第九章 方差分析及回归分析ppt课件

1、2022-1-3011 单要素实验的方差分析单要素实验的方差分析一单要素实验一单要素实验 在科学实验和消费实际中，影响一事物的要在科学实验和消费实际中，影响一事物的要素很多。素很多。 方差分析是根据实验的结果进展分析，鉴别各个有关要素对实验结果影响的有效方法。 在实验中，我们将要调查的目的称为实验目的。影响实验在实验中，我们将要调查的目的称为实验目的。影响实验目的的条件称为要素。要素可分为两类，一类是人们可以目的的条件称为要素。要素可分为两类，一类是人们可以控制的可控要素；一类是人们不可控制的。以下我们控制的可控要素；一类是人们不可控制的。以下我们所说的要素都是指可控要素。要素所处的形状，称为

2、该要所说的要素都是指可控要素。要素所处的形状，称为该要素的程度。假设在一项实验中只需一个要素在改动时称为素的程度。假设在一项实验中只需一个要素在改动时称为单要素实验。假设多于一个要素在改动称为多要素实验。单要素实验。假设多于一个要素在改动称为多要素实验。2022-1-302例例1 设有三台机器，用于消费规格一样的铝设有三台机器，用于消费规格一样的铝合金薄板。取样，丈量薄板的厚度准确至千合金薄板。取样，丈量薄板的厚度准确至千分之一厘米。得结果如下表所示。分之一厘米。得结果如下表所示。机器机器1 机器机器2 机器机器30.236 0.257 0.2580.238 0.253 0.2640.248

3、0.255 0.2590.245 0.254 0.2670.243 0.261 0.262这里，实验的目的是薄板的厚度。机器为要素，不同的这里，实验的目的是薄板的厚度。机器为要素，不同的三台机器就是这个要素的三个不同的程度。我们假定除三台机器就是这个要素的三个不同的程度。我们假定除机器这一要素外，资料的规格、操作人员的程度等其他机器这一要素外，资料的规格、操作人员的程度等其他条件都一样。这就是单要素实验。实验的目的是为了考条件都一样。这就是单要素实验。实验的目的是为了考察各台机器所消费的薄板的厚度有无显著的差别。察各台机器所消费的薄板的厚度有无显著的差别。铝合金板的厚度铝合金板的厚度2022-

4、1-303例例2 下面列出了随机选取的、用于计算器的下面列出了随机选取的、用于计算器的四种类型的电路的呼应时间以毫秒计。四种类型的电路的呼应时间以毫秒计。类型类型1 类型类型2 类型类型3 类型类型415 20 40 16 17 18 21 15 2220 33 18 1918 27 26电路的呼应时间电路的呼应时间这里，实验的目的是电路的呼应时间。电路类这里，实验的目的是电路的呼应时间。电路类型为要素，这一要素有四个程度。这是一个单型为要素，这一要素有四个程度。这是一个单要素的实验。实验的目的是为了调查各种类型要素的实验。实验的目的是为了调查各种类型电路的呼应时间有无显著性差别。电路的呼应时

5、间有无显著性差别。2022-1-304例例3 三名工人分别在四种不同的机器上消费同一种零件，三名工人分别在四种不同的机器上消费同一种零件，每人在每台机器上任务每人在每台机器上任务3天，其日产量如下表所示：天，其日产量如下表所示：工人工人(B)B1B2B3机机器器(A)A115,15,1719,19,1616,18,21A217,17,1718,15,1519,22,22A315,17,1618,17,1618,18,18A418,20,2215,16,1717,17,172022-1-305 这里实验目的是零件的日产量，工人和机器是要素，它们分别有3个、4个程度。这是一个双要素实验。实验目的在

6、于调查不同工人在不同机器上消费零件的日产量有无显著差别。 本节先讨论单要素实验的方差分析。本节先讨论单要素实验的方差分析。 2022-1-3062rr、对于表示 个水平的 个正态总体的方差，认为都是相等的。3ijX、从不同总体中取出的各个样本，即各个相互独立。i12,iiiinXXX2(,)1,2,iNir in2,i 1,2,ir1、对变量要素的某一个程度，第、对变量要素的某一个程度，第 个程度进个程度进展实验，得到的察看结果展实验，得到的察看结果 看作是从看作是从正态总体正态总体 中取出的一个容中取出的一个容量为量为 的样本，且的样本，且 均未知均未知 。二方差检验的根本前提：二方差检验的

