《数值计算方法》课后题答案(湖南大学-曾金平)

1、习题一1设>0相对误差为2%，求，的相对误差。解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：得（1）时；（2）时2设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。（1）；（2）；（3）。解：由教材关于型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352=0.3457（2）31.97+（2.456+0.1352）= =0.3456易见31.97+2.456

2、+0.1352=0.345612，故（2）的计算结果较精确。4计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为，面积为，由解得=0.5%5下面计算的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知，（A），（B）；（2）已知，（A），（B）；（3）已知，（A），（B）；（4）（A），（B）解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确

3、些。（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。故（A）算得准确些。（3）（A）中使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。故（B）算得准确些。（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。故（B）算得准确些。6用消元法求解线性代数方程组假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？ 解：使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为（1）-（2）得，即，把的值代入（1）得；把的值代入（2）得解不满足（2）式，解不满足（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。7计算函数和处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。哪个结果较正确？解：=即，而当时的精确值为1

4、.6852，故的算法较正确。8按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：（1）；(2。解：（1）=（2）=9已知三角形面积，其中。证明：。证明：由自变量的误差对函数值的影响公式：。 得=（当时，），命题得证。习题二1找出下列方程在附近的含根区间。（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1）设，则，由的连续性知在内，=0有根。同题（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为；2用二分法求方程在内的根的近似值并分析误差。解：令，则有，所以函数在上严格单调增且有唯一实根。本题中求根使得误差不超过，则由误差估计式，所需迭代次数满足，即取便可，因此取。用二分法计算结果列表如下

5、：0021-0.15851121.50.4962211.51.250.1862311.251.1250.015051411.1251.0625-0.071851.06251.1251.09375-0.0283561.093751.1251.109375-0.0066471.1093751.1251.11718750.00420881.1093751.11718751.11328125-0.00121691.113281251.11718751.1152343750.001496101.113281251.1152343751.11425781250.001398111.113281251.11

6、425781251.11376953125-0.000538121.113769531251.11425781251.114013671875-0.000199131.1140136718751.11425781251.1141357421875-0.0000297141.11413574218751.11425781251.114196777343750.000055由上表可知原方程的根该问题得精确解为，故实际误差为3判断用等价方程建立的求解的非线性方程在1.5附近的根的简单迭代法的收敛性，其中（A）；（B）；（C）解：取1.5附近区间来考察。（A），显然当时，单调递减，而， ，因此，当时，

7、 。又当时，由迭代法收敛定理，对任意初值，迭代格式， 收敛。（B），则， ， ，所以当时， 。又当时，由迭代法收敛定理，对任意初值，迭代格式，收敛。（C），由于当时，有，所以对任意初值（原方程的根除外），迭代格式 发散。4确定的简单迭代法的收敛区间。如果收敛，试估计使精度达到时所需的迭代次数并进行计算。（A）； （B）； （C）解：（A）方程为，设，则，故有根区间为，题中，故迭代公式在含根区间内收敛。（B）方程为，设，则，故有根区间为，题中，故迭代公式在含根区间内收敛。（C）方程为，设，则，故有含根区间，题中，5对下点列用埃特金方法加速。解：由埃特金加速公式计算，结果列下表：00.540300

8、0.9617812834383110.8775810.9821175178448120.9449620.9898077326036030.9689140.9800750.9861460.989816令初值，分别用牛顿迭代法，双点弦割法和单点弦割法求解方程的解。解：牛顿迭代法，满足，由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值为时迭代法收敛。牛顿迭代格式为：0113.522.6071428571428632.4542563600782842.4494943716069752.4494897427875562.4494897427831872.44948974278318在第6部迭代后，迭代点得小数点后14位

9、已无变化，故可取双点弦割法双点弦割法迭代格式为：0113.522.1111111111111132.3861386138613942.4542563600782852.4494273572571262.4494896821414472.4494897427839582.4494897427831892.44948974278318在第8部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化。双点弦割法双点弦割法迭代格式为：2.4494943716069616高等教育(1强高考落榜后就随本家哥去沿海的一个港口城市打工。(2那城市很美，强的眼睛就不够用了。本家哥说，不赖吧?强说，不赖。本家哥说，不赖是不赖，可总

