空间解析几 1.5 标架坐标ppt课件

1、滨州学院数学与信息科学系滨州学院数学与信息科学系 笛卡尔Rene Descartes ）空间解析几何空间解析几何 1.5 1.5 标架坐标标架坐标1.5.1 1.5.1 仿射坐标系仿射坐标系 引理引理1.5.1 1.5.1 在直线上取定一个非零向量在直线上取定一个非零向量 ，那么在此直线，那么在此直线上任一向量上任一向量 ，都存在唯一确定的实数，都存在唯一确定的实数 ，使得，使得e xx e. 引理引理1.5.2 1.5.2 在平面上取定两个不共线的向量在平面上取定两个不共线的向量 ，则对，则对于该平面上任一向量于该平面上任一向量 ，都存在惟一的二元有序实数，都存在惟一的二元有序实数 ，使使1

2、2,e e 11,x y1 112xyee 定理定理1.5 1.5 在空间中取定三个不共面的向量在空间中取定三个不共面的向量 ，那，那么对于空间中任一向量么对于空间中任一向量 ，都存在唯一的三元有序实数组，都存在唯一的三元有序实数组 ，使得，使得123,e e e 111,x y z1 11213.xyzeee 空间解析几何空间解析几何 1.5 1.5 标架坐标标架坐标 定义定义1.5.1 1.5.1 在空间中取定一点在空间中取定一点 及三个有次序的不共面及三个有次序的不共面的向量的向量 ，构成空间的仿射坐标系，构成空间的仿射坐标系 ，点，点 称称为坐标原点，为坐标原点， 叫做坐标向量或基本向

3、量，简称基，它叫做坐标向量或基本向量，简称基，它们所在的直线分别叫做们所在的直线分别叫做 轴，轴， 轴，轴， 轴，统称坐标轴轴，统称坐标轴. .123,e e e123 ;,O e e exyz 定义定义1.5.2 1.5.2 对空间中向量对空间中向量 ，它在仿射坐标系，它在仿射坐标系 下有分解式下有分解式 ，称，称 是向量是向量 在坐标系在坐标系 下的坐标下的坐标. . , ,x y z123xyzeee 123 ;,O e e e 定义定义1.5.3 1.5.3 在仿射坐标系在仿射坐标系 下，对于点下，对于点 ，称向，称向量量 是点是点 的向径的向径. .向径在坐标系的坐标称为点向径在坐标

4、系的坐标称为点 在该坐在该坐标系下的仿射坐标标系下的仿射坐标. .123 ;,O e e eMOM MM空间解析几何空间解析几何 1.5 1.5 标架坐标标架坐标1e1e3e 例例1 1 如图，梯形如图，梯形 中，中， ， 是是 的中点，求点的中点，求点 及向量及向量 在坐标系在坐标系 下的坐标下的坐标. .ABCD,3ADBC ADBCEADCCE ;,A AE AB (a)(a)(b)(b)注：由于三个坐标向量注：由于三个坐标向量 可以有两种不相同的相互可以有两种不相同的相互 位置关系，如下图，（位置关系，如下图，（a a所示坐标系为右手仿射坐标所示坐标系为右手仿射坐标 系，（系，（b b

5、所示为左手仿射坐标系所示为左手仿射坐标系. .空间解析几何空间解析几何 1.5 1.5 标架坐标标架坐标设设，那么，那么向量加减法运算是：向量加减法运算是：也可简记为：也可简记为：1.5.2 1.5.2 用坐标进行向量运算用坐标进行向量运算空间解析几何空间解析几何 1.5 1.5 标架坐标标架坐标 例例2 2 设设 求求 例例3 3 已知点已知点 ，求向径，求向径 及向及向量量 的坐标的坐标. .1,2,3 ,2, 1,2AB11 112131 11213kk xyzkxkykzeeeeee 也可简记为：也可简记为：数乘运算是：数乘运算是：111111,k x y zkx ky kz空间解析几

6、何空间解析几何 1.5 1.5 标架坐标标架坐标 例例4 4 三个向量三个向量 共面，求共面，求 的值的值. .a1.5.3 1.5.3 向量共线、共面的条件向量共线、共面的条件定理定理1.5.5 1.5.5 三向量三向量1111213,xyzeee 2212223,xyz eee33 13233xyzeee 共面的充要条件是共面的充要条件是1231231230 xxxyyyzzz空间解析几何空间解析几何 1.5 1.5 标架坐标标架坐标1.5.4 1.5.4 定比分点的坐标定比分点的坐标111222,A x y zB xyz是空间中任意两点，则把线段是空间中任意两点，则把线段AB分割成定比分

7、割成定比 （其中（其中 ）的点）的点 的坐标为的坐标为1C, ,x y z其中其中121212,111xxyyzzxyz特别地，中点的公式为：特别地，中点的公式为：121212,222xxyyzzxyz空间解析几何空间解析几何 1.5 1.5 标架坐标标架坐标由三条互相垂直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系. .过空间一定点过空间一定点 o , o ,1.5.5 1.5.5 空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系是一种特殊的仿射坐标系空间直角坐标系是一种特殊的仿射坐标系. . 例例5 5 设设111222333,A x y zB xy

8、zC xyz求求ABC的重心的重心 的坐标的坐标. ., ,M x y z答案：答案：123123123,333xxxyyyzzzxyz空间解析几何空间解析几何 1.5 1.5 标架坐标标架坐标111(,)A xyz对两点对两点与与222(,),B xyz因因212121(,)xxyy zzAB OB OA xyz 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x x轴轴( (横轴横轴) )y y轴轴( (纵轴纵轴) )z z 轴轴( (竖轴竖轴) )o 坐标面坐标面 卦限卦限( (八个八个) )面xoy面yozzoxzox面面空间解析几何空间解析几何 1.5 1.5 标架坐标标架坐标设设1cosxr222xxyz，那，那么么称为称为 的方向角，方向角的余弦的方向角，方向角的余弦123, 123cos,cos,cos称为向量称为向量 的方向余弦的方向余弦. . 定义定义 在空间直角坐标系中，向量在空间直角坐标系中，向量 与三个坐标向与三个坐标向量的夹角量的夹角2cosyr222yxyz得两点间的距离公式得两点间的距离公式: :222212121()()()xxyyzzABAB 空间解析几何空间解析几何 1.5 1.5 标架坐标标架坐标例例6 6 在在z z轴上求一点，使它到轴上求一点，