竞赛：力学2019ppt课件

1、1.1. 沿沿x轴作直线运动的质点，在轴作直线运动的质点，在t0时，速时，速度为度为vx=x，其中，其中为正的非零常量为正的非零常量. 知知t=0时，质点位于时，质点位于x00的位置，那么在运的位置，那么在运动过程中，质点加速度动过程中，质点加速度ax与位置与位置x之间的之间的函数关系为函数关系为ax= ，质点，质点位置位置x与时间与时间t之间的函数关系为之间的函数关系为x= .解：解： (1)(1)dtdvaxxdtdxxvx2(2)(2)xdtdx由由vx=xtxxdtxdx00txx0lntexx02.2.如下图，长如下图，长L、质量、质量M的匀质重梯的上端的匀质重梯的上端A靠在光滑的竖

2、直墙上，下端靠在光滑的竖直墙上，下端B落在程度落在程度地面上，梯子与地面的夹角为地面上，梯子与地面的夹角为60。一个。一个质量也为质量也为M的胖男子从的胖男子从B端缓慢爬梯，到端缓慢爬梯，到达梯子的中点时，梯子尚未滑动，稍过中达梯子的中点时，梯子尚未滑动，稍过中点，梯子即会滑动，据此可知梯子与地面点，梯子即会滑动，据此可知梯子与地面间的摩擦因数间的摩擦因数= 。令。令质量为质量为2M/3的瘦男子交换胖男子从的瘦男子交换胖男子从B端缓端缓慢爬梯，为使梯子不会滑动，他可到达的慢爬梯，为使梯子不会滑动，他可到达的最高位置与最高位置与B端相距端相距 。解：解： (1)(1)20BNMg60ABANBN

3、Bf2Mg阐明阐明 静力平衡条件：静力平衡条件： 合力为零合力为零, 合力矩为零合力矩为零.0ABABNfNN2sin602cos600LANLMg 60ABx(2)(2)36解得解得ANBNBfMg23Mg230BNMgMg0ABABNfNNsin60ANL2cos60LMg23cos600Mg x2Lx 解得解得3.3. 半径为半径为r的小球在空气中下降速度为的小球在空气中下降速度为v时，时，所受空气阻力为所受空气阻力为 f(v)=3.110 4 rv+0.87r2v2 (SI) 那么半径为那么半径为2mm的雨滴在降落过程中所的雨滴在降落过程中所能到达的最大速度能到达的最大速度(即收尾速度

4、即收尾速度)为为m/s.解：解： 雨滴受重力和空气阻力作用，当两力平雨滴受重力和空气阻力作用，当两力平衡时，雨滴速度最大，此时有衡时，雨滴速度最大，此时有grmgvf334)(代入数据，得代入数据，得04 .94178. 02vv解得解得)/(6 . 9smv 4.如图，在倾角为如图，在倾角为的固定斜面上有一与斜面垂直的固定的固定斜面上有一与斜面垂直的固定光滑细棍，一条长为光滑细棍，一条长为L、质量线密度为、质量线密度为的匀质细绳平直的匀质细绳平直地放在斜面上地放在斜面上. 细绳的上端绕过细棍衔接一质量为细绳的上端绕过细棍衔接一质量为m的小的小球，小球几乎贴近细棍球，小球几乎贴近细棍. 设绳、

5、小球与斜面间的摩擦系数设绳、小球与斜面间的摩擦系数同为同为(tan )/2，系统开场时处于静止形状，系统开场时处于静止形状. 假设而后小假设而后小球能沿斜面下滑，试求小球质量球能沿斜面下滑，试求小球质量m的可取值，并给出其下的可取值，并给出其下限值限值m0. 假设小球质量为问中的假设小球质量为问中的m0 ，小球因受扰动，小球因受扰动而下滑，试求小球下滑间隔而下滑，试求小球下滑间隔 x0时辰，环上最低点的加速度大时辰，环上最低点的加速度大小为小为，最高点的加，最高点的加速度大小为速度大小为.解：解：ta na tanaoao纯滚动特点：纯滚动特点：环心速度大小环上一环心速度大小环上一点绕环转动的

6、线速度大小点绕环转动的线速度大小Rao环心加速度大小环上环心加速度大小环上一点绕环转动的切向加速一点绕环转动的切向加速度大小度大小环心系：环心系：Raatt 222tRRaann 地面系：地面系： 最低点最低点0ottaaa22tRaann2222tRaaant最高点最高点Raaaott2 22tRaann 42224tRaaant14.14.两根长度均为两根长度均为L的匀质细杆连成的匀质细杆连成T形尺，形尺，其上任取一点其上任取一点P，记，记I(P)为为T形尺对过形尺对过P点点且垂直于且垂直于T形尺所在平面的轴的转动惯量形尺所在平面的轴的转动惯量. 试在尺上准确标出试在尺上准确标出P1、P2