10、归不是自个儿的家，人家瞧不起咱。强说，自个儿瞧得起自个儿就行。(3强和本家哥在码头的一个仓库给人家缝补篷布。强很能干，做的活儿精细，看到丢弃的线头碎布也拾起来，留作备用。(5在露天仓垛里，强查看了一垛又一垛，加固被掀起的篷布。待老板驾车过来，他已成了个水人儿。老板见所储物资丝毫未损，当场要给他加薪，他就说不啦，我只是看看我修补的篷布牢不牢。老板见他如此诚实，就想把另一个公司交给他，让他当经理。强说，我不行，让文化高的人干吧。老板说，我看你行强说，不行，你不会把这里当成自个儿的家。本家哥脸涨得紫红，骂道，你真没良心。强说，把自个儿的事干好才算有良心。 (15晚餐很简单，但有特色。所有的盘子都尽了

11、，只剩下两个小笼包子，强对服务小姐说，请把这两个包子装进食品袋里，我带走。(16虽说这话很自然，他的助手却紧张起来，不住地看那外商。那外商站起来，抓住强的手紧握着，说，OK，明天我们就签合同? 为什么能做得这么好 ? (19强说，我家很穷，父母不识字，可他们对我的教育是从一粒米、一根线开始的。后来我父亲去世，母亲辛辛苦苦地供我上学。她说俺不指望你高人一等，你能做好你自个儿的事就中19求的2分）令 强所说的“良心”： 20.请举例说明小说主人公强身上体现出了哪些性格特征(至少答出3答： 迭代格式，并讨论算法的收敛性。解：牛顿迭代格式为：令，因为当时，故对于任何满足9判断用Newton迭代求解方程

12、的收敛性。“风景”一词的意思是“一定地域内由山水、花草、树木、建筑物以及某些自然现象形成的可供人观赏的景象”。然而，在人们的心中，“可供人观赏的景象”又何止于“自然现象”呢?在不同的人心中，也一定有着自己认为的“最美的风景”。那么，在你的心中，最美的风景又是什么呢？请以“心中最美的风景”为题写一篇不少于600字的作文。除诗歌外，文体不限。 时，要使Newton迭代法收敛对于初值，需满足当时，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故当）只缘身在此山中 （6）仿佛是踊跃的铁的兽脊似的； （2）； （杜甫书是人类进步的阶梯 高尔基书是智慧的钥匙（1）当时，1，故迭代序列不收敛；（2）当时，迭代序列8.

13、 派 才 害怕 ，迭代序列收敛，且收敛于方程的解。11求分别用下列迭代格式求解方程时的收敛阶。（1）Newton迭代格式；（2）迭代格式。211、为人讲信用，或者待人诚恳、守信。（言之有理即可）(2分收敛于（ 1分）（1）14至少不能去掉，“至少”强调（突出）了经济损失之大或强调（突出）了土壤污染导致严重的经济损失，删掉就变成损失仅仅只有这么多，不符合实际情况，体现了说明文语言的准确性。(2分15吸收有害物质；集中焚烧处理（一空一分）迭代格式（ 2 ） 解：由下山Newton迭代格式(2暴风雨中主动加固被掀起的篷布，体现了他的敬业。老板要为他加新，他说他只是看看修补的篷布牢不牢，体现了他的诚实

14、。他拒绝进城的本家哥求职的要求，体现了他不徇私情。习题三11分别用高斯消元法和列选主元法解方程组（精确到小数点后四位）：解：高斯消元法：=高斯列选主元消元法 2分别用高斯消元法和列选主元法解方程组解：高斯消元法=列选主元法3.方程组 Ax=b 经过一次Gauss消元后,系数矩阵A=, 变为,其中=为(n-1(n-1矩阵.其元素为=-/, 2,3,n.证明下面结论:（1）当A对称正定时, 也对称正定;（2）当A对角占优时, 也对角占优.证明:（1）因为A对称,所以 ;=-/=故对称; A正定, ，又 = 其中: 显然, 非奇异;对任何x , 有: A正定, ， 正定;又: = 而 故正定;(1

15、当A对角占优时, 故 对角占优4.证明 (1两个单位上(下三角形矩阵的乘积仍为单位上(下 三角形矩阵;(2两个上(下三角形矩阵的乘积仍为上(下 三角形矩阵.证明:(1 不妨考虑证单位下三角矩阵,单位上三角矩阵证明方法相同设 AB=C 其中:当i 时 当时， ，所以,C为单位上三角矩阵(2 证明方法类似(15证明单位上(下三角形矩阵的逆矩阵仍为单位上(下三角形矩阵;非奇异上(下三角形矩阵的逆矩阵仍为非奇异的上(下三角形矩阵;证明:6.用矩阵的三角分解求解下列线形代数方程组（1）解： （2）解： （3）解： （4） 解 7求解矩阵方程。解； X=8用追赶法解线性代数方程组(4那夜暴风雨骤起，强从床

