高中全程复习方略配套数学归纳法）ppt课件

1、第七节第七节 数学归纳法数学归纳法三年三年3 3考考 高考指数高考指数: :1.1.了解数学归纳法的原理；了解数学归纳法的原理；2.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. .1.1.归纳归纳猜测猜测证明仍是高考的重点；证明仍是高考的重点；2.2.常与函数、数列、不等式、平面几何等知识结合，在知识交常与函数、数列、不等式、平面几何等知识结合，在知识交汇处命题；汇处命题；3.3.题型以解答题为主，难度中等偏上题型以解答题为主，难度中等偏上. .1.1.数学归纳法数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与数学归纳法是用来证明某些与_有关的数学命题的一有关的数学命题的

2、一种方法种方法. .它的根本步骤是：它的根本步骤是：(1)(1)验证：验证：_时时, ,命题成立；命题成立；(2)(2)在假设当在假设当_时命题成立的前提下，推出当时命题成立的前提下，推出当_时，命题成立时，命题成立. .根据根据(1)(2)(1)(2)可以断定命题对可以断定命题对_都成立都成立. .正整数正整数n nn=1n=1n=k(k1)n=k(k1)n=k+1n=k+1一切正整数一切正整数n n【即时运用】【即时运用】判别以下各说法能否正确判别以下各说法能否正确.(.(请在括号中填写请在括号中填写“或或“) )(1)(1)用数学归纳法验证第一个值用数学归纳法验证第一个值n0,n0,那么

3、那么n0n0必定为必定为1. ( )1. ( )(2)(2)数学归纳法的两个步骤是缺一不可的数学归纳法的两个步骤是缺一不可的. ( ). ( )(3)(3)运用数学归纳法证明凸运用数学归纳法证明凸n n边形的对角线为边形的对角线为 n(n-3) n(n-3)条时，条时，第一步是检验第一步是检验n n等于等于3. ( )3. ( )(4)(4)用数学归纳法证明用数学归纳法证明“1+2+22+2n+2=2n+3-11+2+22+2n+2=2n+3-1时，验证时，验证n=1n=1时时, ,左边式子应为左边式子应为1+2+22. ( ) 1+2+22. ( ) 12【解析】【解析】(1)(1)错误错误

4、. .有些数学归纳法证明题，第一步验证初始值有些数学归纳法证明题，第一步验证初始值不是不是1 1，能够为，能够为2 2，3 3，4 4等等. .(2)(2)正确正确. .数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是归纳奠基，数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推第二步是归纳递推. .(3)(3)正确正确. .第一步检验第一步检验n=3,n=3,即三角形的对角线条数为即三角形的对角线条数为0.0.(4)(4)错误错误. .验证验证n=1n=1时，左边式子应为时，左边式子应为1+2+22+23.1+2+22+23.答案：答案：(1)(1) (2) (3) (4) (2) (3)

5、 (4)2.2.数学归纳法的框图表示数学归纳法的框图表示命题对从命题对从n0n0开场开场_都成立都成立. .一切的正整数一切的正整数n n归纳递推归纳递推归纳奠基归纳奠基验证验证n=n0(n0Nn=n0(n0N) )时命题成立时命题成立. .假设假设n=k(kn0, kNn=k(kn0, kN) )时命题成立，时命题成立，证明证明_._.n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立【即时运用】【即时运用】(1)(1)知知n n为正偶数，用数学归纳法证明为正偶数，用数学归纳法证明 时，假设已假设时，假设已假设n=k(k2n=k(k2且且k k为偶数为偶数) )时命题为真，那么还需求用归纳假设再证

6、时命题为真，那么还需求用归纳假设再证n=_n=_时等式成立时等式成立. .(2)(2)凸凸k k边形的内角和为边形的内角和为f(k)f(k)，那么凸，那么凸k+1k+1边形的内角和为边形的内角和为f(k+1)=f(k)+_.f(k+1)=f(k)+_.11111234n1112()n2n42n【解析】【解析】(1)(1)由于假设由于假设n=k(k2n=k(k2且且k k为偶数为偶数) )，故下一个偶数为，故下一个偶数为k+2.k+2.(2)(2)从从k k边形到边形到k+1k+1边形，实践是多了一个三角形，故内角和比边形，实践是多了一个三角形，故内角和比k k时多时多,即即f(k+1)=f(k

