平面区域问题

1、平面区域问题1 平面区域的确定1. 1 不等式的区域我们把满足不等式 F(x, y) 0 的点(x, y)的集合称为不等式 F(x , y) 0 的区域对于不等式 F(x，y) 0,如果方程 F(x，y)=0 确定平面内一 实曲线，则曲线把平面分成若干个区域 Gi, G2,.在每一个区域内任取一点，坐标满足F(x , y) 0 的区域的并集，即为原不等式的区域.为方便起见，我们常选取一些简单的特殊点(如坐标原点等)来计算F(x, y)的值.例如，求 x2 2y2+ 1 的区域.先画出 x2=2y2+ 1 的曲线(图 1)，然后用原点(0, 0)代入原不等式， 不能成立，再取(2, 0)代入原不

2、等式，能成立.故x22y2+ 1 所表示区域为双曲线“内部”(含焦点部分).(图 1)圄刃(图 3)團 4)1. 2 不等式组的区域我们把同时满足若干个不等式的点的集合叫做这些不等式构成的不 等式组的区域.不等式组的区域是不等式中每一个不等式区域的交集.为方便起见，我们也可以通过用特殊点法求出每一个小区域内有关式子的符号，来判 断不等式组的区域.例如，求不等式(y x + 1)(2x y 3) 0 所表示的区域.首先作出两直线 y x +仁 0 与 2x y 3= 0 的图象(图 2),它们将平 面分成四个部分.为确定(y x + 1)(2x y 3) 0 的区域，可以用两种方 法.不等式 y

3、 x + 1 0 可化为 y x 1,表示直线 y x + 1=0 的“上 方”；同样，2x y30 表示直线 2x y 3=0 的“下方.所以不等 式组 表示的区域为图 2 中的区域I,不等式组（2）表示区域故本题 所表示的区域为将I、川两部分合并而成的区域.方法 2:分别在四个区域内选取特殊点，如区域I内选点（4, 4），区 域内选点（0, 0），区域川内选点（0, 2）,区域W内选点（2, 0），分别 代入检验，以确定符合条件的区域范围.对于含有复数的不等式组，可结合复数几何意义来确定平面区域.7T例如，设复数匸满足A = (z|z-l|),求AP1B,集合 A=z|z 1| 表示arg

4、z0与y - x + 0 2x -y - 30, I例2求下列不等式组的整数解； + 4y+40, I2x+y- 60. I解 作直线 li: 3x- 2y-2= 0, 12: x + 4y + 4=0; b : 2x+ y- 6= 0(图5).在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域(如图 5 中三角形内区域).此三角形区域内的整数点为 (2, 1), (1 , 0), (2, 0), (1 , - 1) , (2 , -1) , (3 , - 1),即原不等式组的整数解.2. 2 含参变量的平面区域问题对于这类问题，可首先设法消去已知曲线方程中的变量，得到仅含参变量的方程或不等式，再转化为

5、2. 1 类问题求解.例3求方程组m；6 b, K, y均大于0)有两组相异解时，泊laxTby 1 (2)b 所满足的条件，并求出点(a , b)的存在范围.解 方程(1)与(2)的曲线是直线和椭圆在 xoy 坐标系中第一象限的部 分(图 6).仗+护+(厂y2j5,p=伽刃|x + y|1*|Cl,|y| 0，即卩 ab a bv0.又注意到椭圆顶点0)和g)均在直线下方，则 5bL所以a, b 所满足的条件是 ab a bv0(a 1, b 1).不等式(a 1)(b 1)v1(a 1 , b 1)表示位于双曲线(a 1)(b 1)=1 的“外部”且满足 a 1,b 1 的点所构成区域图

6、 7 中的阴影部分，就 是点(a, b)的存在范围.例 4 设 a, b 是两个实数，A = (x , y)|x = n, y=na+ b, n Z, B=(x , y)|x = m, y=3m2+ 15,m Z , C=(x , y)|x2+ y2 144是平面 xoy 内的 点的集合，讨论是否存在 a 和 b,使直nEHgw表示空集),(a, b) C 同时成立.(1985 年高考试题)解 A=(x , y)|x=n , y=na+ b, n Z为直线 y=ax + b(其中 a, b 为参 数)上横坐标取整数的点，B=(x , y)|x=m , y=3m2+ 15, m Z为抛物线2y=