16、上爬起来，冲到雨帘中。本家哥劝不住他，骂他是个傻蛋。2.449489740892522.4494897427813418.第节中，老板让强管理一个公司，他认为“比文化高的是人身上的那种东西”。请写出“那种东西”所指的具体内容。（2位已无变化，因收敛速度较慢，故只精确到小数点后答： 解：牛顿迭代格式为：即（3分）22即在你的成长过程中，对你影响最大的教育是什么?你如何看待这种教育?(不超过100字 （3分）2.C（时，Newton迭代法不收敛。所以用Newton迭代求解方程 （4）铜雀春深锁二乔 （5）海日生残夜解之得：解：显然分）17示例：还我青山碧水，还我土地芬芳。 保护环境，人人有责（从我

17、做起）12当初值取为下列各值时，用下山Newton迭代求解方程组是否收敛？(意思正确即可 （2分）td td 0113.522.1111111111111132.6071428571428642.3861386138613952.4766081871345062.4381833473507272.4542563600782882.4474895545641292.45033071771908102.44913644779691112.44963821399228122.44942735725712132.44951595791130142.44947872716250152.449487797

18、73504172.44949056010085182.44948939934302192.44948988709816202.4494896821414321252.44948974357764(82.44948974244934强知道了并不恼，说，我们既然在一起共事，就把事办好吧，这个经理的帽儿谁都可以戴，可有价值的并不在这顶帽上(9那几个大学生面面相觑，就不吭声了。(10一外商听说这个公司很有发展前途，想洽谈一项合作项目。强的助手说，这可是条大鱼呀，咱得好好接待。强说，对头。(11外商来了，是位外籍华人，还带着翻译、秘书一行。2.44948974272423?(13那外商一愣，说，会的。强

19、就说我们用母语谈好吗?(14外商就道了一声“OK30(17事成之后，老板设宴款待外商，强和他的助手都去了。2.44948974278755住宅工程质量分户验收现场实测记录表二工程名称：佳兆业可园一期 栋号：11栋 A座 房号：0404建筑水电设备安装工程验收项目验收内容实 测 记 录是否符合要求123456789101、给排水系统安装分户给水压力（Mpa）0.3是水压试验项 目工作压力（Mpa）试验压力（Mpa）稳压时间（min）压降（Mpa）或泄漏给水强度0.30.8600.03符合要求严密性0.351200.02符合要求排水强度无渗漏严密性符合要求水封高度（）2、建筑电气安装导线截面（2）

20、进户线ZR-BV-3*102配线HA-NA-PEN-PE绝缘强度（M）J500500180漏电保护动作（mS）303、燃气工程安装工作压力（Mpa）试验压力（Mpa）稳压时间（min）压降（Mpa）或泄漏质量缺陷及整改结果（永久缺陷）验收结论一次验收合格 经整改后验收合格 验收人员签字建设单位：年 月 日总承包单位：年 月 日监理单位：年 月 日年 月 日年 月 日住宅工程质量分户验收现场实测记录表二工程名称：佳兆业可园一期 栋号：11栋 A座 房号：0301建筑水电设备安装工程验收项目验收内容实 测 记 录是否符合要求123456789101、给排水系统安装分户给水压力（Mpa）0.3是水压

21、试验项 目工作压力（Mpa）试验压力（Mpa）稳压时间（min）压降（Mpa）或泄漏给水强度0.30.8600.03符合要求严密性0.351200.02符合要求排水强度无渗漏严密性符合要求水封高度（）2、建筑电气安装导线截面（2）进户线ZR-BV-3*102配线HA-NA-PEN-PE绝缘强度（M）J450480150漏电保护动作（mS）603、燃气工程安装工作压力（Mpa）试验压力（Mpa）稳压时间（min）压降（Mpa）或泄漏质量缺陷及整改结果（永久缺陷）验收结论一次验收合格 经整改后验收合格 验收人员签字建设单位：年 月 日总承包单位：年 月 日监理单位：年 月 日年 月 日年 月 日住

