因式分解(奥赛)

1、因式分解【奥赛花絮】 最早的数学竞赛 匈牙利是举办中学数学竞赛最早的国家，自 1894 年匈牙利物理数学学会通 过了关于举行中学生奥林匹克数学竞赛的决议起， 每年十月举行这种竞赛。 仅仅 由于两次世界大战和 1956年的匈牙利时件间断过 7 年。 2003年举行的是第 103 届匈牙利数学竞赛。【奥赛赛点】 将一个多项式化为几个整式的积的形式， 叫做因式分解。 因式分解是一种重 要的恒等变形， 在数学中有广泛的应用。 因式分解的方法比较多， 除了课本介绍 的提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法外，我们还要掌握换元法,主元法,配方法 , 待定系数法等。【解题思路与技巧 】1换元法.在解题的

2、过程中， 我们常把某个比较复杂的代数式看成一个整体， 将它用一 个字母来代替，从而简化这个代数式的结构，这种方法就是换元法 .在因式分解中用换元法， 又可细分为整体代换 （如例 1，例 2），对称代换 （如 例 3），倒数代换（如例 4），平均代换（如例 5）等 .2主元法 在分解一个含有多个字母的多项式时，我们常选择一个字母作为主要元素， 将其他字母看作常数， 然后将多项式按选定的字母降幂排列， 这种方法叫做主元 法。用主元法往往可以得到恰当的分组，从而找出公因式来，如例6。3配方法通过添项，拆项利用公式将一个多项式配成一个完全平方， 是一种常用的恒 等变形技巧，以便利用公式来分解因式，如例

3、 7，例 8。4待定系数法 在解决有关多项式时，可先假定问题的结果已经求出，其中含有未知系数， 然后根据多项式恒等的定义或性质， 列出含有这些未知数的方程或方程组， 通过 解方程或方程组，求出未知系数的值，从而解决问题的方法，如例9，例 10。【典型示例】例1 (1994年第 6届“五羊杯”数学竞赛试题 ) 在有理数范围内分解因式：( 1) 16(6x-1)(2x-1)(3x+1)(x-1)+25=.( 2) (6x-1)(2x-1)(3x-1)(x-1)+x 2=.( 3) (6x-1)(4x-1)(3x-1)(x-1)+9x 4=.解 (1)原式=(6x-1)(4x-2)(6x+2)(4x

4、+4)+25=(24x 2-16x+2) (24x2-16x-8)+25 设 24x2-16x+2=t, 原式=t(t-10)+25=(t-5) 2=(24x2-16x-3)2(2)原式=(6x-1) (x-1) (2x-1)(3x-1) +x 2=(6x2-7x+1)(6x2-5x+1) +x2 设 6x2-7x+1=t, 原式 =t(t-2x) +x2=(t-x)2=(6x2-6x+1)2 (3)原式=(6x-1) (x-1) (4x-1)(3x-1) +9x 4=(6x2-7x+1) (12x2-7x+1)+ 9x4 设 6x2-7x+1=t, 原式=t(6x2+t)+ 9x4=(t+3

5、x2)2=(9x2-7x+1)2例 2 (2000年第 12届“五羊杯”数学竞赛试题 ) 分解因式： (2x 3y)3 + (3x 2y)3 125(xy)3=.解设2x 3y=a, 3x 2y=b, -5x+5y=c,显然 a+b+c=0. 由公式 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-bc-ca-ab) 知此时有 a3+b3+c3=3abc，故有原式=3(2x 3y) (3x 2y) (-5x+5y)=-15(2x 3y) (3x 2y)(x-y)例 3 (1997-1998年天津市初二数学竞赛决赛试题)1分解因式 xy(xy+1)+(xy+3)-2(x+y+ 1

6、)-(x+y-1) 2 解 设 xy=a, x+y=b.原式=a(a+1)+(a+3)-2b-1-(b-1)2=a2+2a+1-b2=(a+1)2-b2=(a+1+b)(a+1-b) =(xy+1+x+y)(xy+1-x-y)=(x+1)(y+1)(x-1)(y-1)例 4（1991 年贵州省初中数学竞赛试题） 分解因式： x4+x3-4x2+x+1x2 (x 1x) (x2 x12 ) 4xx11解 原式=x2(x x2 4 1 12 )xx设 x 1 t, 则 12 x2 t2 2，1 2 22) =(x 2+3x+1)(x-1) 2 xxx2原式=x2(t+t2-2-4)= x2(t+3