7、根本前提：2022-1-307设要素设要素A有有r个程度个程度A1，A2，Ar，在每个程度，在每个程度Ai(i=1，2，r)下，进展下，进展ni (ni2)次独立实验，整理实验结果如下表次独立实验，整理实验结果如下表所示。所示。 ri21rirnrjrrinijiinjnjXXXXXXXXXXXXXXXX21212222211112112112irTTTT12irXXXX实验结果试试 验验 批批 号号样本样本和和样本均样本均值值1 2 j ni因因素素水水平平其中其中Xij表示在程度表示在程度Ai下进展第下进展第j次实验的结果次实验的结果(j=1，2，ni，i=1，2，r)。 2022-1-3

8、0822(,),(0,),ijiijiXNXN 由于即有,ijiijiijijXXX故可看成是随机误差。记则可写成2,(0,)1,2, ,1,2,.ijiijijijiXNir jn，各独立，2i其中， 与均为未知参数。则上式单因素试验方差分析的数称为学模型。1.12022-1-309三统计假设三统计假设1,;1,2, ).ijijiXXjn irN 2 如果要检验的因素对试验结果没有显著影响，则试验的全部结果应来自同一正态总体。因此，提出一项统计假设：所有的 （都取自同一正态总体 ( ,即012112:;:,rrHH 中不全相等。1.22022-1-3010111,rriiiniinnn记其

9、中，称为总平均。,1,2, .iiir再引入1 1220,ririiiAnnnA此时，有表示水平 下的总体平均值与总平均的差异，习惯上将水平称为的效应。111,inrijijXXn作下面的记号：11.iniijjiXXn2022-1-30111.1利用上面的记号，模型（）可以写成,ijiijX2(0,),ijijN各独立，1,2, ,1,2,iirjn10.riiin(1.1)0121121.2)0,:,rrHH 而假设（等价于假设：不全为零。(1.2)2022-1-301200ijijHrXHX 若成立，则 个总体之间无差异。这样，各个间的差异只是由随机因素引起的，若不成立，则所有的总变差中

10、，除了随机波动引起的变差之外，还包含了由于因素的不同水平作用所引起的变差。221111()(.)iinnrrijijiiijijXXXXXX2211111(.)(.)2(.)(.)iinnrrrijiiiijiiijiijXXn XXXXXX四检验方法四检验方法2022-1-3013由于由于11(.)(.)inrijiiijXXXX所以所以22111211()(.)(.)iinrrijiiijinrijiijXXn XXXX11(.)(.)0inriijiijXXXX2022-1-3014假设记假设记211()inrTijijSXX211(.)inrEijiijSXX21(.)rAiiiSn

11、XXTAESSS则 2022-1-3015TSn为，是总样本方差的离（ -差平方和1)倍；EESS表示样本观察值与样本均值的差异，这是由随机误差所引起的，叫做误差平方和；AASS表示样本平均值与数据总平均的差异，这是因素的效应的差异以及随机误差引起的，叫效应做因素的平方和。2022-1-3016ES 的统计特性2221) /(1)jnijjjiXXn（2由分布的可加性知221/(1)sEjjSn22/()ESns2()()EE Sns1221111()()snnEiissiiSXXXX2022-1-3017AS 的 统 计 特 性2( ,/ )XNn 221()sAjjjE SEn XnX11

12、.10,sjjjn由（） 式故有221(1)sAjjjE Ssn）（0AESSH进一步还可以证明与独立，且当为真时22/(1)ASs222211(1)2ssjjjjjjsnnnn221()()sjjjn E XnE X22221() ()jsjjjnnnn2022-1-3018220/(1)THSn如果成立，则 22/(),ESnr22/(1)ASr2022-1-3019221/1/11EAAAEESSSSSrFrnrSnr且与独立，统计量单要素实验方差分析表单要素实验方差分析表方差来源方差来源平方和平方和自在度自在度 均方均方F比比要素要素A误差误差总和总和ASESTSr-1n-rn-11A