22、宅工程质量分户验收现场实测记录表二工程名称：佳兆业可园一期 栋号：11栋 A座 房号：0302建筑水电设备安装工程验收项目验收内容实 测 记 录是否符合要求123456789101、给排水系统安装分户给水压力（Mpa）0.3是水压试验项 目工作压力（Mpa）试验压力（Mpa）稳压时间（min）压降（Mpa）或泄漏给水强度0.30.8600.05符合要求严密性0.351200.02符合要求排水强度无渗漏严密性符合要求水封高度（）2、建筑电气安装导线截面（2）进户线ZR-BV-3*102配线HA-NA-PEN-PE绝缘强度（M）J500500200漏电保护动作（mS）603、燃气工程安装工作压力（

23、Mpa）试验压力（Mpa）稳压时间（min）压降（Mpa）或泄漏质量缺陷及整改结果（永久缺陷）验收结论一次验收合格 经整改后验收合格 验收人员签字建设单位：年 月 日总承包单位：年 月 日监理单位：年 月 日年 月 日年 月 日住宅工程质量分户验收现场实测记录表二工程名称：佳兆业可园一期 栋号：11栋 A座 房号：030348。解： ， ， ， ， 10证明等价关系：证明：又，所以 由Cauchy不等式知： ，所以：综上说述，即证。11证明由 定义的|是中的范数。证明：显然： 且|A+B|= =+12 证明证明：对任何由于 故 即成立：解：先求出的逆矩阵然后，计算 、建筑电气安装 得出： 15

24、求用雅克比迭代解下列线性代数方程组的两次迭代解（取初始向量0）。 解：（，取则 （ 16若要求精度，仍用雅克比迭代求解15题，至少需迭代多少次？2 ） k=0,1, 取 则 高斯塞德尔迭代矩阵，所以，雅克比迭代和高斯塞德尔迭代同时收敛或发散。21设线性代数方程组为(1 试用最速下降法求解（取初始向量 房号：0201(2 试用共轭梯度法求解（取初始向量）。解：（ =0.7410抛物线插值： =0.7422.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5. 0.477建设单位：年 年工程名称：佳兆业可园一期 =|A|强度，因此，A-NA-PE）雅可比迭代式为： 年 月 日试求三次多项式

25、的插值稳压时间（min1-2/3td td 建筑水电设备安装工程验收项目验收内容实 测 记 录是否符合要求123p5679101、给排水系统安装分户给水压力（Mpa）0.3是水压试验项 目工作压力（Mpa）试验压力（Mpa）稳压时间（min）压降（Mpa）或泄漏给水强度0.30.8600.03符合要求严密性0.351200.01符合要求排水强度无渗漏严密性符合要求水封高度（）2、建筑电气安装导线截面（2）进户线ZR-BV-3*102配线HA-NA-PEN-PE绝缘强度（M）J500500200漏电保护动作（mS）503、燃气工程安装工作压力（Mpa）试验压力（Mpa）稳压时间（min）压降（M

26、pa）或泄漏质量缺陷及整改结果（永久缺陷）验收结论一次验收合格 经整改后验收合格 验收人员签字建设单位：年 月 日总承包单位：年 月 日监理单位：年 月 日年 月 日年 月 日工作压力（Mpa）试验压力（Mpa）另一方面：设指标符合要求严密性定义如下： 显然，=1而且，从而，强度的性态，并求精确解，设近似解，计算余量以及近似解的相对误差解：因为该线性方程组的系数矩阵的逆矩阵为：条件数为4.0020e+003，远大于1。所以其为病态的，其精确解为：严密性余量为：r=，所以：14计算水封高度（）矩阵绝缘强度（M） 500） 雅可比迭代矩阵为： 由公式知，需要10次迭代（2）雅可比迭代矩阵为：，同上

27、，需要次迭代。17求用高斯塞德尔迭代求解15题的两次迭代解（取初始向量0）。（1）高斯赛德迭代式工作压力（取，则 稳压时间（min）压降（Mpa 则 18求用SOR迭代（）求解15题的两次迭代解（取初始向量0）。解：（1） k=0,1,取一次验收合格 判断高斯塞德尔迭代的收敛性。年 故雅克比迭代发散（2） 高斯塞德尔迭代矩阵= ，故高斯塞德尔迭代收敛20设矩阵A为二阶矩阵，且。证明雅克比迭代和高斯塞德尔迭代同时收敛或发散。证明： 因为，所以雅克比迭代矩阵实由 和K=0,1,2,3 得 360.1667 0.5000 0.1667 （2）共轭梯度法由 项 目工作压力 试验压力（Mpa）稳压时间（

