第9章多元函数微分学及其应用2偏导数ppt课件

1、定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某一的某一邻域内有定义，邻域内有定义， 如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，存在，则称此极限为函数则称此极限为函数),(yxfz 在点在点),(00yx处处对对x的偏导数，记为的偏导数，记为 9.2.1偏导数的定义及其计算法偏导数的定义及其计算法9.2 9.2 偏导数偏导数00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.同同理理可可定定义义函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处对对y的的偏偏导导数数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记记为

2、为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域D内内任任一一点点),(yx处处对对x的的偏偏导导数数都都存存在在，那那么么这这个个偏偏导导数数就就是是x、y的的函函数数，它它就就称称为为函函数数),(yxfz 对对自自变变量量x的的偏偏导导数数， 记记作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同同理理可可以以定定义义函函数数),(yxfz 对对自自变变量量y的的偏偏导导数数，记记作作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.例例 1 1 求求 223yxyxz 在在点点)2, 1(处处的的偏偏导导数数解解 x

3、z;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到

4、二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 例例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程RTpV （R为常数） ，求证：为常数） ，求证：1 pTTVVp.证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 偏偏导导数数xu 是是一一个个整整体体记记号号，不不能能拆拆分分;).0, 0(),0, 0(,),(,

5、yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例例如如,函函数数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定义义知知在在)0 , 0(处处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存

6、在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图 偏偏 导导 数数),(00yxfx就就 是是 曲曲 面面 被被 平平 面面0yy 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线xTM0对对x轴轴的的斜斜率率. 偏偏 导导 数数),(00yxfy就就 是是 曲曲 面面 被被 平平 面面0 xx 所所截截得得 的的曲曲线线 在在点点0M处处的的切切 线线yTM0对对y轴轴 的的斜斜率率.几何意义几何意义: :曲线曲线 在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的切线与正向处的切

7、线与正向 轴轴所成的倾角是多少所成的倾角是多少? ? 4422yyxzx例例5 xz1x)4 ,2( 2),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.9.2.2高阶偏导数高阶偏导数例例 5设设13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62

8、xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx,22xyzyxz 例例 6 6 设设byeuaxcos ，求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax ,22xyzyxz 定定理理 如如果果函函数数),(yxfz 的的两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数xyz 2及及yxz 2在在区区域域 D D 内内连连续续，那那末末在在该该区区域域内内这这两两个个二二阶阶混

9、混合合偏偏导导数数必必相相等等问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？. 02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 , 0, 0, 0,),(22222222yxyxyxyxxyyxf)0 , 0()0 , 0(yxxyff ?, 1)0 , 0( xyf. 1)0 , 0( yxf偏导

10、数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）小结小结若函数若函数),(yxf在 点在 点),(000yxP连连续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),(000yxP的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续续,但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不不存存在在.例如例如,一一、 填填空空题题: :1 1、 设设yxztanln , ,则则 xz_ _ _ _

11、_ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 设设 xzyxezxy则则),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 设设,zyxu 则则 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 设设,arctanxyz 则则 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .

12、 练练 习习 题题 5 5、设、设zyxu)( , ,则则 yzu2_. .二、二、 求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数: : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . . 三、三、 曲线曲线 4422yyxz, ,在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的处的切线与正向切线与正向x轴所成的倾角是多少轴所成的倾角是多少? ? 四、四、 设设xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和 五、设五、设)ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . . 六、六、 验证验证: : 1 1、)11(yxez , ,满足满足zyzyxzx222 ； 2 2、22

13、2zyxr 满足满足 rzzryrxr 222222. .七、设七、设 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. .一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22 ；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1 , , xxzyzyln2 ；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz . .二、二、1 1、 xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12; ;练习题答案练习题答案 2 2、zzyxyxzxu21)(1)(