13、ASSrEESSnrAESFS(1,)F rnr(1,)aFF rnr拒绝域：20H分母数学期望为，而当不真时，分子有偏大的趋势2022-1-3020111,.,1,2, ,.,iiTAEniijjnrijijSSSTXirTX在实际中，我们可以按较为简便的公式来计算和记即有2022-1-302122221111222211,iinnrrTijijijijrriiAiiiiETATSXnXXnTTSn XnXnnSSS2022-1-3022例例4 设在例设在例1中符合模型中符合模型1.1条件条件，检验假设，检验假设 =0.05)：01231123:,:,HH 不全相等。235,15,rnnnn

14、1解 现在 =3,223.1iAiiTTSnn23521115TijijTSX23.80.9639120.00124533,15222213.8(1.211.281.31 )0.001053335152022-1-30230.000192.ETASSS方差来源方差来源平方和平方和自在度自在度均方均方F比比因因 素素误误 差差0.001053330.0001922120.000526670.00001632.92总总 和和0.0012453314例例1的的 方差分析表方差分析表0.05(2,12)F因,114,12,12,TAESSSnrnr 的自由度依次为得方差分析表如下：3.8932.92,

15、00.05,H故在水平下拒绝认为各台机器生产的薄板厚度有显著差异。2022-1-3024五未知参数的估计五未知参数的估计22(,)(,),ikikikHNNik 0拒绝还是接受,需要作出两总体和的均值差的区间估计。/ 2111()()ikikikEikXXtn rSnn通过推导，可得均值差的置信水平为的置信区间为220ESHnr不管是否为真，是的无偏估计。2022-1-3025.4,(1,2,3)0.95iii 2例5 求例 中的未知参数，的点估计及均值差的置信水平为的置信区间。/()0.000016ESnr2解：1122330.242,0.256,0.262xxx0.253x110.011,

16、xx 330.009,xx220.003xx2022-1-30260.0250.025()(12)2.1788tn rt均值差的区间估计如下：由得121323,0.95故及的置信水平为的置信区间分别为（0.242-0.2620.006）=（-0.026，-0.014），（0.256-0.2620.006）=（-0.012，0）0.02511(12)()EiktSnn622.1788 16 100.0065（0.242-0.2560.006）=（-0.020，-0.008），2022-1-3027一双要素等反复实验的方差分析一双要素等反复实验的方差分析2 双要素实验的方差分析双要素实验的方差分析

17、1212,.,),1,2, ,1,2,(2)rsijABArA AABsB BBA BA Birjst t设有两个因素 ， 作用于试验的指标。因素 有 个水平因素 有 个水平,现在对因素的水平的每对组合（都作次试验（称为等重复试验），得到如下的结果。2022-1-30282022-1-3029引入记号：111,rsijrsij11,siijsj11rjijri,iijj.ijijijijijAB称为水平 和水平的交互效应。jijiAB总平均的称 为，称为水平称为效水平应，的效应。2022-1-303021111(0,),1,2, ;1,2, ;1,2,0,0,0,0ijkijijijkijki

18、jkrsrsijijijijijXNir js kt双因素试验方差分析的数学模型为：各独立，2,ijij 其中 ，及都是未知参数。此时，此时，2022-1-3031对于这一模型要检验以下三个假设01121112:0:,rrHH 不全为零02121212:0:,ssHH 不全为零031112131112:0:,rsrsHH 不全为零2022-1-303201H当为真时，可以证明其拒绝域为/1)(1,(1)/(1)AAESrFF rrs tSrs t（02H假设的拒绝域为/1(1,(1)/(1)BBESsFF srs tSrs t（）03H假设的拒绝域为/(1)(1)(1)(1),(1)/(1)A

19、 BA BESrsFFrsrs tSrs t2022-1-3033双要素实验的方差分析表双要素实验的方差分析表方差来源 平方和 自在度均方F 比要素A误差总和ASESTSs-1(r-1)(s-1)rst-11AASSr(1)EESSrs tAAESFS要素BBSr-1A BSrs(t-1)1BBSSsBBESFS交互作用A BA BESFS(1)(1)A BA BSSrs2022-1-3034记记111rstijkijkTX1,1,2, ;1,2,tijijkkTXir js11,1,2,stiijkjkTXir11,1,2,rtjijkikTXjs2022-1-303522111rstTij