7、)(t-2)= x2(x 1 3)(x x例 5 ( 1994年石家庄市初中数学竞赛试题) 分解因式 (x+1)4+(x+3)4-272解 x+2=t, 原式=(t-1)4+(t+1)4-272=2t4+12t2-270=2(t2+15)( t2-9) =2(x2+4x+19)(x+5)(x-1)例 6(1998-1999 年天津市初二数学竞赛预赛试题)把 2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z 分解因式解 原式=(2x-z)y2-2(2x-z)xy+(2x-z)x 2=(2x-z)(y-x) 2例 7 ( 1986年扬州市数学竞赛试题)因式分解： (1+y)2-2x2(1+y2

8、)+x4(1-y)2解 原式=(1+y) 2+2x2(1-y2)+x4(1-y)2-4x 2=(1+y)+x 2(1-y) 2-(2x)2=(1+y)+x 2(1-y)+2x (1+y)+x 2(1-y)-2x=(x+1) 2-y(x2-1) (x-1) 2-y(x2-1) =(x+1)(x-xy+y+1)(x-1)(x-xy-y-1)例8 ( 1986年广州，武汉，福州，合肥，重庆五市初中数学联赛试题) 若 a 为正整数，则 a4-3a2+9 是质数还是合数？给出你的证明。解 a4-3a2+9= a4+6a2+9-9a2=( a2+3)2-(3a)2=( a2+3a+3)( a2-3a+3)

9、=( a2+3a+3)( a-1)(a-2)+1当 a=1 时， a4-3a2+9=7 是质数；当 a=2 时， a4-3a2+9=13是质数；当 a>2时, a2+3a+3>1, ( a-1)(a-2)+1>1,故 a4-3a2+9 是合数。例 9 (2002 年太原市初中数学竞赛试题 )关于 x,y 的二次式 x 2+7xy+my 2-5x+43y-24 可分解为两个一次因式的乘积，则 m 的值是 . 解 设 x2+7xy+my 2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d) ，即 x2+7xy+my2-5x+43y-24=x2+(a+c)xy+acy2+(b+

10、d)x+(ad+bc)y+bd 比较对应项的系数，得，a+c = 7(1)ac = m(2)b+d = -5(3)ad+bc = 43(4)bd = -24(5)由(3),(5)解得 b = 3,d = -8 或 b =-8,d = 3当 b = 3,d = -8 时， (4)式为-8a+3c=43(6)由 (1),(6)解得 a=-2,c=9. 故 m=ac=-18当 b = -8,d = 3 时，可以得到同样的结果。例 10 (1963 年北京市中学生数学竞赛高二第二试试题)已知多项式 x3+bx2+cx+d 的系数都是整数并且 bd+cd，证明：这多项式不能分解 为两个整系数多项式的乘积

11、。解1 因为 bd+cd=d(b+c)是奇数,故 b+c和 d都是奇数。(A) 若 b 是偶数，c 是奇数。设 x3+bx2+cx+d 可以分解成两个整系数多项式的 乘积，显然一定有一个是一次因式，因为首项系数是1，不妨设3 2 3 2x +bx +cx+d = x +(p+q)x +(pq+r)x+d (1) 比较(1)式两边的系数，得pr = d 为奇数(2)pq+r = c 为奇数(3)p+q = b 为偶数(4)x3+bx2+cx+d = (x+p)(x 2+qx+r),其中 p,q,r 都是整数。故有由(2)知 p,r 都是奇数，再由 (3)，q为偶数；这样一来， (4)式就矛盾了。

12、(B) 若 b是奇数， c是偶数。可以同样地推出矛盾来。所以 x3+bx2+cx+d 不能分解为两个整系数多项式的乘积。解 2 设 x3+bx2+cx+d = (x+p)(x 2+qx+r),其中 p,q,r 都是整数取 x=1, 上式左边 =1+b+c+d 是一个奇数，而右边的因式 x+p=1+p 是一个偶数 矛盾。故 x3+bx2+cx+d 不能分解为两个整系数多项式的乘积。【拓展练习】 一 选择题 1（2002年第 13届“希望杯”数学竞赛试题 ） 下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（ ）.（A） x3-9x2+27x-27（ B）x3-x2+27x-27（C）x4-x3+27