7、)+.f(k+1)=f(k)+.答案：答案：(1)k+2 (2)(1)k+2 (2) 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式【即时运用】用数学归纳法证明等式的规那么【即时运用】用数学归纳法证明等式的规那么(1)(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，那么失去了递推根底，缺第二步，那么失去了可，缺第一步，那么失去了递推根底，缺第二步，那么失去了递推根据递推根据. .(2)(2)证明等式时要留意等式两边的构成规律，两边各有多少项，证明等式时要留意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并留意初始值并留意初始值n0n0

8、是多少是多少, ,同时第二步由同时第二步由n=kn=k到到n=k+1n=k+1时要充分利用时要充分利用假设，不利用假设，不利用n=kn=k时的假设去证明，就不是数学归纳法时的假设去证明，就不是数学归纳法. .【提示】用数学归纳法证明等式问题的关键在于弄清等式两边【提示】用数学归纳法证明等式问题的关键在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0n0是多少是多少. . 【例【例1 1】(2021(2021烟台模拟烟台模拟) )能否存在常数能否存在常数a,b,ca,b,c，使得等式，使得等式(n2-(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)

9、=an4+bn2+c12)+2(n2-22)+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数对一切正整数n n都成立？都成立？假设存在，求出假设存在，求出a,b,ca,b,c的值；假设不存在，阐明理由的值；假设不存在，阐明理由. .【解题指南】此题是开放式、存在性的问题，普通是先假设存【解题指南】此题是开放式、存在性的问题，普通是先假设存在，利用特值求得在，利用特值求得a,b,ca,b,c的值，而后用数学归纳法证明的值，而后用数学归纳法证明. .【规范解答】假设存在【规范解答】假设存在a,b,ca,b,c使得所给等式成立使得所给等式成立. .令令n=1,2,3n=1,2,3代入等式得代入等式

10、得解得解得以下用数学归纳法证明等式以下用数学归纳法证明等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2) 对一切正整数对一切正整数n n都成立都成立. .(1)(1)当当n=1n=1时，由以上可知等式成立时，由以上可知等式成立; ;abc016a4bc3 ,81a9bc181a41b.4c0 4211nn44(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN* *) )时，等式成立，即时，等式成立，即(k2-12)+2(k2-22)+(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)=+k(k2-k2)=那么当那么当n=k+1n=k+1时，时

11、，(k+1)2-12(k+1)2-12+2+2(k+1)2-22(k+1)2-22+k+k(k+1)2-k2(k+1)2-k2+(k+1)+(k+1)(k(k+1)2-(k+1)2+1)2-(k+1)2=(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1)=(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1)= = =由由(1)(1)、(2)(2)知，等式对一切正整数知，等式对一切正整数n n都成立都成立. .4211kk ,4442k k111kk(2k1)4424211k1k1 .44【反思【反思感悟】

12、感悟】1.1.对于开放式的与对于开放式的与n n有关的等式证明问题，普通有关的等式证明问题，普通是先假设结论成立，利用是先假设结论成立，利用n n的前几个取值求参数，而后用数学归的前几个取值求参数，而后用数学归纳法证明纳法证明. .2.2.在运用数学归纳法的第二步进展证明时，现实上，在运用数学归纳法的第二步进展证明时，现实上，“归纳假设归纳假设曾经成了知条件，曾经成了知条件，“n=k+1n=k+1时结论正确那么是求证的目的，时结论正确那么是求证的目的，可先用分析法的思绪，借助已学过的公式、定理或运算法那么可先用分析法的思绪，借助已学过的公式、定理或运算法那么进展恒等变形，把待证的目的拼凑出归纳

13、假设的方式，再把运进展恒等变形，把待证的目的拼凑出归纳假设的方式，再把运用归纳假设后的式子进展变形、证明用归纳假设后的式子进展变形、证明. .【变式训练】知【变式训练】知nNnN* *，证明：，证明：= =【证明】【证明】(1)(1)当当n=1n=1时，左边时，左边= =右边右边= = ，等式成立，等式成立; ;(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN* *) )时等式成立，即有时等式成立，即有: :那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，1111112342n12n111.n1n22n11122，121111112342k12k111,k1k22k左边左边 右边右边, ,所以所以当当