20、kijkTSXrst 上 述 表 中 的 各 个 平 方 和 的 计 算 如 下 ：2211rAiiTSTstrst2211sBjjTSTrtrst22111()rsA BijABijTSTSStrstETABA BSSSSS2022-1-3036例例5 5 在某种金属资料的消费过程中，对热处置温度在某种金属资料的消费过程中，对热处置温度要素要素B B与时间要素与时间要素A A各取两个程度，产品强度各取两个程度，产品强度的测定结果相对值如下表所示。在同一条件下每的测定结果相对值如下表所示。在同一条件下每个实验反复两次。设各程度搭配下强度的总体服从正个实验反复两次。设各程度搭配下强度的总体服从正

21、态分布且方差一样。各样本独立。问热处置温度、时态分布且方差一样。各样本独立。问热处置温度、时间以及这两者的交互作用对产品强度能否有显著的影间以及这两者的交互作用对产品强度能否有显著的影响取响取 =0.05 =0.05？ABA1A2B2B1Ti.T.j.38.038.6(76.6)45.043.8(88.8)47.044.8(91.8)42.440.8(83.2)168.4172165.4175340.42022-1-3037解：按题意需检验三个假设，作计算如下：2222340.4(38.038.640.8 )71.828TS 2221340.4(168.4172 )1.6248AS 22213

22、40.4(165.4175 )11.5248BS 14551.24 14484.02 1.62 11.5254.08A BS71.824.6EABA BSSSS2022-1-3038得方差分析表如下：得方差分析表如下：方差来源方差来源 平方和平方和 自在度自在度均方均方F 比比要素要素A误差误差总和总和1 71.4AF 要素要素B110.0BF AB47.0A BF1.6211.5254.084.671. 82141.6211.5254.081.152022-1-30390.05(1,4)7.71,F由于所以认为时间对强度的影响不显著，而温度的影响显著，且交互作用的影响显著。2022-1-30

23、40二双要素无反复实验的方差分析二双要素无反复实验的方差分析假设两个要素不存在交互作用，或者交互假设两个要素不存在交互作用，或者交互作用对实验的目的影响很小，那么可以不作用对实验的目的影响很小，那么可以不思索交互作用。思索交互作用。 要素B B1 B2 Bs要素A A1 X11 X12 X1s A2 X21 X22 X2s Ar Xr1 Xr2 Xrs 2022-1-3041此时，需求检验的假设有：此时，需求检验的假设有：01121112:0:,rrHH 不全为零02121212:0:,ssHH 不全为零011,(1)(1)AAESHFF rrsS的拒绝域为（021,(1)(1)BBESHFF

24、 srsS假设的拒绝域为（2022-1-3042可得方差分析表如下：可得方差分析表如下：方差来源方差来源 平方和平方和 自在度自在度均方均方F 比比要素要素A误差误差总和总和ASESTSs-1rs-11AASSr(1)(1)EESSrsAAESFS要素要素BBSr-1(r-1)(s-1)1BBSSsBBESFS2022-1-3043表中平方和的计算如下：表中平方和的计算如下：2211rsTijijTSXrs 2211rAiiTSTsrs2211sBjjTSTrrsETABSSSS2022-1-304411rsijijTX其中，1,1,2,siijjTXir1,1,2,rjijiTXjs2022

25、-1-3045例例6 6 为了解为了解3 3种不同配比的饲料对仔猪生种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差别，对长影响的差别，对3 3种不同种类的猪各选种不同种类的猪各选3 3头进展实验，分别测得其头进展实验，分别测得其3 3个月间体重添加个月间体重添加量如下表：量如下表：饲料饲料种类种类A1A2A3B1B3B2TjTi515352156565758171454947141152159157T=4682022-1-3046 ,3,3ijT Trs解：按题意需检验两个假设，的值已算出载于上表。现。则 假定其体重增长量服从正态分布，且各种配合的方差相等。试分析不同饲料与不同种类对猪生长有无显著影响。2