7、点的位置，使点的位置，使I(P1)为一切为一切I(P)中最小者，中最小者，I(P2)为一切为一切I(P)中最大者中最大者.LLP解：解：由转动惯量的平行轴定理由转动惯量的平行轴定理2)(MdIPIC可知：过质心的轴，可知：过质心的轴，I I最小；离质心最远最小；离质心最远的轴，的轴，I I最大最大. .T形尺的质心在竖杆上，设其距横杆为形尺的质心在竖杆上，设其距横杆为x，那么有，那么有)2(xLmxm4Lx P1点确定点确定P2点应距质心最远，易知其位于竖杆下点应距质心最远，易知其位于竖杆下端端.LLP2P1L/4在图中标出：在图中标出：15.15.由两个一样的匀质半圆环相切衔接成的平面曲由两

8、个一样的匀质半圆环相切衔接成的平面曲杆如图，图中杆如图，图中A1、A2、A3代表代表3根垂直于曲杆根垂直于曲杆所在平面的固定转轴，那么其中曲杆相对转轴所在平面的固定转轴，那么其中曲杆相对转轴的转动惯量最大；假设曲杆质量为的转动惯量最大；假设曲杆质量为m、半径为、半径为R，那么它相对转轴，那么它相对转轴A3的转动惯量的转动惯量为为.R O2A1A2A3O1R解：解： (1)(1)曲杆质心在曲杆质心在A3A3处，处，A1A1离质心最远，故离质心最远，故答案为：答案为：A1 A1 (2)(2)想象将右侧半圆环翻转到左侧，那么想象将右侧半圆环翻转到左侧，那么系统对系统对A3A3轴的转动惯量不变，故有轴

9、的转动惯量不变，故有223)(mRmRAI22mR16.16.圆心记为圆心记为O，半径，半径R，质量，质量4m的匀质圆板的匀质圆板，内切地割去半径为，内切地割去半径为R/2的小圆板后，剩的小圆板后，剩余的板块如下图，其质心位置记为余的板块如下图，其质心位置记为C(图图中未示出中未示出). 过过O、C分别设置垂直于板面分别设置垂直于板面的转轴，那么相对这两个转轴的转动惯的转轴，那么相对这两个转轴的转动惯量分别为量分别为IO=， IC= .O(1)(1)()()4(222221221RROmmRmI2813mR(2)(2)设设OC= xO那么有那么有023Rmxm6Rx 26)(3RCOmII22

10、437mRIC解：解：C17.17.两个质量一样的小球两个质量一样的小球A、B，用长，用长为为2a的不可伸长的轻绳结合的不可伸长的轻绳结合.开场开场时两球位于同一竖直线上，相距为时两球位于同一竖直线上，相距为a，如图，如图. 今给今给A一程度速度一程度速度v0，同，同时静止释放时静止释放B，不计空气阻力，且，不计空气阻力，且设绳一旦伸直便不再回缩，问：经设绳一旦伸直便不再回缩，问：经过多长时间，两球恰好第一次位于过多长时间，两球恰好第一次位于同一程度线上？同一程度线上？(加加08一题一题)aAB0v解：解： 设从开场到绳伸直，经过的时间为设从开场到绳伸直，经过的时间为t1t1，在此过程中，在此

11、过程中， B B球自在下落，球自在下落，A A球作平球作平抛运动，两球竖直方向间隔抛运动，两球竖直方向间隔 不变，当绳不变，当绳伸直时，有伸直时，有2022maamvaAB10tv 2aatv310013vat 因抛出后系统仅受重力作用，故系统在因抛出后系统仅受重力作用，故系统在质心系中角动量守恒质心系中角动量守恒. . 在绳伸直后，系在绳伸直后，系统成为刚体，两球绕过质心且垂直于图统成为刚体，两球绕过质心且垂直于图面的轴作匀角速转动，设角速度为面的轴作匀角速转动，设角速度为，那么有那么有av40从绳伸直到两球第一次位于同一程度线从绳伸直到两球第一次位于同一程度线上，系统转过角度上，系统转过角