28、min ，即为精确解给水强度习题四1.已知0.8试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差解：线形插值：取 符合要求 严密性=3.设函数在a,b上具有直到二阶的连续导数,且f(a=f(b=0,求证:解：取， 4.证明n次Lagrange插值多项式基函数满足 则进户线所以 即证配线H证明：、取 则 所以，6.设有n个不同的实根证明:证明：取 而， 有n个不同的实根。可以写成7.分别求满足习题1和习题中插值条件的Newton插值(12.0工作压力（Mpa）试验压力（0.7885压降（Mpa）或泄漏-0.11=0.693+0.477(x-2-0.11(x-2(x-2.20.693+0.04

29、77-0.0011=0.7419(2质量缺陷及整改结果（永久缺陷）经整改后验收合格 验收人员签字日总承包单位：2日5监理单位：3/2年 月 日8.给出函数f(x的数表如下,求四次Newton插值多项式,并由此计算f(0.596日 0.90住宅工程质量分户验收现场实测记录表二栋号： 11 栋 A 座 房号：0202F2F3验收项目验收内容实 测 记 录是否符合要求0.550.5781530.650.696751.1860090.80.888111.275730.35893是0.91.026521.38410项 目工作压力（Mpa）试验压力（Mpa）0.524920.22863压降（Mpa）或泄漏

30、强度0.30.8所以 f(0.596=0.631959.已知函数y=sinx的数表如下0.05符合要求0.40.50.350.70.389420.03符合要求0.64422排水强度无渗漏0.50.479430.60.564640.085210.64422符合要求水封高度（）(0.5+th=0.47943+0.08521*t-0.002815*t*(t-1， h=0.1 取t=0.7891(0.57891=0.47943+0.06723921+0.00046848=0.547137690.54714即sin(0.57891=0.54714后插： 取节点 0.4 0.5 0.6-0.00

31、48进户线ZR-BV-3*102配线HA-PE0.479430.090010.60.08521(0.6+th=0.56464+0.08521*t-*t(t+1，h=0.1 取t= - 0.2109(0.57891=0.56464+0.08521(-0.2109-0.0024(-0.2109(0.7891=0.540686210.证明差商有线性性质,即若h(x=，其中，为常数，则 证明4011.设计算及工作压力（Mpa）试验压力（Mpa）稳压时间（min）1231-1构造Hermite 验收结论1一次验收合格 经整改后验收合格 验收人员签字建设单位： 12月 > 0> 1 年 月 2

32、3年 月 -1月 日年 月 日3住宅工程质量分户验收现场实测记录表二工程名称：佳兆业可园一期 试求Hermite 栋 A座 1建筑水电设备安装工程验收内容实 测 记4是否符> 1> 3> 4425> 789101、给排水系统安装分户给水压力（Mpa）0.314.利用差分性质证明：15设对每一个整数j, 有计算,并对该函数做一个差分表解：强度12-30.8-0.04符合要求严密性6-强度-7严密性符合要求16 设函数取等距样条节点。（1）计算函数在这些节点处的函数值，并作解：取 2-17给定插值条件数据进户线ZR-BV-3*1021配线HA-N0000和端点条件(1，（2

33、）试分别求满足上述条件的三次样条插值的分段表达式解：(1易知：hi=1 =1/2 500由基本方程组： 即有： 解出： 当时：当时：=当时：（2）因为 j=0,1,2,3 解出： 由知：压降（Mpa）或泄漏，对任何含0为节点的分划都是三次样条函数质量缺陷及整改结果（永久缺陷）验收结论1一次验收合格 (a验收人员签字建设单位：年 月 1总承包单位：2年 月 日1监理单位：2年 月 日年 月 日解：由，年 。计算可得，该组数据的最小二乘拟合直线为：-20工程名称：佳兆业可园一期 栋号：11栋座 房号：建筑水电设备安装工程1.2验收项目验收内容实 测 记 录是否符合要求123，。，该组数据的最小二乘拟合直线为：9101、给排水系统安装分户给水压力（Mpa）0.50是0.75水压试验项 1.0000工作压力（Mpa）试验压力（Mpa）稳压时间（2.1170） 压降（给水强度计算得，。 ，该组数据的最小二乘拟合直线为：符合要求求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点以