26、2111rsTijijSXTrs2449824336162124498219024 92022-1-304722111173034219024 39rAiiTSTsrs2211sBjjTSTrrsETABSSSS 24344.67 24336 8.671734582433615031628.671503.332022-1-3048列出方差分析表列出方差分析表方差来源方差来源 平方和平方和 自在度自在度均方均方F 比比要素要素A误差误差总和总和8.67AS 3.33ES 162TS 284.335AS 0.83ES 5.21AF 要素要素B150BS 2475BS 90.1BF 2022-1-3

27、0490.055.21(2,4)AFF由于0.0590.1(2,4)6.94,BFF即品种的差异对猪体重增长有非常显著的影响。6.94,即可以认为不同的饲料对猪体重的增长影响不显著，又2022-1-3050 前面讨论的方差分析是调查要素对实验目的影响的显著性，而在有些问题中还需求了解目的随要素改动的变化规律，也就是寻觅目的与要素之间的定量表达式。 在现实世界中，我们经常会遇到多个变量同处于一个过程之中，它们之间存在着相互联络，相互制约的关系。3 一元线性回归一元线性回归2022-1-3051 回归分析就是寻觅这类具有不完全确定关系的变量间的数学关系式并进展统计推断的方法。 (2) 统计关系或称

28、相关关系统计关系或称相关关系, 即变量之间虽然存在着种即变量之间虽然存在着种种关系，但从一个种关系，但从一个(或一组或一组)变量的每一确定值，却不能变量的每一确定值，却不能求出另一变量的值。求出另一变量的值。: (1)确定性关系，即高等数学中所学过的函数关系。例如确定性关系，即高等数学中所学过的函数关系。例如电压电压V，电阻，电阻R与电流强度与电流强度I之间有关系式：之间有关系式：V=IR，圆的，圆的面积面积S与圆的半径与圆的半径R之间有关系之间有关系S = 等等。等等。2R例如人们的身高例如人们的身高X与体重与体重Y之间关系，某种商品的销售量之间关系，某种商品的销售量Y与商品的价钱与商品的价

29、钱X之间的关系，某种农作物的产量与施肥量、之间的关系，某种农作物的产量与施肥量、气候、农药之间的关系等等。其特点是它们之间的关系是气候、农药之间的关系等等。其特点是它们之间的关系是不能用一个确定的函数关系表达出来。不能用一个确定的函数关系表达出来。 两类关系两类关系2022-1-3052 设随机变量y与x之间存在着相关关系，这里，x是可控变量，如身高、价钱、温度等，可以将x看成一个普通变量而不是一个随机变量。 由于y与x之间不存在完全确定的函数关系，因此必需把随机动摇产生的影响思索在内。也就是说y可以看作两部分叠加而成，一部分是随 x的变化而变化，记为f(x)，另一部分是由随机要素引起的，记为

30、 ( )yf x即其中其中f (x)随随x而确定，是而确定，是x的普通函数，故又称回归函数。的普通函数，故又称回归函数。 1、回归模型、回归模型2022-1-30532,(0,).N其中 是随机误差 且y另外可以证明2( ( ),)N f x2022-1-30542. 定义定义2 (0,)YxYabxNYabxbYx设随机变量 与自变量（它是可以精确测定或严格控制的变量）之间成立下列关系其中 为随机变量（随机误差），称为，称关于 的为一元线性回归回归系数。为了研讨y与x之间的关系，进展n次独立实验，实测数据对为： 。 其中, 是可控变量x的一个指定值， 是当 时随机变量 y的对应实测值。),(

31、,),(),(2211nnyxyxyxixiyixx 讨论时，普通是将实测数据在坐标系中画出散点图讨论时，普通是将实测数据在坐标系中画出散点图2022-1-3055() ,a b二的估计2(,),iiYN abx1,2,in12,nY YY,的联合密度为22=111exp() 22niiiLyabx22111exp()22nniiiyabx21( , )()niiiQ a byabx2022-1-3056, a b的最小二乘估计，记2221111()()nnnxxiiiiiiSxxxxn2221111()()nnnyyiiiiiiSyyyyn11111()()()()nnnnxyiiiiiii