12、度/6/6，设所需时间为，设所需时间为t2t2，那么有，那么有02326/vat所求总时间：所求总时间：021)323(vattt18.18.如图，一长为如图，一长为L、质量为、质量为m的匀质细杆置于光的匀质细杆置于光滑程度面上，可绕过杆中点滑程度面上，可绕过杆中点O的光滑固定竖直的光滑固定竖直轴转动，初始时杆静止，有一质量与杆一样的轴转动，初始时杆静止，有一质量与杆一样的小球以与杆垂直的速度小球以与杆垂直的速度v飞来，与杆端点碰撞飞来，与杆端点碰撞并粘附其上并粘附其上. 定量分析系统碰撞后的运动形定量分析系统碰撞后的运动形状；假设去掉固定轴，杆中点不固定，再求状；假设去掉固定轴，杆中点不固定

13、，再求碰后系统的运动形状碰后系统的运动形状.(加加06一题一题)Omm, Lv解：解： (1)(1)碰撞过程中碰撞过程中, , 球杆系统角动量守恒球杆系统角动量守恒, , 有有02221212)(LLmmLmvLv230碰撞后，系统以角速度碰撞后，系统以角速度0=3v/2L0=3v/2L绕绕轴作逆时针匀角速转动轴作逆时针匀角速转动. .(2)(2)碰撞过程中，球杆系统动量守恒，碰撞过程中，球杆系统动量守恒，且在质心系中角动量守恒，有且在质心系中角动量守恒，有由上两式解得：由上两式解得：2vvcLv56碰撞后，系统质心以速度碰撞后，系统质心以速度vc=v/2vc=v/2向右向右作匀速直线运动，同

14、时系统以角速度作匀速直线运动，同时系统以角速度=6v/5L=6v/5L绕过质心绕过质心( (位于距杆端位于距杆端L/4L/4处处) )的竖直轴作逆时针匀角速转动的竖直轴作逆时针匀角速转动. .cvmmmv)()()(242421214LLLmmmLmv19.19.如图，均匀细杆如图，均匀细杆AOB的的A端、端、B端和中央位置端和中央位置O处各有一个光滑小孔，先让杆在光滑程度面处各有一个光滑小孔，先让杆在光滑程度面上绕上绕O孔以角速度孔以角速度0作顺时针方向旋转，然作顺时针方向旋转，然后将一光滑细棍迅速地竖直插入后将一光滑细棍迅速地竖直插入A孔孔. 稳定后稳定后，在迅速拔去，在迅速拔去A端细棍的

15、同时，将另一光滑细端细棍的同时，将另一光滑细棍如前所述插入棍如前所述插入B孔；再次稳定后，又在迅速孔；再次稳定后，又在迅速拔去拔去B端细棍的同时，将另一光滑细棍如前所端细棍的同时，将另一光滑细棍如前所述插入述插入O孔孔. 试求最终稳定后，细杆绕试求最终稳定后，细杆绕O孔的旋孔的旋转方向和旋转角速度转方向和旋转角速度的大小的大小.AOB 0解：解：每一次插棍前后，系统对那个位置处的每一次插棍前后，系统对那个位置处的轴的角动量坚持不变轴的角动量坚持不变.系统角动量质心角动量质心系中的系统角动量质心角动量质心系中的角动量角动量设顺时针方向为转动正方向设顺时针方向为转动正方向插入插入A孔：孔：0212

16、10mLLAAmL231应应041A插入插入B孔：孔：ALALBmLmL212122BmL231应应081B刚体转动的刚体转动的角速度与基角速度与基点的选择无点的选择无关关插入插入O孔：孔：BOmLL212102121mL应应108B 方向：逆时针方向：逆时针大小：大小：081将一根质量为的长杆用细绳从两端程度地将一根质量为的长杆用细绳从两端程度地挂起来，其中一根绳子忽然断了，另一根绳挂起来，其中一根绳子忽然断了，另一根绳内的张力是多少？内的张力是多少？mlac解：解：由质心运动定理和相对于质心的角动量定理得：由质心运动定理和相对于质心的角动量定理得：)31(2mlIITlcccmaTmgl

17、2设杆长为设杆长为因在些时辰绳未断的一端加速度为因在些时辰绳未断的一端加速度为0TmgT41最后得最后得20.20.21.21.如图，一刚体无转动地自在下落，如图，一刚体无转动地自在下落，P1为为刚体上独一的最低点，刚体上独一的最低点，P1P2为过为过P1点的点的铅垂线，铅垂线，C为刚体质心为刚体质心. 图平面为图平面为C与与P1P2确定的平面，确定的平面，C到到P1P2的间隔的间隔 为为d，刚体质量为，刚体质量为m，刚体对于过，刚体对于过C且与图平且与图平面垂直的程度轴的转动惯量为面垂直的程度轴的转动惯量为IC，设，设ICmd2. 知刚体与程度地面将发生的碰知刚体与程度地面将发生的碰撞是弹性

