = 0。当y > 0时，如