32、iiiSxx yyx yxyn2022-1-3057, xyxxa bSbS这样，的估计值可写成1111 ()nniiiiaybxyx bnn2022-1-3058例例1 以家庭为单位，为研讨某商品的价钱以家庭为单位，为研讨某商品的价钱(元元)对商对商品的需求量品的需求量(kg)的影响，现测得一组数据如下：的影响，现测得一组数据如下： 价钱价钱xi(元元)1222.32.52.62.833.33.5需求量需求量yi(kg)53.532.72.42.521.51.21.2试求试求y关于关于x的线性回归方程。的线性回归方程。 解解: 作散点图，从这作散点图，从这10对数据的散点图可以看出，一切的散

33、对数据的散点图可以看出，一切的散点大致分布在一条直线附近。故可用线性回归方程求解。点大致分布在一条直线附近。故可用线性回归方程求解。设设y对对x的回归方程为：的回归方程为： xbay2022-1-30592022-1-3060序号12345678910 xi1222.32.52.62.833.33.525yi53.532.72.42.521.51.21.225xiyi5766.2166.55.64.53.964.254.97xi21445.296.256.767.84910.89 12.25 67.28yi22512.2597.295.766.2542.251.441.4474.68, ,a

34、b为了计算列出回归分析表2022-1-30612167.28254.7810 xxS 从而 154.9725257.5310 xyS xyxxSbS因此有 aybx于是，所求的回归方程于是，所求的回归方程为为xy575. 14375. 67.531.5754.78 1125( 1.575)256.43751010 2022-1-30622()三的估计21()neiiyyxyiQyySbS通过对残差平方和=的推导,22212( )22eyyxyxxQSbSb Snn从而得到的无偏估计量：2(/(2)eE Qn可得 12yyxySbSn2022-1-3063四回归系数的假设检验四回归系数的假设检验

35、1 t、 检验法2( ,/),xxbN bS2222(2)(2)eQnn01 0, 0,HbHb：222(2)/(2) (2)/xxbbnnt nS (2)xxbbSt n即2022-1-3064 (2), xxb Stt n统计量/ 2 (2) ttn对显著水平 ，由 分布表得临界值。/ 20 (2), ttnH如拒绝即认为回归效果显著，否则认为回归效果不显著0Hb当为真时 =0,此时2022-1-3065 2 . F检验法： 3. 相关系数检验：012220 0 0 (1,2) (1,2) (1,2)xyxxHbHbbSb SFFnFFnFFnH：，：，统计量在显著性水平 下，由 分布表查

36、得临界值。如，拒绝。0 xyxxyySrS SrH样本相关系数定义为当较大时，拒绝。2022-1-3066例例2 在显著性程度在显著性程度 下，检验例下，检验例1得到的得到的线性回归方程的显著性。线性回归方程的显著性。 05. 04.78,7.53,xxxySS 解解 沿用例沿用例1 1的结果的结果 xySbS回因此因此5 .296)210/(32. 086.11f12.18 11.860.32eyySQSS回残22( 7.53)11.86,4.78xyxxSS2174.68 10 (25)12.1810yyS2022-1-3067由05. 0得临界值fFnF32. 5)8, 1 ()2, 1

37、 (05. 0。 故拒绝 H0，即可以认为商品的销售量与商品的价格确实存 在着线性关系，而且线性回归效果显著。 值得留意的是，当我们检验后，接受值得留意的是，当我们检验后，接受H0：b=0时，即以为时，即以为y对对x的线性关系不显著时，并不意味着的线性关系不显著时，并不意味着y与与x就不相关。现实就不相关。现实上，线性回归效果不显著能够有如下几种情形：上，线性回归效果不显著能够有如下几种情形：(1) 影响影响y取值的，除了取值的，除了x外，还有其它不可忽略的要素；外，还有其它不可忽略的要素；(2) y与与x的关系不是线性的，但存在着其他相关关系；的关系不是线性的，但存在着其他相关关系；(3)