14、n=k+1n=k+1时等式也成立时等式也成立. .综合综合(1)(1)、(2)(2)知对一切知对一切nNnN* *，等式都成立，等式都成立. .111111112342k12k2 k112(k1) 11111()k1k22k2k12(k1)111111k2k32k2k1k12 k1 1111k11k12k1kk1k1 用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明不等式问题【方法点睛】运用数学归纳法证明不等式应留意的问题【方法点睛】运用数学归纳法证明不等式应留意的问题(1)(1)当遇到与正整数当遇到与正整数n n有关的不等式证明时，运用其他方法不容有关的不等式证明时，运用其他方法不容易证，那么可思

15、索运用数学归纳法易证，那么可思索运用数学归纳法. .(2)(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由用数学归纳法证明不等式的关键是由n=kn=k成立，推证成立，推证n=k+1n=k+1时时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差差( (求商求商) )比较法、放缩法等证明比较法、放缩法等证明. . 【例【例2 2】由以下不等式：】由以下不等式： 他能得到一个怎样的普通不等式？并他能得到一个怎样的普通不等式？并加以证明加以证明. .【解题指南】由知条件不难猜测到普通不等式，关键是证明，【解题指南】由知条件不难猜测到普通不等式，关键是

16、证明，证明时由证明时由n=kn=k到到n=k+1n=k+1时可采用放缩法时可采用放缩法. .【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜测第【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜测第n n个不等式，即个不等式，即普通不等式为：普通不等式为：用数学归纳法证明如下：用数学归纳法证明如下：11111131,11,1,223237211112,2315n111n1nN* .23212(1)(1)当当n=1n=1时，时，1 ,1 ,猜测成立；猜测成立；(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN* *) )时，猜测成立，即时，猜测成立，即那么当那么当n=k+1n=k+1时，时， 即当即当n=k+1n=k+

17、1时，猜测时，猜测也正确，所以对恣意的也正确，所以对恣意的nNnN* *，不等式都成立，不等式都成立. .12k111k1.23212kkkk 11111111232122121kkkk 1k 1k111k2k1,222121222【反思【反思感悟】感悟】1.1.本例在由本例在由n=kn=k到到n=k+1n=k+1这一步变化中，不等式这一步变化中，不等式左边添加了左边添加了 即添加了即添加了2k2k项，这项，这一点很关键，假设项数写不正确，该题的证明将无法正确得出一点很关键，假设项数写不正确，该题的证明将无法正确得出. .2.2.当当n=k+1n=k+1时的证明中采用了放缩法，即将知式子分母变

18、大，时的证明中采用了放缩法，即将知式子分母变大，从而所得结果变小，顺利地与要证的式子接轨从而得以证明，从而所得结果变小，顺利地与要证的式子接轨从而得以证明，此种方法是证明不等式的常用方法，运用时要留意是放大还是此种方法是证明不等式的常用方法，运用时要留意是放大还是减少减少. .kkkkk111122122221【变式训练】证明不等式【变式训练】证明不等式【证明】【证明】(1)(1)当当n=1n=1时，左边时，左边=1,=1,右边右边=2=2，不等式成立，不等式成立. .(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN* *) )时，不等式成立，即时，不等式成立，即那么当那么当n=k+1n=k+

19、1时，时，11112 n nN* .23n11112 k.23k1111112 k.23kk1k1方法一方法一: :分析法分析法要证要证只需证只需证001 1显然成立显然成立,12 k2 k1,k12 kk1 1 2 k1 , 22 kk1 2k14k k12k10 112 k2 k1.k1方法二：综合法方法二：综合法( (放缩法放缩法) )122 k2 kk1k1k122 kk1k2k1k2 kk1k ( k1k)2 k2k1k2 k1,12 k2 k1.k1 方法三方法三: :综合法综合法( (根本不等式法根本不等式法) )这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+1时，不等式也成立时，不

20、等式也成立. .由由(1)(1)、(2)(2)可知，原不等式对恣意正整数可知，原不等式对恣意正整数n n都成立都成立. .2212 kk1 12 kk1k1kk112k12 k1,k1k112 k2 k1,k1111112 k1.23kk1 归纳归纳猜测猜测证明类问题证明类问题【方法点睛】归纳【方法点睛】归纳猜测猜测证明类问题的解题步骤证明类问题的解题步骤(1)(1)利用数学归纳法可以探求与正整数利用数学归纳法可以探求与正整数n n有关的未知问题、存在有关的未知问题、存在性问题，其根本方式是性问题，其根本方式是“归纳归纳猜测猜测证明，即先由合情推理证明，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即