18、的，且无程度摩擦力，试在刚撞是弹性的，且无程度摩擦力，试在刚体上找出这样的点，它们在刚体与地面体上找出这样的点，它们在刚体与地面碰撞前、后的两个瞬间，速度方向相反碰撞前、后的两个瞬间，速度方向相反，大小不变，大小不变.CP1P2dC0vcvtN 解：解：设落地速度为设落地速度为0v碰撞中，地面作用力的冲量为碰撞中，地面作用力的冲量为tN碰撞后，质心速度为碰撞后，质心速度为 ，刚体绕，刚体绕C轴轴(过过C垂直于图面垂直于图面)转动的角速度为转动的角速度为cv那么有那么有)(0mvmvtNc0cIdtN2212212021ccImvmv(系统动量定理系统动量定理)(质心系角动量定理质心系角动量定理

19、)(动能不变动能不变)(系统动能质心动能质心系中动能系统动能质心动能质心系中动能)解得解得022vmdImdIvccc022vmdImdc(0，向上，向上)(0，顺时针，顺时针)易知刚体上与易知刚体上与C轴在同一程度面内且位轴在同一程度面内且位于于C轴左侧的某些点才能够满足要求，轴左侧的某些点才能够满足要求，设这些点距设这些点距C轴为轴为x，那么有，那么有0vxvccvvx0d即图面上由即图面上由C向向P1P2作垂线，记垂足为作垂线，记垂足为P0 ，那么刚体上过，那么刚体上过P0且垂直于图面的直且垂直于图面的直线上各点为所求之点线上各点为所求之点.22.22.如图，静长如图，静长L0L0的飞船

20、以恒定速率的飞船以恒定速率v v相对惯相对惯性系性系S S高速运动假设从飞船头部高速运动假设从飞船头部A A发出发出一光信号，那么飞船上察看者以为需经一光信号，那么飞船上察看者以为需经时间时间t t= = 到达尾部到达尾部B B，而，而S S系中系中的察看者以为需经时间的察看者以为需经时间t=t=到达尾部到达尾部B BvABS系系解：解：(1)(1)cLt0飞船上：飞船上：(2)(2)设飞船系为设飞船系为O O系系22)/(1cvxcvtt那么那么O O系中：系中：xx,voAoB2020)/(1)(cvLcvcLvcvccL0ABD0.6c23.23.高速列车以高速列车以0.6c(c为光速为

21、光速)的速率相对地面的速率相对地面运动，车内有一滑轨运动，车内有一滑轨AB，车上的观测者，车上的观测者测得滑轨长为测得滑轨长为10m，小滑块，小滑块D在在10s内由滑内由滑轨的轨的A端滑到端滑到B端，那么地面上的观测者端，那么地面上的观测者测得滑轨长度为测得滑轨长度为m，测，测得滑块挪动间隔得滑块挪动间隔 为为m.(2)(2)2)/(1cvtvxx28)6 .0(1101036 .010)(1025. 29m解：解： (1)(1)长度收缩：长度收缩：20)/(1cvLL2)6 . 0(110)(8 m24.24.静止时质量面密度为静止时质量面密度为0的均质等边三角的均质等边三角形薄板，因在其所

22、处平面内高速运动而形薄板，因在其所处平面内高速运动而成为等腰直角三角形，求：运动速度成为等腰直角三角形，求：运动速度大小；此时板的质量面密度大小；此时板的质量面密度. 解：解： (1)(1)L0长度收缩效应：长度收缩效应：2)/(123020LcvLcv32(2)(2)20)/(1cv03Notes:高速运动时：高速运动时：面积面积20)/(1cvAA体积体积20)/(1cvVV20)/(1cv20)/(1cv25.25.解：解：均匀物质静止时的体积为均匀物质静止时的体积为V0，密度为，密度为0，当它以匀速度，当它以匀速度 运动时，体积为运动时，体积为，密度为，密度为 v20)/(1cvVV2

23、0)/(1cv26.26.有两个在同不断线上沿相反方向以速度有两个在同不断线上沿相反方向以速度v飞行的飞船飞行的飞船A(向左飞向左飞)和和B(向右飞向右飞)，飞船，飞船A中的观测者测到相对其静止的中子的寿中的观测者测到相对其静止的中子的寿命为命为，那么飞船，那么飞船B中的观测者测到此中中的观测者测到此中子的寿命为子的寿命为 ；A船测船测到到B船的速度为船的速度为.解：解：速度变换：速度变换：2uvuuv1c xx,voou(地地)(B)(1)(1)B船测到船测到A船的速度大小：船的速度大小：AB222( v)v2vu( v)vv11cc22222ABvcvccu1t)(2)(2)A船测到船测到B船的