38、y与与x确实不存在相关关系。确实不存在相关关系。因此，需求作进一步的分析、研讨。因此，需求作进一步的分析、研讨。2022-1-3068b（五）回归系数 的置信区间/ 21(2)xxbbtnS的 置 信 度 为的 置 信 区 间 是2022-1-3069( ) xabx（六）回归函数函数值的点估计和置信区间( ) ( ) , ,ababxabxxabxxabxYxyabxYx得到 和 的估计 和 后，对于给定的 ，我们就取作为回归函数的估计，即称为 关于 的经验回归函数。记称为 关于 的经定义： 回归验回归方程，简称，其图形称为方程回归直线。2022-1-30700000( )() yxabxx

39、yxabx由以上定义，可以用经验回归函数在 点的函数值的点估计，即00200/2()11()(2)xxxabxxxYtnnS的置信水平为的置信区间为000 ()yxabx2022-1-3071Y（七） 的观察值的点预测和预测区间0YY应用经验回归函数，可以对因变量 的点预测观察值进行和区间预测。002000000000000 , (0,) ()=YxxYYabxNxYxabxYabx若是在处对 的观察结果，满足：随机误差可正可负，其值无法预料，我们就用处的经验回归函数值作为的点预测。2022-1-30720200/ 211()(2)1xxYxxYtnnS的 置 信 水 平 为的 预 测 区 间

40、 为 ：2022-1-30737 xyyx例下表列出在不同挂重 下，弹簧长度 的测量值，设测量值 对给定的 服从正态分布。挂物的分量挂物的分量xi(牛牛) 弹簧的长度弹簧的长度yi(厘厘米米)50 100 150 200 250 3007.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.801;0,0(0.05)0.951600.95ya bxHbHbbxy (1)求线性回归方程(2)检验假设： ：(3)若回归效果显著，求 的置信度为的置信区间；(4)求在(牛)时， 的置信度为的预测区间。2022-1-3074621 (1)175, 227500, iixx解621 9.4867,554.

41、6594 iiyy61 6,10762 iiinx y221nxxiiSxnx22275006 175 =43750 2022-1-30751nxyiiiSx ynxy221nyyiiSyny800.9650.0183143750 xyxxSbS9.48670.01831 1756.2825aybx 6.28250.01831yx所以2107626 175 9.4867800.965, 2554.65946 9.4867 =14.6745 2022-1-3076(2) eyyxyQSbS0.05 6642.9392(1,4)7.71/(2)xyebSFFQn0Hxy所以，拒绝，认为重量 与弹簧

42、长度 有显著的的线性关系。14.67450.01831 1750.008831 2022-1-3077(3) 0.04697, (2)eQn0(4) 6.28250.01831 1609.2121, y 0.025 (4)2.7764, 0.95(0.01769 0.01893)tb的置信度为的置信区间为，。20/2()1 (2)10.1412, 0.959.0709 9.3533)xxxxtnnSy所以， 的置信度为的预测区间为(，。2022-1-3078八可化为一元线性回归的例子八可化为一元线性回归的例子221 e, ln(0,), xYNx 、其中 ， ，是与 无关的未知参数。两边取对数

43、，得 lnlnlnYxln,ln,lnYYab xx令可转化为一元线性回归模型：2 , (0,).YabxN2022-1-3079222 , ln(0,),YxNx、其中 ， ，是与 无关的未知参数。lnlnlnlnYxln,ln,ln,lnYYabxx令可转化为一元线性回归模型：2 , (0,).YabxN 两边取对数，得2022-1-3080223 ( ), (0,),( )Yh xNxh xx、其中 ， ，是与 无关的未知参数，是 的已知函数，2 , (0,).YabxN, ( ), ab h xx令可转化为一元线性回归模型：2022-1-30814 多元线性回归多元线性回归1212,p

44、pYx xxYYx xx在实际问题中，随机变量 往往由多个普通变量确定它的值， 有它的分布。若 的数学期望存在，则它是的函数，1212,( ,),ppY x xxYxx xx记为或关于 的它就是回归函数。2022-1-30821212( ,),ppx xxx xx我们感兴趣的是是的线性函数的情况。201 120112 , (0,),ppppYbbxb xNb bbx xx这里，仅讨论下述多元线性回归模型：其中都是与无关的未知参数2022-1-308311121112 (,),(,)pnnnpnxxxyxxxy设是一个样本。010011, pppb bbbb bbbb用最大似然估计法来估计参数。即取