21、演绎推实际证结论的正确性，这发现结论，然后经逻辑推理即演绎推实际证结论的正确性，这种思想方式是推进数学研讨和开展的重要方式种思想方式是推进数学研讨和开展的重要方式. .(2)(2)“归纳归纳猜测猜测证明的根本步骤是证明的根本步骤是“实验实验归纳归纳猜测猜测证证明明. .高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题. .【例【例3 3】(2021(2021南京模拟南京模拟) )知数列知数列anan满足满足Sn+an=2n+1.Sn+an=2n+1.(1)(1)写出写出a1,a2,a3,a1,a2,a3,并推测并推测anan的表达式；的表达式；(2)(2)用数学归纳

22、法证明所得的结论用数学归纳法证明所得的结论. .【解题指南】【解题指南】(1)(1)利用利用Sn=a1+a2+an,Sn=a1+a2+an,且且Sn+an=2n+1,Sn+an=2n+1,代入代入n=1,2,3n=1,2,3得得a1,a2,a3a1,a2,a3，从而猜测，从而猜测an.an.(2)(2)运用数学归纳法证明时，要利用运用数学归纳法证明时，要利用n=kn=k的假设去推证的假设去推证n=k+1n=k+1时成时成立立. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)将将n=1,2,3n=1,2,3分别代入可得分别代入可得 猜测猜测 (2)(2)由由(1)(1)得得n=1n=1时，命题成立；时，

23、命题成立；假设假设n=k(kNn=k(kN* *) )时，命题成立，即时，命题成立，即那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，a1+a2+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,a1+a2+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,且且a1+a2+ak=2k+1-ak,a1+a2+ak=2k+1-ak,2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,1233715a,a,a,248nn1a2.2kk1a2,2即当即当n=k+1n=k+1时，命题也成立时，命题也成立. .根据、得根据、得, ,对一切对一切nNnN* *,an=

24、2- ,an=2- 都成立都成立. .k 1k 1kk 1112a22,a2,22n12【互动探求】假设本例中【互动探求】假设本例中Sn+an=2n+1Sn+an=2n+1变为变为Sn+an=2nSn+an=2n，其他不变，其他不变，又将如何求解又将如何求解? ?【解析】【解析】(1)(1)将将n=1,2,3n=1,2,3分别代入知可得分别代入知可得猜测猜测12337a1,a,a.24nnn 121a.2(2)(2)当当n=1n=1时，时，a1=1,a1=1,猜测显然成立猜测显然成立; ;假设当假设当n=k(k1n=k(k1且且kNkN* *) )时，猜测成立时，猜测成立, ,即即ak= ,S

25、k=a1+a2+ak=2k-ak,ak= ,Sk=a1+a2+ak=2k-ak,那么那么, ,当当n=k+1n=k+1时，时，ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-(2k-ak),ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-(2k-ak),当当n=k+1n=k+1时猜测也成立时猜测也成立. .综合、知，当综合、知，当nNnN* *时猜测成立时猜测成立. .kk 1212kk 1k 1kk 1k2122a212a,222【反思【反思感悟】感悟】“归纳归纳猜测猜测证明是不完全归纳法与数学归证明是不完全归纳法与数学归纳法综合运用的解题方式，此种方法在解探求性问题、存在性纳法综合运用

26、的解题方式，此种方法在解探求性问题、存在性问题时起着重要的作用，特别是在数列中求问题时起着重要的作用，特别是在数列中求an,Snan,Sn时更是运用频时更是运用频繁繁. .【变式备选】数列【变式备选】数列anan中，中，a1=1,a2= ,a1=1,a2= ,且且求求a3,a4,a3,a4,猜测猜测anan的表达式，并用数学归纳法证明他的猜测的表达式，并用数学归纳法证明他的猜测. .【解析】由于【解析】由于a1=1a1=1，a2= a2= ，且，且 所以所以 同理可求得同理可求得归纳猜测，归纳猜测，下面用数学归纳法证明猜测正确下面用数学归纳法证明猜测正确. .(1)(1)当当n=1n=1时，易

