34基本不等式

1、 成功其实很简单，成功其实很简单，就是当你坚持不住的时候，就是当你坚持不住的时候，再坚持一下。再坚持一下。 今日寄语今日寄语3.4.13.4.1基本不等式基本不等式兰州五十一中兰州五十一中 程程 赞赞引例：一位顾客到商店购买一件商品，但因天平制造的引例：一位顾客到商店购买一件商品，但因天平制造的不精确，两臂长略有不同不精确，两臂长略有不同. .于是售货员将该商品放在左于是售货员将该商品放在左盘上称其质量盘上称其质量为为a, ,然后又将其放在右盘中称得质量然后又将其放在右盘中称得质量为为b, ,最后售货员以质量为最后售货员以质量为 售出该商品售出该商品. .如果你是这位顾如果你是这位顾客，你觉得

2、售货员这样做合理么？客，你觉得售货员这样做合理么？2ba20022002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标赵爽弦图赵爽弦图ab22ba 22ba 1、正方形正方形ABCD的的面积面积S=_、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和S=_ab2探究：探究：问：它们有相等的情况吗？问：它们有相等的情况吗？S Sabba222即即ababbaba222 时时，当当探究：探究：结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b b，我们有，我们有222aba b问问：当当a，b b为任意实数时，为任意实数时， 还成立吗？还成立吗？当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立此不等

3、式称为此不等式称为重要不等式。重要不等式。222aba b0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？2abab)0, 0(ba你能给出其它的证明方法吗？你能给出其它的证明方法吗？若若a0，b0，则，则_2abab通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时取等号时取等号.基本不等式：基本不等式：在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；2abab代数意义：代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均

4、数。平均数。如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2ababOD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD作图：作一个圆作图：作一个圆O ，在，在圆圆O中作直中作直径径AB,在在AB上任取一点上任取一点C, 过点过点C作作垂直于垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD,设设AC=a, BC=b. 几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半.ADBEOCab2 100m例例1 1、用篱笆围一个面积为、用篱笆围一个面积为 的的矩形菜园矩形菜园, , 问这个矩形的长、宽各问这个矩形的长、宽各为多少时为多少时, , 所

5、用篱笆最短，最短的所用篱笆最短，最短的篱笆是多少篱笆是多少? ?2100mm.y)x2 ,m100 xym m 12（篱篱笆笆的的长长为为则则，宽宽为为）设设矩矩形形菜菜园园的的长长为为解解：（yx,1002,2 yxxyyx可可得得由由.10,yxyx此时此时时等号成立时等号成立当且仅当当且仅当因此因此, ,这个矩形的长、宽都为这个矩形的长、宽都为10 m10 m时，所用的篱笆最短，最时，所用的篱笆最短，最短篱笆是短篱笆是40 m.40 m.40)(2 yx练习：一段长为练习：一段长为36m36m的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积问这个矩

6、形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m，则则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18，矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m281,92182xyyxxy可可得得当且仅当当且仅当x=y即即x=y=9时，等号成立时，等号成立. 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，时，菜园面积最大， 最大面积是最大面积是81m2.本节课学习的主要内容有：本节课学习的主要内容有： 本节学习的数学思想方法：本节学习的数学思想方法： 1、数形结合的思想、数形结合的思想2、换元法、比较法、分析法、换元法、比较法、分析法.b )0, 0(2.b ),(222时时取取等等号号当当且且仅仅当当基基本本不不等等式式：时时取取等等号号当当且且仅仅当当重重要要