13、x-27（ D）x3-3x2+9x-27 2（1985 年上海市初中数学竞赛试题 ）x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz 因式分解之后，正确的结果为（） .（ A） （y-z）（x+y）（x-z）（B） （y-z）（x-y）（x+z）（ C） （y+z）（x-y）（x+z） （D） （x+z） （x+y） （x-z） 3（2002年北京市数学竞赛预赛试题） a4+4 分解因式的结果是（）.（A） （ a2+2a-2）（a2-2a+2）（B） （a2+2a-2）（a2-2a-2）（C）（ a2+2a+2）（a2-2a-2）（D） （a2+2a+2）（a2-2a+2）4 （19

14、97年第 8 届“希望杯”数学竞赛初二第二试试题 ） 把多项式 x2-y2-2x-4y-3 因式分解之后，正确的结果是（） .（ A） （x+y+3）（x-y-1）（B） （x+y-1）（x-y+3）（ C） （x+y-3）（x-y+1）（D） （x+y+1）（x-y-3）5（1990 年“缙云杯”数学竞赛试题 ）在 1 到 100 之间若存在整数 n，使 x2+x-n 能分解为两个整系数一次式之积， 这样 的 n 有（ ）个 .（ A） 0（B） 1（ C） 2（D） 9二 填空题1（2000年第 12届“五羊杯”数学竞赛试题 ） 分解因式： （x 2）3 （y 2）3 （xy）3= 2（2

15、002年河南省数学竞赛试题） 分解因式： x4+2x3+3x2+2x+1=.3（1998年第 9届“希望杯”数学竞赛初二第二试试题 ） 把代数式 （x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1） 2 分解成因式的乘积应当是4（2000年第 13届“五羊杯”数学竞赛试题 ） 分解因式：（x4-4x2+1） （x4+3x2+1）+10x4=.5（1999 年天津市数学竞赛试题）k 为时，多项式 x2-2xy+ky2+3x-5y+2 能分解为两个一次因式的乘积三 解答题1（1998 年天津市数学竞赛试题 ）分解因式： （x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x 2 2（1992年沈阳市数学竞赛试题）

16、分解因式： x4+y4 +z4-2x2y2-2y2z2-2z2x23（1996 年北京市数学竞赛试题）一个自然数 a恰好等于另一个自然数 b的平方，则称自然数 a为完全平方数， 如 64=82， 64就是一个完全平方数，若 a=19952+19952×19962+19962，求证： a是一 个完全平方数。4(1994年“祖冲之杯 ”数学邀请赛试题 )已知乘法公式 a5+b5=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) ，a5-b5=(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4), 利用或不利用上述公式，分解因式： x8+x6+x4+x2+1.5.(第 17 届江苏省初二数

17、学竞赛第二试试题 )多项式 x2-(a+5)x+5a-1能分解为两个一次因式 (x+b),(x+c)的乘积,则 a的值应为多 少？ 【拓展练习答案】 一选择题1. D. 易知 x 3-3x2+9x-27=(x-3) 3,而其它三式中都含有二次因式。2. A. x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz=(y-z) x2+( y2-2yz+z2)x-yz(y- z)2=(y-z)x +(y-z)x-yz= (y-z)(x+y)(x-z)3. D. a4+4= (a4+4a2+4)-4a2=( a2+2)2-(2a)2=(a2+2a+2)(a2-2a+2)4. D. x2-y2-2x

18、-4y-3= (x 2-2x+1) (y2+4y+4) =(x-1) 2-(y+2)2=(x+y+1)(x-y-3)5D. 设 x2+x-n=(x-a)(x+b)= x 2-(a-b)x-ab, 故 a-b=-1,ab=n.于是 n 为两个连续整数 之积，在 1 到 100 之间，有 2，6，12，20，30，42，56，72，90 共 9 个。 二填空题13(x-2)(y-2)(x-y).仿例 2的方法解 .2(x2+x+1)2 .仿例 4的方法解 .3(x-1)2(y-1)2.仿例 3的方法解 .4(x2+1)2(x2+x+1) (x2-x+1). 设 x4-4x2+1=t, (x4-4x2+1)(x4+3x2+1)+10x4=t(t+7x2)+ 10x4=(t+2x2) (t+5x2)= (x4+2x2+1) (x4+x2+1)= (x2+1)2(x2+x+1) (x2-x+1)5-3. 因 x 2+3x+2 =(x+1)(x+2),故可设 x2-2xy+ky 2+3x-5y+2=(x+my+1)(x+ny+2), 即 x2-2xy+ky 2+3x-5y+2= x 2+