27、知猜测正确时，易知猜测正确. .14nn 1nn1 aan2na，14nn 1nn1 aan2na，2321a14a12a724，41a,10n1a.3n2(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN* *) )时，猜测正确，即时，猜测正确，即那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，即当即当n=k+1n=k+1时，猜测也正确时，猜测也正确. .由由(1)(1)、(2)(2)可知，猜测对恣意正整数都正确可知，猜测对恣意正整数都正确. . k1a,3k2kk 1k221(k1)k1 a3k2a1kak3k2k1k1k13k23k2k13k2k13k1 (k1)3k211.3k13 k12 用数

28、学归纳法证明整除性问题或与用数学归纳法证明整除性问题或与 平面几何有关的问题平面几何有关的问题【方法点睛】数学归纳法的综合运用【方法点睛】数学归纳法的综合运用(1)(1)运用数学归纳法证明整除性问题主要分为两类：运用数学归纳法证明整除性问题主要分为两类：是整除数，是整除代数式是整除数，是整除代数式. .这两类证明最关键的问题是这两类证明最关键的问题是“配配凑要证的式子凑要证的式子( (或是叫做或是叫做“提公因式提公因式) )，即当，即当n=k+1n=k+1时，将时，将n=kn=k时假设的式子提出来，再变形，可证时假设的式子提出来，再变形，可证. .(2)(2)运用数学归纳法证明与平面几何有关的

29、命题，其关键是从前运用数学归纳法证明与平面几何有关的命题，其关键是从前几项的情形中归纳出一个变化过程，用几项的情形中归纳出一个变化过程，用f(k+1)-f(k)f(k+1)-f(k)就可以得到就可以得到添加的部分，然后了解为何是添加的，就可以从容解题了添加的部分，然后了解为何是添加的，就可以从容解题了. . 【例【例4 4】证明以下问题：】证明以下问题：(1)(1)知知n n为正整数，为正整数，aZ,aZ,用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：an+1+(a+1)2n-1an+1+(a+1)2n-1能被能被a2+a+1a2+a+1整除整除. .(2)(2)有有n n个圆，恣意两个都相交于两点，恣

30、意三个不交于同一点，个圆，恣意两个都相交于两点，恣意三个不交于同一点，求证：这求证：这n n个圆将平面分成个圆将平面分成f(n)=n2-n+2f(n)=n2-n+2个部分个部分(nN(nN* *).).【解题指南】【解题指南】(1)(1)当当n=k+1n=k+1时，把时，把ak+2+(a+1)2k+1ak+2+(a+1)2k+1提出提出ak+1+(a+1)2k-1ak+1+(a+1)2k-1的方式是解题的关键的方式是解题的关键. .(2)(2)当当n=k+1n=k+1时，第时，第k+1k+1个圆与前个圆与前k k个圆相交，平面区域添加了个圆相交，平面区域添加了2k2k个个部分是解题的关键部分是

31、解题的关键. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)当当n=1n=1时，时，an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,an+1+(a+1)2n-1=a2+a+1,能被能被a2+a+1a2+a+1整除整除. .假设当假设当n=k(kNn=k(kN* *) )时，时，ak+1+(a+1)2k-1ak+1+(a+1)2k-1能被能被a2+a+1a2+a+1整除，那么整除，那么当当n=k+1n=k+1时，时，ak+2+(a+1)2k+1ak+2+(a+1)2k+1=(a+1)2=(a+1)2ak+1+(a+1)2k-1ak+1+(a+1)2k-1+ak+2-ak+1(a+1)2+ak+2-ak+1(

32、a+1)2=(a+1)2=(a+1)2ak+1+(a+1)2k-1ak+1+(a+1)2k-1-ak+1(a2+a+1)-ak+1(a2+a+1)能被能被a2+a+1a2+a+1整除整除, ,即即当当n=k+1n=k+1时，命题也成立时，命题也成立. .根据、可知，对于恣意根据、可知，对于恣意nNnN* *，an+1+(a+1)2n-1an+1+(a+1)2n-1能被能被a2+a+1a2+a+1整除整除. .(2)(2)当当n=1n=1时，时，1 1个圆将平面分成两部分个圆将平面分成两部分. .f(1)=2,12-1+2=2,n=1f(1)=2,12-1+2=2,n=1时，命题成立时，命题成立

