线性变换的特征值和特征向量

1、2021/6/1613 线性变换的特征值与特征向量线性变换的特征值与特征向量在有限维的线性空间中，取定一组基后，线性变换的矩阵就在有限维的线性空间中，取定一组基后，线性变换的矩阵就确定下来。线性变换在不同基下的矩阵是相似的。这一节确定下来。线性变换在不同基下的矩阵是相似的。这一节初步讨论如何选择基，使得线性变换的矩阵的形式尽量简单。初步讨论如何选择基，使得线性变换的矩阵的形式尽量简单。u线性变换的特征值与特征向量线性变换的特征值与特征向量u若干例子若干例子u矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量u特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法 特征多项式特征多项式, 齐次线性方程组齐次线性

2、方程组u特征值的一些重要性质特征值的一些重要性质2021/6/162例子例子: 线性变换的矩阵线性变换的矩阵2021/6/163线性变换的特征值与特征向量线性变换的特征值与特征向量1) 特征向量与经过线性变换后的向量共线特征向量与经过线性变换后的向量共线.2021/6/164例子例子2021/6/165例子例子思考思考: 对于对于n维欧氏空间中的镜像变换求出其特征值和特征向量维欧氏空间中的镜像变换求出其特征值和特征向量.2021/6/166特征子空间特征子空间, 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量如果存在非零列向量如果存在非零列向量X使得使得2021/6/167变换的特征向量与矩阵的

3、特征向量变换的特征向量与矩阵的特征向量2021/6/168特征矩阵与特征多项式特征矩阵与特征多项式一个一个n阶方阵在数域阶方阵在数域 K 上至多有上至多有 n 个特征值个特征值, 在复数域上正好有在复数域上正好有 n 个特征值个特征值(重根计算重数重根计算重数).2021/6/169特征多项式的性质特征多项式的性质线性变换的特征值是与基的取法没有关系的量线性变换的特征值是与基的取法没有关系的量 在不同的基下的矩阵应该有相同的特征值在不同的基下的矩阵应该有相同的特征值矩阵的特征向量是线性变换的特征向量在基下的坐标矩阵的特征向量是线性变换的特征向量在基下的坐标随着基的变化而变化随着基的变化而变化

4、相似的矩阵有相同的特征多项式相似的矩阵有相同的特征多项式, 因此有相同的特征值因此有相同的特征值2021/6/1610例题例题 3.5解解: (1) 特征多项式特征多项式; (2) 求特征值；求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量；以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间写出特征子空间 2021/6/1611例例3.5 续续解解: 1) 特征多项式特征多项式特征值：特征值：2) 特征向量特征向量的基础解系的基础解系.2021/6/1612例例3.5 续续的基础解系的基础解系.特征子空间特征子

5、空间: 特征子空间特征子空间2021/6/1613变换的特征值与特征向量的求法变换的特征值与特征向量的求法(1) 特征多项式特征多项式; (2) 求特征值；求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量；以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间写出特征子空间 2021/6/1614例题例题因此因此, 矩阵矩阵R在实数域上没有特征值在实数域上没有特征值. 如果把如果把R看成复数域上的矩阵看成复数域上的矩阵, 则有两个特征值则有两个特征值, 但没有几何意义但没有几何意义.特征值与特征向量与矩阵所在的数域有