7、3x2+15上坐标取整数的点*AABH0,两曲线有交点，故令f=消珀3x3-I y +15.4-15-b = O,则 =a2+ 12b 1800, (1)为了进一步研究，可以在直角坐标系中画出不等式a2+ 12b 1800的区域，再画出不等式a3+b 0 的 p, q 的值是图 9 中阴影部 分（含曲线）的点的坐标.因为a2+32=1,即（a+3）2 2a 3=1 .所以 p2= 2q+ 1.而适合等式 p2=2q+ 1 的 p 和 q 的值为抛物线 p2= 2q +1 上点 的坐标，由图 9 可知，所求 p 和 q 的范围即为抛物线 p2= 2q+ 1 上 A , B 两点间的一段弧上的点的

8、坐标的集合.解由匕L得駅，外-d 抛物线p2=2q+l的顶点C Ip = 2q+1, ZL* 0),所以一72I_CqC 解此类问题时， 要注意隐含条件的挖掘（如本题中a,3是二次方 程两个实根， 即判别式“ p24q0”）.忽视了此条件，可能会导致变量 取值范围的扩大.2. 3 利用图形区域，求变量组合式的范围例 5 已知方程a和卩，且a2+32= 1 ,溜 9)(團 10)图11）例6已知繆1, n + yC 2 ,求盟+2y的最大值.-1表示区域为图10中的阴影部分(含边界)，解得址吕 幼H+ y2-2令2m = sc+2y,即y二-卜 +nu m表示直线系y= - x + inl截距，

9、阴影部分区域内的点使直线系y=- jx+ m的纵截距诩最大值为从A处所作直线的截距，将x =fy= 2代入2mr+2旳得2m = 4二故仗十2y)如戡 4丄.对于这类问题，可首先求出满足题设条件的平面区域，然后就求其 最大值的式子 x+ 2y 构造几何意义，从几何角度上给出解答.例 7 在坐标平面内有两个区域 M 和 N , M 是由 y 0, y x 和 y 2 x 这个不等式组确定，N是随 t 变化的区域，它由不等式 txwt+ 1 所 确定，t 的取值范围是 Owtw1 .设函数 z= 13x + 6y，其中 x, y 满足(x, y) MnN，求 z 的最大值.解 首先作出区域 M 如

10、图 11(1)中的阴影部分(含边界)所示，区域 N 是坐标平面内带形区域(含边界)，如图 11(2)中的阴影部分所示.因为 OWt 1,所以 MnN 的区域不固定，但 MnN 区域的全体即 为区域13113M,将z = 1鬼+形为y二-+二艺，作平行直线系y =_z + m60Q从图11中看出=直线过点C(2, 0)时纵截距彳最大故= 13x+ 6y =13 2 + 6 0= 26.若根据题意构造出的平面区域是可变化的， 则应就它的变动情况进行分类，然后才能如例7 那样作出讨论.例 8 已知函数 f(x)=ax2 c 满足一 4f(1) 1, 1Wf(2) 5,求 f(3) 的范围.解f(l) = c, f(2) =4a - ctfi(3) = 9a - c.现求9a - cff范围.建立直角坐标系（图 12），横坐标表示为 a,纵坐标表示为 c,则不等 式组表示区域为平行四边形EFGH 区域（图 12 中的阴影部分含边界）现作直线系 9a c= m, m 表示直线系在 c 轴上的截距，当直线系通过 E（0, 1）与 G（3, 7）时，m 取得最小值与最大值，即一 20Wm 1 K 9a c 20 这是一道有一定难度的关于二元一次不等式组表示区域的最大（小）值题学生解题错误较多，例如将双联不等式组当作方程解出a 与 c 的取值范围（双联不等式），然后