33、. .假设当假设当n=k(k1,kNn=k(k1,kN* *) )时时,k,k个圆把平面分成个圆把平面分成f(k)=k2-k+2f(k)=k2-k+2个个部分部分. .当当n=k+1n=k+1时，在时，在k k个圆的根底上再添加一个圆与原个圆的根底上再添加一个圆与原k k个圆都相交，个圆都相交，圆周被分成圆周被分成2k2k段弧，添加了段弧，添加了2k2k个平面区域个平面区域. .f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即当即当n=k+1n=k+1时，时，命题也成立命题也成立.

34、 .综上知，对恣意综上知，对恣意nNnN* *，命题都成立，命题都成立. . 【互动探求】将本例【互动探求】将本例(2)(2)中的圆变为直线，恣意两条都相交于中的圆变为直线，恣意两条都相交于一点一点, ,恣意三条不交于同一点恣意三条不交于同一点, ,求证这求证这n n条直线将平面分成条直线将平面分成f(n)f(n)= (n2+n+2)= (n2+n+2)个部分个部分(nN(nN* *) )，又将如何证明？，又将如何证明？【证明】【证明】(1)(1)当当n=1n=1时，一条直线将平面分成两部分，时，一条直线将平面分成两部分，f(1)=f(1)= (1+1+2)=2 (1+1+2)=2，命题成立，

35、命题成立. .(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN* *) )时时, ,命题成立，即命题成立，即f(k)= (k2+k+2),f(k)= (k2+k+2),那么当那么当n=k+1n=k+1时，第时，第k+1k+1条直线被前条直线被前k k条直线分成条直线分成(k+1)(k+1)段，而每段，而每一段将它们所在区域一分为二，故添加了一段将它们所在区域一分为二，故添加了k+1k+1个区域个区域. .121212即即f(k+1)=f(k)+k+1= (k2+k+2)+k+1f(k+1)=f(k)+k+1= (k2+k+2)+k+1即当即当n=k+1n=k+1时，命题也成立时，命题也成立.

36、.由由(1)(1)、(2)(2)可知，对恣意可知，对恣意nNnN* *, ,都有都有f(n)= (n2+n+2)f(n)= (n2+n+2)成立成立. .122211k3k4k1k12 ,2212【反思【反思感悟】感悟】1.1.用数学归纳法证明整除问题，用数学归纳法证明整除问题，P(k)P(k)P(k+1)P(k+1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差别，然后将的整式变形是个难点，找出它们之间的差别，然后将P(k+1)P(k+1)进进展分拆，配凑成展分拆，配凑成P(k)P(k)的方式，也可运用结论：的方式，也可运用结论：“P(k)P(k)能被能被p p整除整除且且P(k+1)-P(k)P(k

37、+1)-P(k)能被能被p p整除整除P(k+1)P(k+1)能被能被p p整除整除. .2.2.证明与平面几何有关的问题，其着眼点是找规律，由前几项证明与平面几何有关的问题，其着眼点是找规律，由前几项可找到规律，进展运用即可可找到规律，进展运用即可. .【变式备选】用数学归纳法证明【变式备选】用数学归纳法证明42n+1+3n+242n+1+3n+2能被能被1313整除，其中整除，其中n n为正整数为正整数. .【证明】【证明】(1)(1)当当n=1n=1时，时，42421+1+31+2=911+1+31+2=91能被能被1313整除整除. .(2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN*

38、 *) )时，时，42k+1+3k+242k+1+3k+2能被能被1313整除，整除，那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，方法一：方法一：42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+1342k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2)=42k+113+3(42k+1+3k+2)，42k+11342k+113能被能被1313整除，整除，42k+1+3k+242k+1+3k+2能被能被1313整除整除. .42(k+1)+1+3k+342(k+1)+1+3k+3能被能被1313整

39、除整除. .方法二：方法二：42(k+1)+1+3k+342(k+1)+1+3k+3 -3(42k+1+3k+2) -3(42k+1+3k+2)=(42k+142+3k+23)-3(42k+1+3k+2)=42k+113,=(42k+142+3k+23)-3(42k+1+3k+2)=42k+113,42k+11342k+113能被能被1313整除，整除，42(k+1)+1+3k+342(k+1)+1+3k+3- -3(42k+1+3k+2)3(42k+1+3k+2)能被能被1313整除，即整除，即42(k+1)+1+3k+342(k+1)+1+3k+3能被能被1313整除整除,当当n=k+1n

40、=k+1时，命题也成立时，命题也成立, ,由由(1)(1)、(2)(2)知，对恣意知，对恣意nNnN* *，42n+1+3n+242n+1+3n+2都能被都能被1313整除整除. .【总分值指点】数学归纳法解题的规范解答【总分值指点】数学归纳法解题的规范解答【典例】【典例】(12(12分分)(2021)(2021九江模拟九江模拟) )设数列设数列anan的前的前n n项和为项和为Sn,Sn,并且满足并且满足 (1)(1)猜测猜测anan的通项公式，并用数学归纳法加以证明的通项公式，并用数学归纳法加以证明. .(2)(2)设设x0,y0,x0,y0,且且x+y=1,x+y=1,证明：证明：2nn

41、n2San,a0 nN* .nna x1a y 12 n2 . 【解题指南】【解题指南】(1)(1)将将n=1,2,3n=1,2,3代入知等式得代入知等式得a1,a2,a3a1,a2,a3，从而可猜，从而可猜测测an,an,并用数学归纳法证明并用数学归纳法证明. .(2)(2)利用分析法，结合利用分析法，结合x0,y0,x+y=1,x0,y0,x+y=1,利用根本不等式可证利用根本不等式可证. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)分别令分别令n=1,2,3,n=1,2,3,得得an0,a1=1,a2=2,a3=3.an0,a1=1,a2=2,a3=3.2112122212332aa12 aa

42、a2,2 aaaa3猜测：猜测：an=n.2an=n.2分分由由2Sn= +n 2Sn= +n 可知，当可知，当n2n2时，时，2Sn-1= +(n-1) 2Sn-1= +(n-1) - -, ,得得即即 3 3分分()()当当n=2n=2时，时，a20,a2=2. 4a20,a2=2. 4分分()()假设当假设当n=k(k2)n=k(k2)时，时，ak=k,ak=k,那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，2na2n 1a22nnn 12aaa1,22nnn 1a2aa1.2222a2a11,222k 1k 1kk 1a2aa12ak1 ak+1-(k+1)ak+1-(k+1)ak+1+(k

43、-1)ak+1+(k-1)=0,=0,ak+10,k2,ak+1+(k-1)0,ak+10,k2,ak+1+(k-1)0,ak+1=k+1.ak+1=k+1.即当即当n=k+1n=k+1时也成立时也成立. . 6 6分分an=n(n2).an=n(n2).显然显然n=1n=1时，也成立，故对于一切时，也成立，故对于一切nNnN* *，均有，均有an=n. 7an=n. 7分分(2)(2)要证要证只需证只需证 8 8分分即即将将x+y=1x+y=1代入，得代入，得即只需证即只需证即即4xy1. 104xy1. 10分分x0,y0,x0,y0,且且x+y=1,x+y=1,即即xy ,xy ,故故4

44、xy14xy1成立，所以原不等式成立成立，所以原不等式成立. 12. 12分分 nx1ny12 n2 , nx12nx1ny1ny12 n2 . 2n xy22 n xyn xy12 n2 , 22 n xyn1n2, 224 n xyn1n2,xy1xy,2214【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示和备考建议： 失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分在解答本题时有两点容易造成失分: :(1)(1)在代入在代入n=1,2,3n=1,2,3时，不能准确求得时，不能准确求得a a1 1,a,

45、a2 2,a,a3 3，从而猜想不，从而猜想不出出a an n. .(2)(2)证明不等式时，不会应用证明不等式时，不会应用x+y=1x+y=1这一条件代换，导致无这一条件代换，导致无法证明不等式成立法证明不等式成立. .备备考考建建议议解决数学归纳法中解决数学归纳法中“归纳归纳猜想猜想证明证明”问题及不等式证明问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难. .(2)(2)证明证明n=kn=k到到n=k+1n=k+1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法不是纯正的数学归纳法. .(3)(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证来求证. .另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题这样，才能快速正确地解决问题. .1.(20211.(2021南阳模拟南阳模拟) )用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)1+2+3+(n